1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生辽宁辽宁卷卷数学试题数学试题 第卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 奎屯 王新敞 新疆 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4 RS= 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 其中 R 表示球的半径球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 3 3 4 RV= 次的概率 knkk nn PPCkP =)1 ()( 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出
2、的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1若则角且, 02sin, 0cos的终边所在象限是 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2对于10 a，给出下列四个不等式 ) 1 1 (log)1 (log a a aa + ) 1 1 (log)1 (log a a aa + a a aa 1 1 1 + + a a aa 1 1 1 + + 其中成立的是 A与 B与 C与 D与 3已知、是不同的两个平面，直线ba直线,，命题bap与:无公共点；命 题 /:q. 则qp是的 A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 4设复数 z 满足=+=
3、+ |1|, 1 1 zi z z 则 A0 B1 C2 D2 5甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 A 21p p B)1 ()1 ( 1221 pppp+ C 21 1pp D)1)(1 (1 21 pp 6已知点)0 , 2(A、)0 , 3(B，动点 2 ),(xPBPAyxP=满足，则点 P 的轨迹是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 7已知函数1) 2 sin()(= xxf，则下列命题正确的是 A)(xf是周期为 1 的奇函数 B)(xf是周期为 2 的偶函数 C)(xf是周期为 1 的非
4、奇非偶函数 D)(xf是周期为 2 的非奇非偶函数 8已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2 7 3 2 8 3 2 9 3 2 m 则=)10(P A 9 3 2 B 10 3 2 C 9 3 1 D 10 3 1 9已知点)0 ,2( 1 F、)0 ,2( 2 F，动点 P 满足2| 12 = PFPF. 当点 P 的纵坐标是 2 1 时， 点 P 到坐标原点的距离是 A 2 6 B 2 3 C3 D2 10设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3
5、，球心到该 平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 A68 B664 C224 D272 11若函数)sin()(+=xxf的图象（部分）如图所示，则和的取值是 A 3 , 1 = B 3 , 1 = C 6 , 2 1 = D 6 , 2 1 = 12有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不 左右相邻，那么不同排法的种数是 A234 B346 C350 D363 1 2 3 - 3 xO y A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D P F E 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共
6、 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 13若经过点 P（1，0）的直线与圆0324 22 =+yxyx相切，则此直线在 y 轴上 的截距是 . 14 x xx x cos)( lim= . 15如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 为正方形，侧棱与 底面边长均为 2a，且=60 11 ABAADA，则侧棱 AA1和截 面 B1D1DB 的距离是 . 16口袋内装有 10 个相同的球，其中 5 个球标有数字 0，5 个球标有数字 1，若从袋中摸出 5 个球， 那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 . （以 数值作答） 三、解答题：本大题共 6 小
7、题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知四棱锥 PABCD， 底面 ABCD 是菱形，=PDDAB,60平面 ABCD， PD=AD， 点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点. （1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 PABF 的平面角的余弦值. 18 （本小题满分 12 分） 设全集 U=R （1）解关于 x 的不等式);(01|1|Raax+ （2）记 A 为（1）中不等式的解集，集合0) 3 cos(3) 3 sin(|=+= xxxB， 若BACU)(恰有 3 个元素，求 a 的取值范围. 19 （本小题满
8、分 12 分） 设椭圆方程为1 4 2 2 =+ y x，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原 点，点 P 满足)( 2 1 OBOAOP+=，点 N 的坐标为) 2 1 , 2 1 (，当 l 绕点 M 旋转时，求： （1）动点 P 的轨迹方程； （2）| NP的最小值与最大值. 20 （本小题满分 12 分） 甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方 索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 x （元）与年产量 t（吨）满足函数关系tx2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲 方 s 元（以
9、下称 s 为赔付价格） ， （1）将乙方的年利润 w（元）表示为年产量 t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 2 002. 0ty =（元） ，在乙方按照获得最 大利润的产量进行生产的前提下， 甲方要在索赔中获得最大净收入， 应向乙方要求 的赔付价格 s 是多少？ 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 2 3 )(xaxxf=的最大值不大于 6 1 ，又当. 8 1 )(, 2 1 , 4 1 xfx时 （1）求 a 的值； （2）设. 1 1 .),(, 2 1 0 11 + = + + n aNnafaa nnn 证明 22
10、 （本小题满分 12 分） 已知函数)0)(ln()(+=aaexf x . （1）求函数)(xfy =的反函数)()( 1 xfxfy及 =的导数);(x f （2）假设对任意0)(ln(| )(|),4ln(),3ln( 1 + xfxfmaax不等式成立，求实 数 m 的取值范围. A B C D P F E 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生辽宁辽宁卷卷数学试题数学试题 答案与评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：
11、本题考查基本知识和基本运算. 每小题 4 分，满分 16 分. 131 142 15a 16 63 13 三、解答题 17本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空 间想象能力和推理能力. 满分 12 分. （1）证明：连接 BD. ADBDABADAB=,60,为等边三角形. E是 AB 中点，.DEAB 2 分 PD面 ABCD，AB面 ABCD，.PDAB DE面 PED，PD面 PED，=ABDPDDE,面 PED.4 分 AB面 PAB，PED面面 PAB. 6 分 （2）解：AB平面 PED，PE面 PED，.PEAB 连接 EF，EFPED，.E
12、FAB PEF为二面角 PABF 的平面角. 9 分 设 AD=2，那么 PF=FD=1，DE=3. 在, 1, 2,7,=PFEFPEPEF中 , 14 75 722 12)7( cos 22 = + =PEF 即二面角 PABF 的平面角的余弦值为. 14 75 12 分 18本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三 角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分 12 分. 解： （1）由.1| 1|01| 1|axax+得 当1a时，解集是 R； 当1a时，解集是.2|axaxx 或3 分 （2）当1a时， ACU
13、=； 当1a时，ACU=.2|axax5 分 因) 3 cos(3) 3 sin( +xx.sin2 3 sin) 3 cos( 3 cos) 3 sin(2xxx =+= 由.,),(, 0sinZBZkxZkkxx=所以即得8 分 当BACU)(怡有 3 个元素时，a 就满足 4)2(2 1 aa a 解得. 01a12 分 19本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以 及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 12 分. （1）解法一：直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为 k，则 l 的方程为. 1+= kxy
14、记),( 11 yxA、),( 22 yxB由题设可得点 A、B 的坐标),( 11 yx、),( 22 yx是方程组 =+ += 1 4 1 2 2 y x kxy 的解.2 分 将代入并化简得，032)4( 22 =+kxxk，所以 + =+ + =+ . 4 8 , 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 于是 ). 4 4 , 4 () 2 , 2 ()( 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP + = + =+=6 分 设点 P 的坐标为),(yx则 + = + = . 4 4 , 4 2 2 k y k k x 消去参数 k 得04 22 =+yyx 当
15、 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，所以点 P 的轨迹 方 程为. 04 22 =+yyx8 分 解法二：设点 P 的坐标为),(yx，因),( 11 yxA、),( 22 yxB在椭圆上，所以 , 1 4 2 12 1 =+ y x . 1 4 2 22 2 =+ y x 得0)( 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 =+yyxx，所以 . 0)( 4 1 )( 21212121 =+yyyyxxxx 当 21 xx 时，有. 0)( 4 1 21 21 2121 = + xx yy yyxx 并且 = + = + = . 1 , 2 , 2 21 21 21
16、 21 xx yy x y yy y xx x 将代入并整理得 . 04 22 =+yyx 当 21 xx =时，点 A、B 的坐标为（0，2） 、 （0，2） ，这时点 P 的坐标为（0，0） 也满足，所以点 P 的轨迹方程为 . 1 4 1 ) 2 1 ( 16 1 2 2 = + y x 8 分 （2）解：由点 P 的轨迹方程知. 4 1 4 1 , 16 1 2 xx即所以 12 7 ) 6 1 (34 4 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 (| 222222 +=+=+=xxxyxNP10 分 故当 4 1 =x，| NP取得最小值，最小值为 6 1 ; 4 1 =x当时，
17、| NP取得最大值， 最大值为. 6 21 12 分 注：若将 t s 1000 =代入v的表达式求解，可参照上述标准给分. 21本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和 解决问题的能力. 满分 14 分. （1）解：由于 2 2 3 )(xaxxf=的最大值不大于, 6 1 所以 . 1, 6 1 6 ) 3 ( 2 2 =a aa f即 3 分 又, 8 1 )( 2 1 , 4 1 xfx时所以1 . 8 1 32 3 4 , 8 1 8 3 2 , 8 1 ) 4 1 ( , 8 1 ) 2 1 ( a a a f f 解得即. 由得. 1=a6 分
18、 （2）证法一： （i）当 n=1 时， 2 1 0 1 a，不等式 1 1 0 + n an成立； 因2, 3 1 6 1 )(0), 3 2 , 0(, 0)( 12 =nafaxxf故所以时不等式也成立. （ii） 假设)2( =kkn时， 不等式 1 1 0 + k ak成立， 因为 2 2 3 )(xxxf=的 对称轴为, 3 1 =x知 3 1 , 0)(在xf为增函数，所以由 3 1 1 1 0 1 + k a得 ) 1 1 ()(0 + k faf k 8 分 于是有 , 2 1 )2() 1(2 4 2 1 2 1 2 1 ) 1( 1 2 3 1 1 0 22 1 + +
19、+ + = + + + + + + kkk k kkkkk ak 12 分 所以当 n=k+1 时，不等式也成立. 根据（i） （ii）可知，对任何 Nn，不等式 1 1 + n an成立.14 分 证法二： （i）当 n=1 时， 2 1 0 1 a，不等式 1 1 0 + n an成立； （ii）假设) 1( =kkn时不等式成立，即 1 1 0 + k an，则当 n=k+1 时， ) 2 3 1 ()2( 2 1 ) 2 3 1 ( 1kkkkk aak k aaa+ + = + 8 分 因, 0 2 3 1 , 0)2(+ kk aak所以 . 1 2 ) 2 1 (1 2 ) 2
20、3 2(1 ) 2 3 1 ()2( 22 + = + + kk kk akak aak12 分 于是. 2 1 0 1 + + k ak 因此当 n=k+1 时，不等式也成立. 根据（i） （ii）可知，对任何 Nn，不等式 1 1 + n an成立.14 分 证法三： （i）当 n=1 时，, 2 1 0 1 a不等式 1 1 0 + n an成立； （ii）假设1, 1 1 0 ,) 1(+= + =kn k akkn k 则当时时. 若. 2 1 0 + k ak则. 2 1 ) 2 3 1 (0 1 + = + k aaaa kkkk 8 分 . 0 )()( )()( 23 12
21、2 1221 1 22 1 2 22 2 12 = = tt ttatttt t at t at tvtv 所以)(),(tvtu都是增函数. 因此当4 ,3aat时，)(tu的最大值为)(, 5 12 )4(tvaau=的最小值为 , 3 8 )3(aav=而不等式成立当且仅当),3()4(aveau m 即 aea m 3 8 5 12 ，于是得 ). 3 8 ln() 5 12 ln(ama12 分 解法二：由0)(ln(| )(| 1 + xfxfm得 .)ln()ln()ln()ln(xaeaemxaeae xxxx + 设,)ln()ln()(,)ln()ln()(xaeaexxaeaex xxxx +=+= 于是原不等式对于)4ln(),3ln(aax恒成立等价于).()(xmx 7 分 由1)(, 1)( + + =+ + = ae e ae e x ae e ae e x x x x x x x x x ，注意到 ,0aeeae xxx +故有0)(, 0)(xx，从而可)()(xx与均在 )4ln(),3ln(aa上单调递增，因此不等式成立当且仅当 ).3(ln()4(ln(ama即 ). 3 8 ln() 5 12 ln(ama12 分
