1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生广东卷广东卷数学试题数学试题 一一. 选择题选择题（共 12 小题，每题 5 分，计 60 分） 奎屯 王新敞 新疆 1已知平面向量a=（3，1） ，b=（x，3） ，且ab，则 x= （ ） A. 3 B. 1 C. 1 D . 3 2.已知 2 13 |,|6 , 22 AxxBx xx =+=+ 则AB= ( ) A.)(3, 21,2 B.()3, 21, + C. ( )3, 21,2 D.(, 31,2 3.设函数 2 322 ,(2) ( )42 (2) x x f xxx ax + = 在 x=2 处连续,则 a= ( ) A.
2、1 2 B. 1 4 C. 1 4 D. 1 3 4. + + 123212 lim 11111 n nn nnnnn （） 的值为 ( ) A. 1 B.0 C. 1 2 D.1 5.函数 22 sinsin 44 fxxx =+（ ）（）（）是 ( ) A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数 C. 周期为 2的偶函数 D周期为 2的奇函数 6.一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动 机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 ( ) A.0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728 7.在棱长
3、为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三 棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( ) A. 2 3 B. 7 6 C. 4 5 D. 5 6 8. 若双曲线 22 20)xyk k=（的焦点到它相对应的准线的距离是 2，则 k= （ ） A. 6 B. 8 C. 1 D. 4 9.当0 4 x 时,函数 2 2 cos ( ) cos sinsin x f x xxx = 的最小值是 ( ) A. 4 B. 1 2 C.2 D. 1 4 10. 变量 x、y 满足下列条件： 212, 2936, 2324, 0,0. xy xy xy xy + + += 则
4、使 z=3x+2y 的值最小的（x，y）是 A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 ) 11. 若tan 4 fxx =+（ ）（），则 A. 1f（ ）f ( 0) f ( 1) B. f（0）f ( 1) f ( -1) C. 1f（）f ( 0) f ( -1) D. f（0）f ( -1) f ( 1) 12. 如右下图,定圆半径为 a，圆心为 ( b ,c ), 则直线 ax+by+c=0 与直线 xy+1=0 的交点在( ) A. 第四象限 B. 第三象限 C.第二象限 D. 第一象限 二二. .填空题填空题(共 4 小题，每题
5、 4 分，计 16 分） 13. 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女 生当选的概率是 (用分数作答) 14. 已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . 15. 由图(1)有面积关系: PA B PAB SPA PB SPA PB = ， 则由(2) 有体积关系: . PA B C PABC V V = 16. 函数1 10)fxInxx=+ （ ）（）（的反函数 1( ) .fx = 三三.解答题解答题(共 6 小题,74 分) 17. (12 分)已知， ，成公比为 2 的等比数列(0 2 ， ），且s i
6、 n ，s i n ，s i n也成等 比数列. 求， ，的值. O y x 图(2) C A PA B C 图(1) A P A B 18. 如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1. (1) 求二面角 CDEC1的正切值; (2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值. 19. (12 分)设函数 1 10,fxx x =（ ）， (1) 证明: 当 00,f(x)为增函数,f(x)f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对 x(-m, +
7、)都有 f(x)f(1-m)=1-m 故当整数 m1 时，f(x) 1-m0 (II)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m1 时， ), 1121( 03 2 ) 12(2 213) 11 (3)( 222 归纳法证明上述不等式也可用数学 += mm m mm mmmemef mmm 类似地， 当整数 m1 时， 函数 f(x)=x-ln(x+m),在,1 mem m 上为连续增函数且 f(1-m) 与)( 2 mef m 异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22 = xfmemx m 使 故当 m1 时， 方程 f(x)=0 在, 2 meme mm 内有两个 实根
8、 奎屯 王新敞 新疆 22解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的 方程为 y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为： ),(),(),(),( 44332211 yxDyxCyxByxA y y x x o o l l A A B B C C D D 依题意有CDABDBAC3,=，由 )2.(0) 1(2)1 ( 1 2516 50 ) 1.(0)40025(2)2516( 1 1625 222 22 2 21 222 22 =+ = += + =+ =+ =+ += bbkxxk yx bkxy k bk xx bbkxxk yx bkxy 得由 得 若1=k
9、，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1k 2 43 1 2 k bk xx =+ 由 43214213 xxxxxxxxDBAC+=+= 13 16 1616 4 10 ),(33 1)2(,16 4 5 ) 1 (,0)( 000 1 2 2516 50 22 3412 2 4, 3 2 2, 1 22 =+= += = = + bbbxxxxCDAB bxbxki bkbk k bk k bk 即由 得由得由时当 或 故 l 的方程为 13 16 =y (ii)当 b=0 时，由(1)得 2 4, 3 2 2, 1 1 1 )2(, 2516 20 k x k x = + =得由 由 25 16 1 6 2516 40 )(33 22 3412 = = + =k kk xxxxCDAB即由 故 l 的方程为xy 25 16 = 再讨论 l 与 x 轴垂直的情况. 设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 22 1,23,4 4 25,1 5 ycyc= = 2143 | 3| 3|ABCDyyyy=由 22 825 241 2561 5241 ccc= = 即 25 241 241 lx = 故的方程为综上所述， 故 l 的方程为 13 16 =y、xy 25 16 =和 241 24125 =x
