1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数数 学学（理工农医类）（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆 第第卷卷（选择题共 50 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()sin( 2 1 cossin+=
2、lccS)( 2 1 += 台侧 其中 c 、c分别表示 )sin()sin( 2 1 sincos+= 上、下底面周长，l表示斜高或母线长. )cos()cos( 2 1 coscos+= 球体的体积公式： 3 3 4 RV= 球 ，其中 R )cos()cos( 2 1 sinsin+= 表示球的半径. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. .在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的有一项是符合要求的. . （1）设集合01| 2 =xxA，0log| 2 =xxB，则BA等
3、于 （A）1|xx （B）0|xx （C）1|xx （D）1|xx或1x （2）设 9 . 0 1 4=y， 48. 0 2 8=y， 5 . 1 3 ) 2 1 ( =y，则 （A） 213 yyy （B） 312 yyy （C） 321 yyy （D） 231 yyy （3） “ 2 3 2cos=”是“Zkk+=, 12 5 ”的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 4已知,是平面，nm,是直线，下列命题中不正确的是 （A）若m，n=，则mn （B）若mn，m，则n （C）若m，m，则 （D）若m，m，则 5极坐标方程1cos22c
4、os 2 =表示的曲线是 （A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线 6若Cz，且1|22|=+iz，则|22|iz的最小值是 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 7如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A）2 （B） 2 3 （C） 3 32 （D） 2 1 8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地 上，其中黄瓜必须种植不同的种植方法共有 （A）24 种 （B）18 种 （C）12 种 （D）6 种 9若数列 n a的通项公式是 2 )23() 1(23 nnnnn n a + =，, 2 , 1=n，则
5、 )(lim 21n n aaa+ 等于 （A） 24 11 （B） 24 17 （C） 24 19 （D） 24 25 10某班试用电子投票系统选举班干部候选人全班k名同学都有选举权和被选举权， 他们的编号分别为k, 2 , 1规定：同意按“1” ，不同意（含弃权）按“0” 令 = 号同学当选号同学不同意第第 号同学当选号同学同意第第 ji ji aij 0 1 其中ki, 2 , 1，且kj, 2 , 1，则同时同意第 1、2 号同学当选的人数为 （A） kk aaaaaa 2222111211 + （B） 2221212111kk aaaaaa+ （C） 2122211211kk aaa
6、aaa+ （D） kka aaaaa 2122122111 + 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数数 学学（理工农医类）（理工农医类） 第第卷卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. . 11)1lg()( 2 xxf+=， + + = 1 2 1| 0 1 2 )( xx x xx xg，xtgxh2)(=，其中 为偶 函数 12已知双曲线方程为1 916 22 = yx ，则以双曲线左顶点为顶点， 右焦点为焦点的抛物线方程为
7、 13一底面半径为r的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为 a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 14一根长为 1 的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆， 当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8484 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 15 （本小题满分 13 分）已知函数 xxxxxf 44 sincossin2cos)(= （）求)(xf的最小正周期； （）求)(xf在区间 2 , 0 上的最大值和最小值. b a 2r 16 （本小题
8、满分 13 分）已知数列 n a是等差数列，且2 1 =a，12 321 =+aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n nn xab=（Rx） ，求数列 n b的前n项和公式. 17（本小题满分 15 分） 如图， 已知正三棱柱 111 CBAABC 底面边长为 3， 2 33 1 =AA， D为CB延长线上一点，且BCBD = （1）求证：直线 1 BC面DAB1； （2）求二面角BADB 1 的大小； （3）求三棱锥 11 ABBC 的体积 A B C D A1 B1 C1 18 （本小题满分 15 分）如图，已知椭圆的长轴 21A A与x轴平行，短轴 21B B在y轴上
9、， 中心), 0(rM（0 rb （）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率； （）设直线xky 1 =与椭圆交于),( 11 yxC，),( 22 yxD（0 2 y） ，直线xky 2 =与椭 圆次于),( 33 yxG，),( 44 yxH（0 4 y） 求证： 43 431 21 21 1 xx xxk xx xxk + = + ； （）对于（）中的在HGDC,，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证： |OQOP =（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形） 19 （本小题满分 14 分） 有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处， 且aACAB=， x y O M A2 A1 B2
10、 B1 C D H G (0,b+r) (0,-b+r) (-a,r) (a,r) bBC2=，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上 的P点处（建立坐标系如图） （）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？ （）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？ 20 （本小题满分 14 分）设)(xfy =是定义在区间 1 , 1上的函数，且满足条件， y x OB C A P (-b,0)(b,0) 0) 1 () 1(=ff 对任意的u、 1 , 1v，都有| )()(|vuvfuf （）证明：对任意 1 , 1x，都有xxfx1)(1 （）证明：
11、对任意的 1 , 1,vu都有1| )()(|vfuf （）在区间 1 , 1上是否存在满足题设条件的奇函数)(xfy =且使得 = 1 , 2 1 | )()(| 2 1 , 0 | )()(| uvvuvfuf uvvuvfuf 若存在请举一例，若不存在，请说明理由 2003 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷北京卷) 数学数学（理工农医类）（理工农医类）答案答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. . 每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分分. . 1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8B 9C 10C 二、填空题：本题
12、考查基本知识和基本运算二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. .每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 1616 分分. . 11)();(xgxf 12)4(36 2 =xy 13)( 2 1 2 bar+ 14 4 4 + 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8484 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考 查运算能力，满分 13 分. （）解：因为xxxxxf 44 sincossin2cos)(= ) 4 2cos(22
13、sin2cos 2sin)sin)(cossin(cos 2222 += += xxx xxxxx 所以)(xf的最小正周期. 2 2 =T （）解：因为 2 0 x,所以 4 5 4 2 4 +x 当 44 2 =+x时，)(xf取最大值为 2 2 , 当 =+ 4 2x时，)(xf取最小值为1 ) 4 2cos(2)( +=xxf的最大值为 1,最小值为2 奎屯 王新敞 新疆 16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解 决问题的能力.满分 13 分. （）解：设数列 n a公差为d，则 ,1233 1321 =+=+daaaa又. 2, 2 1 =da 所以.
14、2nan= （）解：由,2 nn nn nxxab=得 ,2)22(42 12nn n xnxnxxS+= .2)22(42 132+ += nn n xnxnxxxS 当 x1 时，将式减去式，得 .2 1 )1 (2 2)(2)1 ( 112+ =+= n n nn n xn x xx xnxxxSx x nx x xx S nn n = + 1 2 )1 ( )1 (2 1 2 当 x=1 时，) 1(242+=+=nnnSn 综上可知，当 x=1 时，) 1(242+=+=nnnSn 当 x1 时， x nx x xx S nn n = + 1 2 )1 ( )1 (2 1 2 17本
15、小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的 性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力 和逻辑推理能力. 满分 15 分. （）证明：CDC1B1 ，又 BD=BC=B1C1， 四边形 BDB1C1是平行四边形 奎屯 王新敞 新疆 BC1DB1 奎屯 王新敞 新疆 又 DB1平面 AB1D，BC1平面 AB1D 直线 BC1平面 AB1D 奎屯 王新敞 新疆 （）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1， BB1平面 ABD B1EAD B1EB 是二面角 B1ADB 的平面角 BD=BC=AB E 是 AD 的中点， BE= 2 1 AC= 2 3 在 RtB1BE 中，tanB1E
16、B=3 2 3 3 2 3 1 = BE BB B1EB= 0 60 即二面角 B1ADB 的大小为 0 60 奎屯 王新敞 新疆 A B C D A1 B1 C1 F A B C D A1 B1 C1 E （）解法一：过 A 作 AFBC 于 F， BB1平面 ABC， 平面 ABC平面 BB1C1C， AF平面 BB1C1C 且 AF=3 2 3 3 2 3 = 11 ABBC V = 11C BBA V =AFS CBB 11 3 1 = 3 1 2 33 )3 2 33 2 1 ( = 8 27 即三棱锥 C1ABB1的体积为 8 27 奎屯 王新敞 新疆 18本小主要考查直线、椭圆和
17、双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满 分 15 分. （）解：椭圆方程为1 )( 2 2 2 2 = + b ry a x 焦点坐标为),( 22 1 rbaF，),( 22 2 rbaF 离心率 a ba e 22 = （） 证明：证明：将直线 CD 的方程xky 1 =代 入椭圆方程1 )( 2 2 2 2 = + b ry a x ，得 222 1 222 )(barxkaxb=+ 整理得 0)(2)( 22222 1 2 2 1 22 =+bararxakxkab F A B C D A1 B1 C1 E x y O M A2 A1 B2 B1 C D H G P Q (
18、0,b+r) (0,-b+r) (-a,r) (a,r) 根据韦达定理，得 2 1 22 2 1 21 2 kab rak xx + =+， 2 1 22 2222 21 kab bara xx + =， 所以 rk br xx xx 1 22 21 21 2 = + 将直线 GH 的方程xky 2 =代入椭圆方程1 )( 2 2 2 2 = + b ry a x ，同理可得 rk br xx xx 2 22 43 43 2 = + 由 、得 r br xx xxk 2 22 21 211 = + = 43 432 xx xxk + 所以结论成立 奎屯 王新敞 新疆 （）证明：设点 P)0 ,
19、(p，点 Q)0 ,(q 由 C、P、H 共线，得 42 11 4 1 xk xk px px = 解得 4211 4121 )( xkxk xxkk p = 由 D、Q、G 共线，同理可得 32 21 3 2 xk xk px px = 3221 3221 )( xkxk xxkk q = 由 21 211 xx xxk + = 43 432 xx xxk + 变形得 4211 4121 )( xkxk xxkk = 3221 3221 )( xkxk xxkk 所以 qp = 即 OQOP = 19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.满分 14
20、 分. （）解：由题设条件 ab0,设 P 的坐标为（0，y） ，则 P 至三镇距离的平方和为 22222 )()(2)(ybaybyf+= = 22222 23baybay+ 所以，当 3 22 ba y =时，函数)(yf取得最小值. 答:点 P 的坐标是) 3 , 0( 22 ba （）解：记 22 bah= P 至三镇的最远距离为 + + = . |,| |,|, )( 22 2222 yhybyh yhybyb xg 当 当 由| 22 yhyb+解得, 2 22 h bh y 记, 2 22 * h bh y = 于是 + = .|,| , )( * *22 yyyh yyyb x
21、g 当 当 当0 2 22 * = h bh y，即bh 时， 因为 22 yb + 在), * +y上是增函数，而y,(-| * 在yh上是减函数. 所以 * yy =时,函数)(yg取得最小值. 点 P 的坐标是) 2 , 0( 22 h bh y x OB C A P (-b,0)(b,0) 当0 2 22 * = h bh y，即bh 时，因为 22 yb + 在), * +y上当 y=0 函数)(yg取得 最小值 b， 而y,(-| * 在yh上是减函数,且 b| yh， 所以0=y时, 函数 )(yg取得最小值. 答：当bh 时，点 P 的坐标是) 2 , 0( 22 h bh 当
22、bh 时，点 P 的坐标是)0 , 0(，其中 22 bah= 20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.满分 14 分. （）证明：由题设条件可知， 当 1 , 1x时，有,1| 1| ) 1 ()(| )(|xxfxfxf=即.1)(1xxfx （）对任意的 1 , 1,vu， 当1| )()(|,1|u|vuvfufv有时 当,1|u|时v0,uv不妨设,1 , 0(),0 , 1vu 则1uv 从而有 ) 1 ()() 1()(| )()(|fvffufvfuf+1)(2| 1| 1|=+uvvu 总上可知，对任意的 1 , 1,vu，都有1| )()(|vfuf （）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下： 假设存在函数)(xf满足条件，则由. | )()(|vuvfuf= 1 , 2 1 , vu得 2 1 |1 2 1 | ) 1 () 2 1 (|= ff 又0) 1 (=f，所以 2 1 | ) 2 1 (|=f 又因为)(xf为奇函数，所以0)0(=f， 由条件. | )()(|vuvfuf 2 1 , 0, vu得 2 1 |0 2 1 | )0() 2 1 (| ) 2 1 (|=fff 所以 2 1 | ) 2 1 (|f 与矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.
