1、 2004 年普通高等学校春季招生考试数学(理工) (北京卷)年普通高等学校春季招生考试数学(理工) (北京卷) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1. 在函数yxyxyxytg x =sinsincos2 2 ,中,最小正周期为的函数是 ( ) A. yx= sin2 B. yx= sin C. yx= cos D. ytg x = 2 2. 当 2 3 1m时,复数zmmi=+()()321在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
2、D. 第四象限 3. 双曲线 xy 22 49 1=的渐近线方程是( ) A. yx= 3 2 B. yx= 2 3 C. yx= 9 4 D. yx= 4 9 4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍,则该圆锥的母线与底面所成的角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 5. 在极坐标系中,圆心在()2,且过极点的圆的方程为( ) A. = 2 2cos B. = 2 2cos C. = 2 2sin D. = 2 2sin 6. 已知sin()cos()+00,则下列不等关系中必定成立的是( ) A. tgctg 22 B. tgctg 22 C. sincos 22 D
3、. sincos 22 7. 已知三个不等式:abbcad c a d b 000,(其中 a,b,c,d 均为实数) ,用 其中两个不等式作为条件, 余下的一个不等式作为结论组成一个命题, 可组成的正确命题的 个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一 个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是( ) A. 77cm B. 7 2cm C. 5 5cm D. 10 2cm 9. 在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数 是( )
4、 A. C C 6 1 94 2 B. C C 6 1 99 2 C. CC 100 3 94 3 D. PP 100 3 94 3 10. 期中考试以后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当成一个同 学的分数,与原来的 40 个分数一起,算出这 41 个分数的平均值为 N,那么 M:N 为( ) A. 40 41 B. 1 C. 41 40 D. 2 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 11. 若fx 1( ) 为函数f xx( )lg()=+1的反函数,则fx 1( ) 的值域是_ 奎屯 王新
5、敞 新疆 12. sin()sin() cos + 3030 的值为_ 奎屯 王新敞 新疆 13. 据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为 b,2003 年产生的垃圾量为 a 吨 奎屯 王新敞 新疆由此预 测,该区下一年的垃圾量为_吨,2008 年的垃圾量为_吨 奎屯 王新敞 新疆 14. 若直线mxny+=30与圆xy 22 3+=没有公共点,则 m,n 满足的关系式为 _;以(m,n)为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆 xy 22 73 1+=的公共 点有_个 奎屯 王新敞 新疆 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 84 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明,证明过程或
6、演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15. (本小题满分 13 分) 当01a时,解关于 x 的不等式aa xx212 奎屯 王新敞 新疆 16. (本小题满分 13 分) 在ABC中,a,b,c 分别是ABC,的对边长,已 知 a,b,c 成等比数列,且acacbc 22 =,求A的大小及 bB c sin 的值 奎屯 王新敞 新疆 17. (本小题满分 15 分) 如图,四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂 直于底面 ABCD,SB =3 奎屯 王新敞 新疆 D AB S C (I)求证BC SC; (II)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (III)设棱 SA
7、的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 奎屯 王新敞 新疆 18. (本小题满分 15 分) 已知点 A (2, 8) ,B xyC xy()() 1122 ,在抛物线ypx 2 2= 上,ABC的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) y B O A FM x C (I)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (II)求线段 BC 中点 M 的坐标; (III)求 BC 所在直线的方程 奎屯 王新敞 新疆 19. (本小题满分 14 分) 某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一
8、个,订购的 全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元 奎屯 王新敞 新疆 (I)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (II)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数Pf x=( )的表达式; (III)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个,利 润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本) 20. (本小题满分 14 分) 下表给出一个“等差数阵” : 4 7 ( ) ( ) ( ) a j1 7 12 ( ) ( ) ( ) a j2 ( ) ( ) ( )
9、 ( ) ( ) a j3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a j4 ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第 i 行第 j 列的数 奎屯 王新敞 新疆 (I)写出a45的值; (II)写出aij的计算公式; (III) 证明: 正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整 数之积 奎屯 王新敞 新疆 2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题(理工) (北京卷)年普通高等学校春季招生考试数学试题(理工) (北京卷) 参考解答参考解答 一. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞
10、 新疆每小题 5 分,满分 50 分 奎屯 王新敞 新疆 1. A 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. C 10. B 二. 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 4 分,满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 11. ()+1, 12. 1 13. ab()1+ ab()1 5 + 14. 03 22 +mn 2 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 84 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15. 本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识,考查运算能力和逻辑思维 能力
11、,满分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解:由01a,原不等式可化为212xx 这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集: 210 20 1 x x ( ) 或 210 20 212 2 2 x x xx () ( ) 解不等式组(1)得解集 |xx 1 2 2 解不等式组(2)得解集 |xx25 所以原不等式的解集为 |xx 1 2 5 16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能 力 奎屯 王新敞 新疆满分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解: (I)abc, ,成等比数列 =bac 2 又acacbc 22 = +=bcabc 222
12、在ABC中,由余弦定理得 cosA bca bc bc bc = + = 222 22 1 2 =A60 (II)在ABC中,由正弦定理得sin sin B bA a = bacA 2 60=, = = bB c b ca sinsin sin 2 60 60 3 2 17. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力 和运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 15 分 奎屯 王新敞 新疆 (I)证明:如图 1 D AB S C 图 1 底面 ABCD 是正方形 BC DC SD底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC (
13、II)解: SD底面 ABCD,且 ABCD 为正方形 可以把四棱锥SABCD补形为长方体A B C SABCD 111 ,如图 2 面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角, SC BCBCA S SC A S ,/ / 1 1 又SD A S 1 CSD为所求二面角的平面角 在Rt SCB中,由勾股定理得SC =2 在Rt SDC中,由勾股定理得SD =1 =CSD45 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为45 C1 C A D B A1 S B1 图 2 BA D S l C 图 3 (III)解:如图 3 SDADSDA=190, SDA是
14、等腰直角三角形 又 M 是斜边 SA 的中点 = DM SA BA ADBA SDADSDD, BA面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上的射 影 由三垂线定理得DM SB 异面直线 DM 与 SB 所成的角为90 D AB M S C P 图 4 18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问 题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 15 分 解: (I)由点 A(2,8)在抛物线ypx 2 2=上,有822 2 =p 解得p =16 所以抛物线方程为yx 2 32=,焦点 F 的坐标为(8,0) (II)如图,由 F(8,0)是ABC的重心,M 是 B
15、C 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分 点,且 AF FM = 2 设点 M 的坐标为()xy 00 ,则 22 12 8 82 12 0 00 + + = + + = xy , 解 得xy 00 114= , 所 以 点 M 的 坐 标 为 ()114, y B O A FM x C (III)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴 奎屯 王新敞 新疆 设 BC 所成直线的方程为 yk xk+=4110()() 由 yk x yx += = 411 32 2 () 消 x 得 kyyk 2 3232 1140+=() 所以yy k 12 32
16、 += 由(II)的结论得 yy 12 2 4 + = 解得k = 4 因此 BC 所在直线的方程为 yx+= 4411() 即4400xy+= 19. 本小题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解: (I)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为x0个,则 x0100 6051 002 550=+ = . 因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元 奎屯 王新敞 新疆 (II)当0100x时,P = 60 当100550x时,Px x =6000210062 50 .() 当x 5
17、50时,P = 51 所以Pf x x x xxN x = ( )() 600100 62 50 100550 51550 (III)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则 LPx xx x x xxN = () () 40 200100 22 50 100500 2 当x =500时,L = 6000;当x =1000时,L =11000 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元; 如果订购 1000 个,利润是 11000 元 奎屯 王新敞 新疆 20. 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决 问
18、题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解: (I)a4549= (II)该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列: aj j1 431=+() 第二行是首项为 7,公差为 5 的等差数列: aj j2 751=+() 第 i 行是首项为431+()i,公差为21i +的等差数列,因此 aiij ijijijj ij =+ =+ +=+ 431211 221 ()()() () (III)必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i,j 使得Nijj=+()21 从而212 2121Nijj+ =+() =+()()21 21ij 即正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积 奎屯 王新敞 新疆 充分性:若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1 是奇数,则它必为 两个不是 1 的奇数之积,即存在正整数 k,l,使得 2121 21Nkl+ =+()() 从而Nkllakl=+ =()21 可见 N 在该等差数阵中 综上所述, 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整 数之积 奎屯 王新敞 新疆