1、 2000 年全国高考数学试题(新课程卷/理工农医类) （江西 天津） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题；第每小题小题；第每小题 5 分，共分，共 60 分分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集()RyRxyx ,|,， 映射BAf:把 集合 A 中的元素()yx,映射成集合 B 中的元素()yxyx+ ,， 则在映射f下， 象()1 , 2 的原象是 （A）()1 , 3 （B） 2 1 , 2 3 （C） 2 1 , 2
2、 3 （D）()3 , 1 在复平面内， 把复数i 33对应的向量按顺时针方向旋转 3 ， 所得向量对 应的复数是 （A）23 （B）i 32 （C）i 33 （D）3i 3+ 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是 2，3，6，这个长方体 对角线的长是 （A）23 （B）32 （C）6 （D）6 设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ()()0=baccba； baba ()()bacacb不与c垂直 () () 22 492323bababa=+ 中，是真命题的有 （A） （B） （C） （D） 函数 xxycos= 的部分图象是 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资
3、、薪金所得不超 过 800 元的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额 奎屯 王新敞 新疆此项税 款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 （A） 800900 元 （B）9001200 元 （C）12001500 元 （D）15002800 元 若 1ba ，P= ba lglg ，Q= ()balglg 2 1 + ，R= + 2 lg ba ，则 （A）RPQ （B）
4、PQ R （C）Q PR （D）P RQ 右图中阴影部分的面积是 （A）32 （B）329 （C） 3 32 （D） 3 35 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是 （A） 2 21+ （B） 4 41+ （C） 21+ （D） 2 41+ 过原点的直线与圆 034 22 =+xyx 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是 （A）xy3= （B）xy3= （C）x 3 3 （D）x 3 3 过抛物线 ()0 2 =aaxy 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点，若线 段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、q，则 qp 11 + 等于 （A）a2 （B
5、） a2 1 （C）a4 （D） a 4 如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴 旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与 轴的夹角为 （A） 3 2 1 arccos （B） 2 1 arccos （C） 2 1 arccos （D） 4 2 1 arccos 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题；每小题小题；每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横分，把答案填在题中横 线上线上 奎屯 王新敞 新疆 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中任意地连续 取出 2 件，其中次品的概率分布是 0 1 2 p 椭圆 1 49 22
6、=+ yx 的焦点为 1 F 、 2 F ，点 P 为其上的动点，当 21PF F 为钝角 时，点 P 横坐标的取值范围是_ 奎屯 王新敞 新疆 设 n a 是首项为 1 的正项数列，且( )01 1 22 1 =+ +nnnn ananaan （n=1，2， 3，） ，则它的通项公式是 n a =_ 奎屯 王新敞 新疆 如图，E、F 分别为正方体的面 11A ADD 、面 11B BCC 的中心，则四边形 EBFD1 在该正方体的面上的射影可能 是_ 奎屯 王新敞 新疆（要求：把可能的图的序号都填上） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题；共小题；共 7474 分，解答应写
7、出文字说明、证明过程分，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （本小题满分 10 分） 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个， 判断题 4 个 奎屯 王新敞 新疆甲、乙二人依次各抽一题 奎屯 王新敞 新疆 （I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （18 甲） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC- 111 CBA，底面ABC 中，CA=CB=1，BCA= 90，棱 1 AA=2，M、N 分别是 11B A、AA1的中点 奎屯 王新敞 新疆 （I）求B
8、N的长； （II）求 1 cosBA， 1 CB的值； （III）求证MCBA 11 奎屯 王新敞 新疆 （18 乙） （本小题满分 12 分） 如图，已知平行六面体 ABCD- 1111 DCBA的底面 ABCD 是菱形，且 =60 11 BCDCDCCBC 奎屯 王新敞 新疆 ()证明：CC1BD； ()假定 CD=2，CC1= 2 3 ，记面BDC1为，面 CBD 为 ，求二面角 BD的平面角的余弦值； ()当 1 CC CD 的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明 奎屯 王新敞 新疆 （19） （本小题满分 12 分） 设函数( )axxxf+=1 2 ，其中0a 奎屯 王新
9、敞 新疆 ()解不等式( )1xf； ()求a的取值范围，使函数( )xf在区间)+, 0上是单调函数 奎屯 王新敞 新疆 （20） （本小题满分 12 分） 用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面 的一边比另一边长 0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容 积 奎屯 王新敞 新疆 （21） （本小题满分 12 分） ()已知数列 n c，其中 nn n c32 +=，且数列 nn pcc +1 为等比数列，求常数 p 奎屯 王新敞 新疆 ()设 n a、 n b是公比不相等的两个等比数列， nnn bac+=， 证明数列 n c不 是等比数列
10、 奎屯 王新敞 新疆 （22） （本小题满分 14 分） 如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2=，点 E 分有向线 段AC所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点 奎屯 王新敞 新疆当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率e的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 2000 年全国高考数学试题(新课程卷/理工农医类)参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 60 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基本知
11、识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 （13） 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 （14） 5 3 5 3 x （15） n 1 （16） 三、解答题三、解答题 （5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满 分 10 分 奎屯 王新敞 新疆 解解： （I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有 1 6 C个，乙依次从判断题中抽 到一题的可能结果有 1 4 C个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有 1 6 C 1 4 C个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为 1 10 C 1 9
12、 C个，所以甲抽到选择 题、乙依次抽到判断题的概率为 15 4 1 9 1 10 1 4 1 6 = CC CC ，所求概率为 15 4 ； 5 分 （II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 1 9 1 10 1 3 1 4 CC CC ，故甲、乙二人中至少 有一人抽到选择题的概率为 15 13 1 1 9 1 10 1 3 1 4 = CC CC ，所求概率为 15 13 奎屯 王新敞 新疆 或 + 1 9 1 10 1 5 1 6 CC CC + 1 9 1 10 1 4 1 6 CC CC 1 9 1 10 1 6 1 4 CC CC 15 13 15 4 15 4 3 1 =+=，所
13、求概率为 15 13 奎屯 王新敞 新疆 10 分 （18 甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz 奎屯 王新敞 新疆 （I）解：依题意得 B()0 , 1 , 0，N()1 , 0 , 1， ()()()3011001 222 =+=BN 2 分 （II）解：依题意得 1 A()2 , 0 , 1，B()0 , 1 , 0，C()0 , 0 , 0， 1 B()2 , 1 , 0 奎屯 王新敞 新疆 ()2 , 1 , 1 1 =BA，()2 , 1 , 0 1= CB 奎屯 王新敞
14、新疆 1 BA3 1= CB 奎屯 王新敞 新疆 61=BA，5 1=CB 5 分 cos 1 BA30 10 1 11 11 1 = = CBBA CBBA CB 9 分 （III）证明：依题意得 1 C()2 , 0 , 0，M 2 , 2 1 , 2 1 =BA1()2 , 1 , 1，=MC1 0 , 2 1 , 2 1 ， BA1=MC100 2 1 2 1 =+， 1B AMC1 12 分 （18 乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （I）证明证明：连结 11C A、AC，AC 和 BD 交于 O，连结
15、OC1 奎屯 王新敞 新疆 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BC=CD 奎屯 王新敞 新疆 又 CCCCDCCBCC 1111 , =， DCCBCC 11 ， DCBC 11 =， DO=OB， OC1BD， 2 分 但 ACBD，ACOC1=O， BD平面 1 AC 奎屯 王新敞 新疆 又 CC1平面 1 AC， CC1BD 奎屯 王新敞 新疆 4 分 （II）解：由（I）知 ACBD，OC1BD， OCC1是平面角BD的平面角 奎屯 王新敞 新疆 在BCC1中，BC=2， 2 3 1 =CC， 60 1= BCC， 4 13 60cos 2 3 22 2 3 2 2 22 1 =
16、+= BC 奎屯 王新敞 新疆 6 分 OCB= 30， OB= 2 1 BC=1 奎屯 王新敞 新疆 4 9 1 4 13 22 1 2 1 =OBBCOC， 2 3 1 =OC即CCOC 11 = 奎屯 王新敞 新疆 作HC1OC，垂足为 H 奎屯 王新敞 新疆 点 H 是 OC 的中点，且 OH 2 3 =， 所以 3 3 cos 1 1 = OC OH OCC 奎屯 王新敞 新疆 8 分 （III）当1 1 = CC CD 时，能使CA1平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 证明一： 1 1 = CC CD ， BC=CD=CC1， 又 CDCCBCBCD 11 =， 由此可推得 BD=D
17、CBC 11 = 奎屯 王新敞 新疆 三棱锥 C- BDC1是正三棱锥 奎屯 王新敞 新疆 10 分 设CA1与OC1相交于 G 奎屯 王新敞 新疆 11C AAC，且 11C AOC=21， GA1GO=21 奎屯 王新敞 新疆 又 OC1是正三角形BDC1的 BD 边上的高和中线， 点 G 是正三角形BDC1的中心， CG平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 即 CA1平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 12 分 证明二： 由（I）知，BD平面 1 AC， CA1平面 1 AC， BDCA1 奎屯 王新敞 新疆 10 分 当 1 1 = CC CD 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同 B
18、DCA1的证法可得 1 BCCA1 奎屯 王新敞 新疆 又 BD 1 BC=B， CA1平面BDC1 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的 数学思想方法和运算、推理能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解解： （I）不等式( )1xf即 axx+11 2 ， 由此可得ax+11，即0ax，其中常数0a 奎屯 王新敞 新疆 所以，原不等式等价于 () + 0 , 11 22 x axx 即 () + 021 0 2 axa x 3 分 所以，当10 a时，所给不等式的解集为 2 1 2 0| a a xx； 当
19、1a时，所给不等式的解集为0|xx 奎屯 王新敞 新疆 6 分 （II）在区间)+, 0上任取 1 x， 2 x，使得 1 x 2 x 奎屯 王新敞 新疆 ( )()() 21 2 2 2 121 11xxaxxxfxf+= () 21 2 2 2 1 2 2 2 1 11 xxa xx xx + = () + + =a xx xx xx 11 2 2 2 1 21 21 奎屯 王新敞 新疆 8 分 （i）当1a时， 1 11 2 2 2 1 21 + + xx xx ， 0 11 2 2 2 1 21 + + a xx xx 又 0 21 xx， ( )()0 21 xfxf， 即 ( )(
20、) 21 xfxf 奎屯 王新敞 新疆 所以，当1a时，函数( )xf在区间)+, 0上是单调递减函数 奎屯 王新敞 新疆 10 分 （ii） 当10 a时， 在区间)+, 0上存在两点0 1= x， 2 2 1 2 a a x =， 满足( )1 1 =xf， ()1 2 =xf，即( )= 1 xf() 2 xf，所以函数( )xf在区间)+, 0上不是单调函数 奎屯 王新敞 新疆 综上，当且仅当1a时，函数( )xf在区间)+, 0上是单调函数 奎屯 王新敞 新疆12 分 （20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力， 建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知
21、识 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为()5 . 0+x m，高为 () x xx 22 . 3 4 5 . 0448 .14 = + 由022 . 3 x和0x，得6 . 10 x， 设容器的容积为 3 ym，则有 ()()xxxy22 . 35 . 0+= ()6 . 10 x 整理，得 xxxy6 . 12 . 22 23 +=， 4 分 6 . 14 . 46 2 +=xxy 6 分 令0= y ，有 06 . 14 . 46 2 =+xx， 即 041115 2 =xx， 解得 1 1= x， 15 4 2 =x（不合题意，
22、舍去） 奎屯 王新敞 新疆 8 分 从而，在定义域（0，1，6）内只有在1=x处使0= y 奎屯 王新敞 新疆由题意，若x过小（接 近 0）或过大（接受 1.6）时，y值很小（接近 0） ，因此，当1=x时y取得最大 值，8 . 16 . 12 . 22=+= 最大值 y，这时，高为2 . 1122 . 3= 奎屯 王新敞 新疆 答：容器的高为 1.2m 时容积最大，最大容积为 3 8 . 1 m 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解：解： （I）因为 nn pcc +1 是等比数
23、列，故有 ()()() 112 2 1+ = nnnnnn pccpccpcc， 将 nn n c32 +=代入上式，得 () 2 11 3232 nnnn p+ + =()() 11 2 1111 32323232 + + nnnnnnnn pp， 3 分 即 ()() 2 3322 nn pp+ =()()()() 1111 33223322 + + nnnn pppp， 整理得 ()()03232 6 1 = nn pp， 解得 p=2 或p=3 奎屯 王新敞 新疆 6 分 （II）设 n a、 n b的公比分别为p、q， nnn bac+= 为证 n c不是等比数列只需证 31 2 2
24、 ccc 奎屯 王新敞 新疆 事实上， ()pqbaqbpaqbpac 11 22 1 22 1 2 11 2 2 2+=+=， = 31 cc()()() 22 11 22 1 22 1 2 1 2 111 qpbaqbpaqbpaba+=+ 奎屯 王新敞 新疆 由于 qp ，pqqp2 22 +，又 1 a、 1 b不为零， 因此， 31 2 2 ccc，故 n c不是等比数列 奎屯 王新敞 新疆 12 分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推 理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解：解：如图
25、，以 AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy， 则 CDy轴 奎屯 王新敞 新疆因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关 于y轴对称 奎屯 王新敞 新疆 2 分 依题意，记 A()0 , c，C h c , 2 ，E() 00 , y x，其中 | 2 1 ABc =为双曲线的半焦距，h是梯形的高 奎屯 王新敞 新疆 由定比分点坐标公式得 () ()12 2 1 2 0 + = + + = c c c x， + = 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 = b y a x ，则离心率 a c e = 奎屯 王新敞 新疆 由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 a c e =代入双曲线方程得 1 4 2 22 = b he ， 1 11 2 4 2 22 = + + b he 7 分 由式得 1 4 2 2 2 = e b h ， 将式代入式，整理得 ()2144 4 2 += e ， 故 1 3 1 2 + = e 奎屯 王新敞 新疆 10 分 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 + e 奎屯 王新敞 新疆 解得 107 e 所以双曲线的离心率的取值范围为10 , 7 奎屯 王新敞 新疆 14 分
