1、 aaaa b b bb O O OO (A) (B) (C) (D) 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学试题 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1如果函数abxaxy+= 2 的图象与 x 轴有两上交点，则点（a，b）在 aOb 平面上的区 域（不包含边界）为 （ ） 2抛物线 2 axy =的准线方程是 y=2，则 a 的值为 （ ） A 8 1 B 8 1 C8 D8 3已知=xxx2tan, 5 4 cos),0 , 2 (则 （ ） A 24 7
2、B 24 7 C 7 24 D 7 24 4设函数 , 1)( . 0, , 0, 12 )( 0 2 1 = xf xx x xf x 若 则 x0的取值范围是 （ ） A （1，1） B （1，+） C （，2） （0，+） D （，1）（1，+） 5O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ), 0), | (+= AC AC AB AB OAOP则 P 的轨迹一定通过ABC 的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 6函数), 1 (, 1 1 ln+ + =x x x y的反函数为 （ ） A), 0(, 1 1 + + =x e e y x x B)
3、, 0(, 1 1 + + =x e e y x x C)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x D)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x 7棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） A 3 3 a B 4 3 a C 6 3 a D 12 3 a 8 设,)(, 0 2 cbxaxxfa+=曲线)(xfy =在点)(,( 00 xfxP处切线的倾斜角的取值范 围为 4 , 0 ，则 P 到曲线)(xfy =对称轴距离的取值范围为 （ ） A a 1 , 0 B 2 1 , 0 a C| 2 | , 0 a b D| 2 1 | ,
4、 0 a b 9已知方程0)2)(2( 22 =+nxxmxx的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列，则 |mn|= （ ） A1 B 4 3 C 2 1 D 8 3 10已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（7，0）直线 y=x1 与其相交于 M、N 两点， MN 中点的横坐标为 3 2 ，则此双曲线的方程是 （ ） A1 43 22 = yx B1 34 22 = yx C1 25 22 = yx D1 52 22 = yx 11已知长方形四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中 点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P
5、1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的 点 P2、P3和 P4（入射角等于反射角）.设 P4的坐标为（x4，0）.若 1 x42，则 tan的取 值范围是 （ ） A) 1 , 3 1 ( B) 3 2 , 3 1 ( C) 2 1 , 5 2 ( D) 3 2 , 5 2 ( 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A3 B4 C 33 D6 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，把答案填在题中横线上. 13 92 ) 2 1 ( x x 展开式中 x9的系数是 奎屯 王新敞 新疆 14某公司生产三种型号
6、的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的 产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 奎屯 王新敞 新疆 15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分 （如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答） 16对于四面体 ABCD，给出下列四个命题 若 AB=AC，BD=CD，则 BCAD. 若 AB=CD，AC=BD，则 BCAD. 若 ABAC，BDCD，则 BCAD. 若 ABCD，BDAC，则 BCAD. 其中真命题的
7、序号是 .（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 有三种产品，合格率分别是 0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001） 18 （本小题满分 12 分） 已知函数)0 , 0)(sin()(+=xxf上R上的偶函数， 其图象关于点)0 , 4 3 ( M对 称，且在区间 2 , 0 上是单调函数，求和的值. 19 （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形
8、， ACB=90，侧棱 AA1=2， D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G. （） 求A1B与平面ABD 所成角的大小 （结 果用反三角函数值表示） ； （）求点 A1到平面 AED 的距离. D E K B C1 A1 B1 A F C G 20 （本小题满分 12 分） 已知常数0a，向量).0 , 1 (), 0(=iac经过原点 O 以ic+为方向向量的直线与经 过定点 A（0，a）以ci2为方向向量的直线相交于点 P，其中.R试问：是否存在 两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在
9、，说明理由. 21 （本小题满分 12 分） 已知na, 0为正整数. （）设 1 )(,)( = nn axnyaxy证明； （）设).() 1() 1(,)()( 1 nfnnfanaxxxf nn nn n + = + 证明对任意 22 （本小题满分 14 分） 设, 0a如图，已知直线axyl=:及曲线 C： 2 xy =，C 上的点 Q1的横坐标为 1 a （aa 1 0） .从 C 上的点 Qn（n1） 作直线平行于 x 轴， 交直线 l 于点 1+n P， 再从点 1+n P 作直线平行于 y 轴，交曲线 C 于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数列 . n a
10、（）试求 nn aa与 1+ 的关系，并求 n a的通项公式； （）当 2 1 , 1 1 =aa时，证明 = + n k kkk aaa 1 21 32 1 )(； （）当 a=1 时，证明 + n k kkk aaa 1 21 . 3 1 )( O c y l x Q1 Q2 Q3 1 a 2 a 3 a r2 r1 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题（江苏卷）（江苏卷）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分. 1C 2B 3D 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10D 11C 12A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每
11、小题 4 分，满分 16 分. 13 2 21 146,30,10 15120 16 三、解答题 17本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C. （）95. 0)()(,90. 0)(=CPBPAP， .50. 0)()(,10. 0)(=CPBPAP 因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176. 095. 095. 010. 005. 095. 090. 02 )()()()()()()()()( )()()( =+= += + CPBPAPCPBPAPCPBPA
12、P CBAPCBAPCBAP 答：恰有一件不合格的概率为 0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 )()()()(CBAPCBAPCBAPCBAP+ 012. 005. 010. 095. 005. 010. 0205. 090. 0 22 =+= 解法二：三件产品都合格的概率为 812. 095. 090. 0)()()()( 2 =CPBPAPCBAP 由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 .012. 0)176. 0812. 0(1176. 0)(1=+=+CBAP 答：至少有两件不合的概率为 0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象
13、和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分 奎屯 王新敞 新疆 解：由),()(,)(xfxfxf=得是偶函数 . 0cos, 0, sincossincos ),sin()sin( = = +=+ 所以得且都成立对任意 所以 即 x xx xx . 2 3 2 , ; 2 , 0) 2 sin()(, 3 10 ,0 ; 2 , 0) 2 2sin()(, 2,1 ; 2 , 0) 23 2 sin()(, 3 2 ,0 ., 2 , 1 , 0),12( 3 2 , 3 , 2 , 1, 24 3 , 0, 0 4 3 cos , 4 3 cos) 24 3 s
14、in() 4 3 ( , 4 3 cos) 24 3 sin() 4 3 (, 0 ), 4 3 () 4 3 (,)( . 2 ,0 = += += += =+= =+= =+= =+= += = 或综合得所以 上不是单调函数在时当 上是减函数在时当 上是减函数在时当 得又 得取 得对称的图象关于点由 所以解得依题设 xxfk xxfk xxfk kk kk f fx xfxfMxf 19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一： （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 AB
15、D 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3, 32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 . 3, 1, 3 1 ., , 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED = = = = = （）连结 A1D，有 EAADAEDA VV 11 = ,FABEFEFEDABED=又 ABAED 1 平面, 设 A1到
16、平面 AED 的距离为 h， 则EDShS ABAAED = 1 . 2 6 2 1 ,2 4 1 2 1 1 11 = EDAESABAASS AEDABAAEA 又 . 3 62 . 3 62 2 6 22 1 的距离为到平面即AEDAh= = 解法二： （）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a， 则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) . 3 7 arccos . 3 7 21 3 1 32 3/14 | cos ). 3 1 , 3 4 , 3 2
17、 (),2 , 2, 2( . 1. 0 3 2 3 2 ).1 ,2, 0(), 3 2 , 3 , 3 ( ). 3 1 , 3 2 , 3 2 (),1 ,(),2 , 0 ,2( 1 1 1 1 1 2 1 所成角是与平面 解得 ABDBA BGBA BGBA BGA BGBA aaBDGEaBD aa CE aa GaaEaA = = = = =+= （）由（）有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) ., , 0)0 , 1, 1()2 , 0 , 0( , 0)0 , 1, 1() 1 , 1 , 1( 1 1 AEDEDEAAED EDAA E
18、DAE 平面又平面 = = （）当 2 2 =a 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F； （）当 2 2 0 a 时，方程表示椭圆，焦点 ) 2 , 2 1 2 1 () 2 , 2 1 2 1 ( 22 a aF a aE和 （）当 , 2 2 时a 方程也表示椭圆，焦点 ) 2 1 ( 2 1 , 0() 2 1 ( 2 1 , 0( 22 +aaFaaE和 为合乎题意的两个 定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分 12 分. 证明： （）因为 n k k n n Cax 0 )( = = kkn xa )(， 所以
19、 1 0 )( = = kkn n k k n xakCy n k n 0= =.)()( 111 1 = nkknk n axnxaC （）对函数 nn n axxxf)()(=求导数: nnnn nn n n nn n nn n annannan xaxxxfax xfax annnnf axnnxxf )()1() 1( , .)()(, . 0)(,0 .)()( ,)()( 11 11 + = = = 时当因此 的增函数是关于时当 时当 所以 )()(1()1() 1)(1() 1( 1 nnnn n annnannnnf+=+ + ).() 1()()(1( 1 nfnannnn
20、n nn +=+ 即对任意).() 1() 1(, 1 nfnnfan nn + + 22本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力， 满分 14 分. （）解：). 1 , 1 (), 1 (),( 4 2 2 1 22 1 2 1nnnnnnnnn a a a a Qaa a PaaQ + , 1 2 1nn a a a= + 2 2 2 2122 2 2 1 ) 1 () 1 ( 11 + = nnnn a a a aa a a a = + + 322 2 2 22122 3 21 ) 1 () 1 () 1 ( nn a a a aa =
21、11112 212 1 122 1 221 )() 1 () 1 ( + = + nnnnn a a aa a a a ， .)( 1 21 = n a a aan （）证明：由 a=1 知, 2 1nn aa= + , 2 1 1 a . 16 1 , 4 1 32 aa 当. 16 1 ,1 32 + aak k 时 = + = + = n k nkk n k kkk aaaaaaa 1 111 1 21 . 32 1 )( 16 1 )( 16 1 )( （）证明：由（）知，当 a=1 时，, 1 2 1 = n aan 因此 = + = + = + n k iii i n k kkk aaaaaaaaa n kkk 1 22 1 1 11 12 1 2 1 2 1 2 1 1 21 )()()( 11 = = 12 1 3 1 3 12 11 3 1 2 11 1 )1 ()1 ( n i i a a aaaaa = . 3 1 1 2 11 5 1 +aa a
