1、 2004 年高考试题全国卷 4 理科数学（必修+选修） （甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分 钟. 第 I 卷 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）=P（A） P（B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k nP k(1P)nk 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项
2、是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1已知集合,2|,2 , 1 , 0MaaxxNM=，则集合NM = （ ） A0 B0，1 C1，2 D0，2 2函数)( 2 Rxey x =的反函数为 （ ） A)0(ln2=xxy B)0)(2ln(=xxy C)0(ln 2 1 =xxy D)0(2ln 2 1 =xxy 3过点（1，3）且垂直于直线032=+ yx的直线方程为 （ ） A012=+ yx B052=+ yx C052=+ yx D072=+ yx 4) 1 )31 ( 2 i i + = （ ） Ai+3 Bi3 Ci3 Di+3 5不等式0 3 )2( + x xx 的解集为
3、 （ ） A30, 2|xxx或 B3, 22|xxx或 球的表面积公式 S=4 2 R 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V= 3 3 4 R 其中 R 表示球的半径 C0, 2|xxx或 D3, 0|xxx或 6等差数列 n a中，78,24 201918321 =+=+aaaaaa，则此数列前 20 项和等于 （ ） A160 B180 C200 D220 7对于直线 m、n 和平面，下面命题中的真命题是 （ ） A如果mnm,、n 是异面直线，那么/n B如果mnm,、n 是异面直线，那么与n相交 C如果mnm,/,、n 共面，那么nm/ D如果mnm,/,/、n 共面，那么nm
4、/ 8 已知椭圆的中心在原点， 离心率 2 1 =e， 且它的一个焦点与抛物线xy4 2 =的焦点重合， 则此椭圆方程为 （ ） A1 34 22 =+ yx B1 68 22 =+ yx C1 2 2 2 =+ y x D1 4 2 2 =+ y x 9 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师， 派到 3 个班担任班主任 （每班 1 位班主任） ， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A210 种 B420 种 C630 种 D840 种 10已知球的表面积为 20，球面上有 A、B、C 三点.如果 AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面 A
5、BC 的距离为 （ ） A1 B2 C3 D2 11ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列， B=30，ABC 的面积为 2 3 ，那么 b= （ ） A 2 31+ B31+ C 2 32+ D32+ 12设函数)(Rxxf为奇函数，),2()()2(, 2 1 ) 1 (fxfxff+=+=则=)5(f（ ） A0 B1 C 2 5 D5 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13 8 ) 1 ( x x 展开式中 5 x的系数为 . 14向量a 、b 满足（a b ） （2a +b ）=4，且|
6、a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值 等于 . 15函数)(2cos 2 1 cos)(Rxxxxf=的最大值等于 . 16设yx,满足约束条件： + , 0 , , 1 y xy yx 则yxz+= 2的最大值是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 奎屯 王新敞 新疆 17 （本小题满分 12 分） 已知为第二象限角，且 sin=, 4 15 求 12cos2sin ) 4 sin( + + 的值. 18 （本小题满分 12 分） 求函数 2 4 1 )1ln()(xxxf+=在0，2上的最大值和最小值. A B C D
7、P 19 （本小题满分 12 分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分， 回答不正确得100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相 互之间没有影响. （）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望； （）求这名同学总得分不为负分（即0）的概率. 20 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面 PAD 为等 边三角形，并且与底面所成二面角为 60. （）求四棱锥 PABCD 的体积； （）证明 PABD. 21 （本小题满分 12 分） 双曲线
8、)0, 1( 1 2 2 2 2 =ba b y a x 的焦点距为 2c，直线l过点（a，0）和（0，b） ，且点 （1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和. 5 4 cs 求双曲线的离心率 e 的 取值范围. 22 （本小题满分 14 分） 已知函数0)(),sin(cos)(=+= xfxxexf x 将满足的所有正数x从小到大排成数列 . n x （）证明数列 n xf为等比数列； （）记 n S是数列 nn xfx的前 n 项和，求.lim 21 n SSS n n + 2004 年高考试题全国卷 4 理科数学（必修+选修） （甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区） 参
9、考答案 一、选择题一、选择题 112 D C A D A B C A B A B C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 1328 14 2 1 15 4 3 162 三、解答题三、解答题 17 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式， 二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分 12 分. 解： 2 cos2cossin2 )cos(sin 2 2 12cos2sin ) 4 sin( + + = + + . )cos(sincos4 )cos(sin2 + +
10、= 当为第二象限角，且 4 15 sin=时 4 1 cos, 0cossin=+， 所以 12cos2sin ) 4 sin( + + =. 2 cos4 2 = 18本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分 12 分. 解：, 2 1 1 1 )(x x xf + = 令 , 0 2 1 1 1 = + x x 化简为, 02 2 =+ xx 解得. 1),(2 21 =xx舍去 当)(, 0)(,10xfxfx时单调增加； 当)(, 0)(,21xfxfx时单调减少. 图2 A B C D P O E F z y x 图1 A
11、 B C D P OE 所以 4 1 2ln) 1 (=f为函数)(xf的极大值. 又因为 ),2() 1 (, 013ln)2(, 0)0(ffff= 所以 0)0(=f为函数)(xf在0，2上的最小值， 4 1 2ln) 1 (=f为函数)(xf 在0，2上的最大值. 19本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分 12 分. 解： （）的可能值为300，100，100，300. P（=300）=0.23=0.008, P（=100）=3 0.220.8=0.096, P（=100）=3 0.20.82=0.384, P（=300）
12、=0.83=0.512, 所以的概率分布为 300 100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根据的概率分布，可得的期望 E=（300）0.08+（100）0.096+100 0.384+300 0.512=180. （）这名同学总得分不为负分的概率为 P（0）=0.384+0.512=0.896. 20本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分 12 分. 解： （）如图 1，取 AD 的中点 E，连结 PE，则 PEAD. 作 PO平面在 ABCD，垂足为 O，连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OEA
13、D， 所以PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知PEO=60，PE=6， 所以 PO=33，四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD=.9633348 3 1 = （）解法一：如图 1，以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P（0，0，33） ，A（23，3，0） ，B（23，5，0） ，D（23，3，0） 所以).0 , 8, 34(),33, 3, 32(=BDPA 因为, 002424=+=BDPA 所以 PABD. 解法二：如图 2，连结 AO，延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算可得 EO=3，AE=23，又知 AD=43，AB=8，得.
14、AB AD AE EO = 所以 RtAEORtBAD. 得EAO=ABD. 所以EAO+ADF=90 所以 AFBD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影，所以 PABD. 21本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分 12 分. 解：直线l的方程为1=+ b y a x ，即 . 0=+abaybx 由点到直线的距离公式，且1a，得到点（1，0）到直线l的距离 22 1 ) 1( ba ab d + =， 同理得到点（1，0）到直线l的距离 22 2 ) 1( ba ab d + + = . 22 22 21 c ab ba ab dd
15、s= + =+= 由, 5 42 , 5 4 c c ab cs得 即 .25 222 caca 于是得 . 025254,215 2422 +eeee即 解不等式，得 . 5 4 5 2 e 由于, 01e所以e的取值范围是 . 5 2 5 e 22本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以 及综合运用的能力.满分 14 分. （）证明：.sin2)cossin()sin(cos)(xexxexxexf xxx =+= 由, 0)(= x f得. 0sin2= xe x 解出nnx,=为整数，从而 , 3 , 2 , 1,=nnxn .) 1()( nn n
16、 exf = . )( )( 1+ =e xf xf n n 所以数列)( n xf是公比 = eq的等比数列，且首项.)( 1 qxf= （）解：)()()( 2211nnn xfxxfxxfxS+= ),21 ( 1 += n nqqq ), 1 1 ( )21 ( ),2( 12 2 n n nn nn n n nq q q q nqqqqqSS nqqqqqS = += += 从而). 1 1 ( 1 n n n nq q q q q S = n SSS n + 21 . )1 ( )1 ( )1 ( 2 )1 ( ) 1 1 ( )1 (1 1 )1 ()1 ( )21 ( )1 ( )1 ( )1 ()1 ( 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 q q q qn q q q nq q q qn q q q qn q q q nqq qn q qq qn q q q n n n nn nn + = = + + = + 因为0lim. 1|= n n qeq ，所以 . ) 1()1 ( lim 22 21 + = = + e e q q n SSS n n
