1、 2004 年普通高等学校春季招生考试数学（理工） （北京卷）年普通高等学校春季招生考试数学（理工） （北京卷） 一. 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1. 在函数yxyxyxytg x =sinsincos2 2 ，中，最小正周期为的函数是 （ ） A. yx= sin2 B. yx= sin C. yx= cos D. ytg x = 2 2. 当 2 3 1m时，复数zmmi=+()()321在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
2、D. 第四象限 3. 双曲线 xy 22 49 1=的渐近线方程是（ ） A. yx= 3 2 B. yx= 2 3 C. yx= 9 4 D. yx= 4 9 4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 5. 在极坐标系中，圆心在()2，且过极点的圆的方程为（ ） A. = 2 2cos B. = 2 2cos C. = 2 2sin D. = 2 2sin 6. 已知sin()cos()+00，则下列不等关系中必定成立的是（ ） A. tgctg 22 B. tgctg 22 C. sincos 22 D
3、. sincos 22 7. 已知三个不等式：abbcad c a d b 000，（其中 a，b，c，d 均为实数） ，用 其中两个不等式作为条件， 余下的一个不等式作为结论组成一个命题， 可组成的正确命题的 个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一 个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A. 77cm B. 7 2cm C. 5 5cm D. 10 2cm 9. 在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法的种数 是（ ）
4、 A. C C 6 1 94 2 B. C C 6 1 99 2 C. CC 100 3 94 3 D. PP 100 3 94 3 10. 期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M，如果把 M 当成一个同 学的分数，与原来的 40 个分数一起，算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 M:N 为（ ） A. 40 41 B. 1 C. 41 40 D. 2 二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 11. 若fx 1( ) 为函数f xx( )lg()=+1的反函数，则fx 1( ) 的值域是_ 奎屯 王新
5、敞 新疆 12. sin()sin() cos + 3030 的值为_ 奎屯 王新敞 新疆 13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b，2003 年产生的垃圾量为 a 吨 奎屯 王新敞 新疆由此预 测，该区下一年的垃圾量为_吨，2008 年的垃圾量为_吨 奎屯 王新敞 新疆 14. 若直线mxny+=30与圆xy 22 3+=没有公共点，则 m，n 满足的关系式为 _；以（m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 xy 22 73 1+=的公共 点有_个 奎屯 王新敞 新疆 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 84 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或
6、演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15. （本小题满分 13 分） 当01a时，解关于 x 的不等式aa xx212 奎屯 王新敞 新疆 16. （本小题满分 13 分） 在ABC中，a，b，c 分别是ABC，的对边长，已 知 a，b，c 成等比数列，且acacbc 22 =，求A的大小及 bB c sin 的值 奎屯 王新敞 新疆 17. （本小题满分 15 分） 如图，四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂 直于底面 ABCD，SB =3 奎屯 王新敞 新疆 D AB S C （I）求证BC SC； （II）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小； （III）设棱 SA
7、的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 奎屯 王新敞 新疆 18. （本小题满分 15 分） 已知点 A （2， 8） ，B xyC xy()() 1122 ，在抛物线ypx 2 2= 上，ABC的重心与此抛物线的焦点 F 重合（如图） y B O A FM x C （I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （II）求线段 BC 中点 M 的坐标； （III）求 BC 所在直线的方程 奎屯 王新敞 新疆 19. （本小题满分 14 分） 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一
8、个，订购的 全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元 奎屯 王新敞 新疆 （I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？ （II）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数Pf x=( )的表达式； （III）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个，利 润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本） 20. （本小题满分 14 分） 下表给出一个“等差数阵” ： 4 7 （ ） （ ） （ ） a j1 7 12 （ ） （ ） （ ） a j2 （ ） （ ） （ ）
9、 （ ） （ ） a j3 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） a j4 ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数 奎屯 王新敞 新疆 （I）写出a45的值； （II）写出aij的计算公式； （III） 证明： 正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整 数之积 奎屯 王新敞 新疆 2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工） （北京卷）年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工） （北京卷） 参考解答参考解答 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞
10、 新疆每小题 5 分，满分 50 分 奎屯 王新敞 新疆 1. A 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. C 10. B 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 11. ()+1， 12. 1 13. ab()1+ ab()1 5 + 14. 03 22 +mn 2 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 84 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15. 本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维 能力
11、，满分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解：由01a，原不等式可化为212xx 这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集： 210 20 1 x x ( ) 或 210 20 212 2 2 x x xx () ( ) 解不等式组(1)得解集 |xx 1 2 2 解不等式组(2)得解集 |xx25 所以原不等式的解集为 |xx 1 2 5 16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能 力 奎屯 王新敞 新疆满分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）abc， ，成等比数列 =bac 2 又acacbc 22 = +=bcabc 222
12、在ABC中，由余弦定理得 cosA bca bc bc bc = + = 222 22 1 2 =A60 （II）在ABC中，由正弦定理得sin sin B bA a = bacA 2 60=， = = bB c b ca sinsin sin 2 60 60 3 2 17. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力 和运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 15 分 奎屯 王新敞 新疆 （I）证明：如图 1 D AB S C 图 1 底面 ABCD 是正方形 BC DC SD底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC （
13、II）解： SD底面 ABCD，且 ABCD 为正方形 可以把四棱锥SABCD补形为长方体A B C SABCD 111 ，如图 2 面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角， SC BCBCA S SC A S ，/ / 1 1 又SD A S 1 CSD为所求二面角的平面角 在Rt SCB中，由勾股定理得SC =2 在Rt SDC中，由勾股定理得SD =1 =CSD45 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为45 C1 C A D B A1 S B1 图 2 BA D S l C 图 3 （III）解：如图 3 SDADSDA=190， SDA是
14、等腰直角三角形 又 M 是斜边 SA 的中点 = DM SA BA ADBA SDADSDD， BA面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD 上的射 影 由三垂线定理得DM SB 异面直线 DM 与 SB 所成的角为90 D AB M S C P 图 4 18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问 题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 15 分 解： （I）由点 A（2，8）在抛物线ypx 2 2=上，有822 2 =p 解得p =16 所以抛物线方程为yx 2 32=，焦点 F 的坐标为（8，0） （II）如图，由 F（8，0）是ABC的重心，M 是 B
15、C 的中点，所以 F 是线段 AM 的定比分 点，且 AF FM = 2 设点 M 的坐标为()xy 00 ，则 22 12 8 82 12 0 00 + + = + + = xy ， 解 得xy 00 114= ， 所 以 点 M 的 坐 标 为 ()114， y B O A FM x C （III）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴 奎屯 王新敞 新疆 设 BC 所成直线的方程为 yk xk+=4110()() 由 yk x yx += = 411 32 2 () 消 x 得 kyyk 2 3232 1140+=() 所以yy k 12 32
16、 += 由（II）的结论得 yy 12 2 4 + = 解得k = 4 因此 BC 所在直线的方程为 yx+= 4411() 即4400xy+= 19. 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解： （I）设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时，一次订购量为x0个，则 x0100 6051 002 550=+ = . 因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元 奎屯 王新敞 新疆 （II）当0100x时，P = 60 当100550x时，Px x =6000210062 50 .() 当x 5
17、50时，P = 51 所以Pf x x x xxN x = ( )() 600100 62 50 100550 51550 （III）设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元，则 LPx xx x x xxN = () () 40 200100 22 50 100500 2 当x =500时，L = 6000；当x =1000时，L =11000 因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是 6000 元； 如果订购 1000 个，利润是 11000 元 奎屯 王新敞 新疆 20. 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决 问
18、题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解： （I）a4549= （II）该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： aj j1 431=+() 第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： aj j2 751=+() 第 i 行是首项为431+()i，公差为21i +的等差数列，因此 aiij ijijijj ij =+ =+ +=+ 431211 221 ()()() () （III）必要性：若 N 在该等差数阵中，则存在正整数 i，j 使得Nijj=+()21 从而212 2121Nijj+ =+() =+()()21 21ij 即正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积 奎屯 王新敞 新疆 充分性：若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积，由于 2N+1 是奇数，则它必为 两个不是 1 的奇数之积，即存在正整数 k，l，使得 2121 21Nkl+ =+()() 从而Nkllakl=+ =()21 可见 N 在该等差数阵中 综上所述， 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整 数之积 奎屯 王新敞 新疆
