1、 2005 年高考年高考理理科数学全国卷试题及答案科数学全国卷试题及答案 （四川（四川 陕西陕西 云南云南 甘肃甘肃等地区用）等地区用） 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟. 第 I 卷 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）=P（A） P（B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k nP k(1P)nk 一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小
2、题 5 分，共 60 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题所给的四个答案中有且 只有一个答案是正确的） 1.已知是第三象限的角，则 2 是（ ）. A.第一或二象限的角 B.第二或三象限的角 C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角 2. 已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（ ）. A.0 B.-8 C.2 D.10 3.在(x-1)(x+1)8的展开式中 x5的系数是( ) A.-14 B.14 C.-28 D.28 4.设三棱柱 ABC-A1B1C1的体积是 V，P.Q 分别是侧棱 AA1.CC1上的点，且 PA=QC1，则四 棱锥 B
3、-APQC 的体积为（ ） A.V 6 1 B.V 4 1 C.V 3 1 D.V 2 1 5.) 3x4x 2 2x3x 1 (lim 22 1x + + =（ ） A.- 2 1 B. 2 1 C.- 6 1 D. 6 1 6.若 5 5ln , 3 3ln , 2 2ln =cba,则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac 7.设 0x2,且x2sin1=sinx-cosx, 则( ) A.0x B. 4 x 4 7 C. 4 x 4 5 D. 2 x 2 3 8.= +x x x x 2cos cos 2cos1 2sin2 2 ( ) 球的表面积公式 S=4 2 R
4、其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V= 3 3 4 R， 其中 R 表示球的半径 A.tanx B.tan2x C.1 D. 2 1 9.已知双曲线1 2 2 2 = y x的焦点为 F1.F2，点 M 在双曲线上且0 21 =MFMF，则点 M 到 x 轴的 距离为( ) A. 3 4 B. 3 5 C. 3 32 D.3 10.设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若三角形 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 2 2 B. 2 12 C.22 D.12 11.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）个 A.
5、3 B.4 C.6 D.7 12.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 09 和字母 AF 共 16 个计数 符号 奎屯 王新敞 新疆这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如用十六进制表示：E+D=1B，则 AB=（ ） A.6E B.72 C.5F D.B0 二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13.已知复数 z0=3+2i, 复数 z 满
6、足 zz0=3z+z0，则 z= 奎屯 王新敞 新疆 14.已知向量),10, k(OC),5 , 4(OB),12, k(OA=，且 A.B.C 三点共线，则 k= . 15.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取-22,-3,- 2 5 ,0, 2 5 ,3, 22, 用 表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望 E= 奎屯 王新敞 新疆 16.已知在ABC 中，ACB=90，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则 P 到 AC.BC 距离 的的乘积的最大值是 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题（共 76 分） 17.（本小题满分 12 分） 甲.乙.丙三台机器是否需要
7、照顾相互之间没有影响 奎屯 王新敞 新疆已知在某一个小时内， 甲.乙都需要照 顾的概率是 0.05，甲.丙都需要照顾的概率是 0.05，乙.丙都需要照顾的概率是 0.125 奎屯 王新敞 新疆 1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？ 18.（本小题满分 12 分） 四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 平面 VAD底面 ABCD 奎屯 王新敞 新疆 1）求证 AB面 VAD； 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） ABC中
8、， 内角A.B.C的对边分别为a.b.c， 已知a.b.c成等比数列， 且Bcos 4 3 = 奎屯 王新敞 新疆 （1）求CAcotcot+的值； （2）若 2 3 =BCBA，求ca+的值 奎屯 王新敞 新疆 20.（本小题满分 12 分） 在等差数列an中， 公差 d0,且 a2是 a1和 a4的等比中项,已知 a1,a3,a,a,a,a n321 kkkk 成 等比数列，求数列 k1,k2,k3,kn的通项 kn 奎屯 王新敞 新疆 21.（本小题满分 14 分） 设() 11, y xA.() 22, y xB两点在抛物线 2 2xy =上，l是AB的垂直平分线 奎屯 王新敞 新疆
9、1）当且仅当 21 xx +取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； 2）当直线l的斜率为 2 时，求l在y轴上截距的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=,1 , 0x, x2 7x4 2 (1)求函数 f(x)的单调区间和值域； （2） 设 a1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x0,1, 若对于任意 x10,1, 总存在 x00,1, 使 得 g(x0) =f(x1)成立，求 a 的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 2005 年高考年高考理理科数学全国卷科数学全国卷试题及答案试题及答案 A B C D V （必修必修+选修选修）
10、 （四川（四川 陕西陕西 云南云南 甘肃甘肃等地区用）等地区用） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C A C C B C D D A 13. 3 1 2 i 奎屯 王新敞 新疆14. 2 3 奎屯 王新敞 新疆15. 7 4 奎屯 王新敞 新疆16.3 奎屯 王新敞 新疆 17.（本小题满分 12 分） 甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 奎屯 王新敞 新疆已知在某一个小时内，甲.乙都需要 照顾的概率是 0.05， 甲.丙都需要照顾的概率是 0.05， 乙.丙都需要照顾的概率是 0.125 奎屯 王新敞 新疆 1）求甲.乙.丙
11、三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？ 解：记“甲机器需要照顾”为事件 A， “乙机器需要照顾”为事件 B， “丙机器需要照顾” 为事件 C，由题意三个事件互不影响，因而 A，B，C 互相独立 (1)由已知有：P（AB）= P(A)P(B)=0.05, P（AC）= P(A)P(C)=0.1 P（CB）= P(B)P(C)=0.125 解得 P（A）=0.2, P(B)=0.25, P(C)=0.5, 所以甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为 0.2;0.25;0.5. (2)记事件 A 的对立事件为A，事件 B 的对立
12、事件为B，事件 C 的对立事件为C， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.75, P(C)=0.5, 于是 P(A+B+C)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=0.7. 故在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率为 0.7. 18.（本小题满分 12 分） 四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 平面 VAD底面 ABCD 奎屯 王新敞 新疆 1）求证 AB面 VAD； 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 证法一： （1）由于面 VAD 是正三角形，设 AD 的中点为 E，则 VE AD，而面 VAD底面 ABCD，则 VE
13、AB 奎屯 王新敞 新疆 又面 ABCD 是正方形，则 ABCD，故 AB面 VAD 奎屯 王新敞 新疆 （2）由 AB面 VAD，则点 B 在平面 VAD 内的射影是 A，设 VD 的 中点为 F，连 AF，BF 由VAD 是正，则 AFVD，由三垂线定理知 BF VD，故AFB 是面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的平面角 奎屯 王新敞 新疆 设正方形 ABCD 的边长为 a， 则在 RtABF 中，,AB=a, AF= 2 3 a，tanAFB = 3 32 2 3 = a a AF AB 故面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小为 3 32 arctan 奎屯 王新敞 新疆
14、证明二： （）作 AD 的中点 O，则 VO底面 ABCD1 分 E F A B C D V 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，2 分 则 A（ 1 2 ，0，0） ，B（ 1 2 ，1，0） ，C（- 1 2 ，1，0） ，D（- 1 2 ，0，0） ，V（0，0， 3 2 ） ， 13 (0,1,0),(1,0,0),(,0,) 22 ABADAV= 3 分 由(0,1,0) (1,0,0)0AB ADABAD=4 分 13 (0,1,0) (,0,)0 22 AB AVABAV= =5 分 又 ABAV=A AB平面 VAD6 分 （）由（）得(0,1,0)AB =是面 VA
15、D 的法向量7 分 设(1, , )ny z=是面 VDB 的法向量，则 1 13 0 3(1, , ) (,1,)0 (1, 1,) 223 3 0 (1, , ) ( 1, 1,0)0 3 x n VB y z n zn BD y z = = = = = = = 9 分 3 (0,1,0) (1, 1,) 21 3 cos, 721 1 3 AB n = ，11 分 又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 21 arccos 7 12 分 （II）证法三：由（）得(0,1,0)AB =是面 VAD 的法向量7 分 设平面 VDB 的方程为 mx+ny+pZ+q=0
16、,将 V.B.D 三点的坐标代入可得 =+ =+ =+ 0 2 3 0 2 1 0 2 1 qp qm qnm 解之可得 = = = qp qn qm 3 2 2 2 令 q=, 2 1 则平面 VDB 的方程为 x-y+ 3 3 Z+ 2 1 =0 故平面 VDB 的法向量是) 3 3 , 1, 1 ( =n9 分 A B C D V y x O z 3 (0,1,0) (1, 1,) 21 3 cos, 721 1 3 AB n = ，11 分 又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 21 arccos 7 12 分 19.（本小题满分 12 分） ABC中，内角
17、A.B.C的对边分别为a.b.c，已知a.b.c成等比数列，且 Bcos 4 3 = 奎屯 王新敞 新疆 （1）求CAcotcot+的值； （2）若 2 3 =BCBA，求ca+的值 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）由Bcos 4 3 =得： 4 7 sin=B 由acb = 2 及正弦定理得：CABsinsinsin2= 于是： () B CA CA ACAC C C A A CA 2 sin sin sinsin sincoscossin sin cos sin cos cotcot + = + =+=+ 7 74 sin 1 sin sin 2 = BB B 奎屯 王新敞 新疆 （2）由
18、 2 3 =BCBA得： 2 3 cos=Bac，因Bcos 4 3 =，所以：2=ac，即：2 2 =b 奎屯 王新敞 新疆 由余弦定理Baccabcos2 222 +=得：5cos2 222 =+=+Bacbca 于是：()9452 22 2 =+=+=+accaca 故：ca+3= 奎屯 王新敞 新疆 20.（本小题满分 12 分） 在等差数列an中， 公差 d0,且 a2是 a1和 a4的等比中项,已知 a1,a3,a,a,a,a n321 kkkk 成等比数列，求数列 k1,k2,k3,kn的通项 kn 奎屯 王新敞 新疆 解：由题意得： 41 2 2 aaa =1 分 即)3()(
19、 11 2 1 daada+=+3 分 又0,d da = 1 4 分 又, 21 31 n kkk aaaaa成等比数列, 该数列的公比为3 3 1 3 = d d a a q，6 分 所以 1 1 3 + = n k aa n 8 分 又 11 ) 1(akdkaa nnkn =+=10 分 1 3 + = n n k所以数列 n k的通项为 1 3 + = n n k12 分 21.（本小题满分 14 分） 设() 11, y xA、() 22, y xB两点在抛物线 2 2xy =上，l是AB的垂直平分线 奎屯 王新敞 新疆 （1）当且仅当 21 xx +取何值时，直线l经过抛物线的焦
20、点F？证明你的结论； （2）当直线l的斜率为 2 时，求l在y轴上截距的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 注：注：本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问 题的能力 奎屯 王新敞 新疆 解法一： （1）=FBFAlFA、B两点到抛物线的准线的距离相等 因为：抛物线的准线是x轴的平行线，0 i y()2 , 1=i，依题意 1 y、 2 y不同时为 0 所以，上述条件等价于()()0 2121 2 2 2 121 =+=xxxxxxyy； 注意到： 21 xx ，所以上述条件等价于0 21 =+ xx 奎屯 王新敞 新疆 即：当且仅当0 21 =+ xx时，直线l经过
21、抛物线的焦点F 奎屯 王新敞 新疆 （2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为bxy+= 2；过点A、B的直线 方程可写为mxy+= 2 1 ，所以 1 x、 2 x满足方程0 2 1 2 2 =+mxx，即 4 1 21 =+ xx A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式08 4 1 +=m，也就是： 32 1 m 奎屯 王新敞 新疆设AB的中点H的坐标为为( ) 00, y x，则有： 8 1 2 21 0 = + = xx x，mm x y+=+= 16 1 2 0 0 由lH 得：bm+=+ 4 1 16 1 ，于是： 32 9 32 1 16 5 16 5 =+=mb
22、 奎屯 王新敞 新疆 即：l在y轴上截距的取值范围是 +, 32 9 奎屯 王新敞 新疆 .解法二： （）抛物线 2 2xy =，即 4 1 , 2 2 =p y x， 焦点为 1 (0, ) 8 F1 分 （1）直线l的斜率不存在时，显然有0 21 =+ xx3 分 （2）直线l的斜率存在时，设为 k， 截距为 b 即直线l：y=kx+b 由已知得： 1212 12 12 22 1 kb k yy xx yy xx + + =+ = 5 分 22 1212 22 12 12 22 1 22 22 kb k xxxx xx xx + =+ = 22 12 12 12 2 1 2 kb k xx
23、 xx xx + +=+ += 7 分 22 12 1 0 4 b xx += + 1 4 b 即l的斜率存在时，不可能经过焦点 1 (0, ) 8 F8 分 所以当且仅当 12 xx+=0 时，直线l经过抛物线的焦点 F9 分 (II)解：设直线l的方程为：y=2x+b, 故有过 AB 的直线的方程为mx 2 1 y+=，代入抛物线方程有 2x 2+ mx 2 1 =0, 得 x1+x2=- 4 1 . 由 A.B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式0m8 4 1 +=，即 32 1 m 由直线 AB 的中点为) 2 , 2 ( 2121 yyxx+ =)m 16 1 , 8 1 (
24、)mx 2 1 , 8 1 ( 0 +=+， 则, b 4 1 m 16 1 +=+ 于是. 32 9 32 1 16 5 m 16 5 b=+= 即得 l 在 y 轴上的截距的取值范围是), 32 9 (+ 奎屯 王新敞 新疆 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=,1 , 0x, x2 7x4 2 (1)求函数 f(x)的单调区间和值域； （2）设 a1, 函数 g(x)=x 3-3a2x-2a, x0,1, 若对于任意 x 10,1, 总存在 x0 0,1, 使得 g(x0) =f(x1)成立，求 a 的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）对函数 f(x)=,1 ,
25、0x, x2 7x4 2 求导，得 f(x)=, )x2( )7x2)(1x2( )x2( 716x4 22 2 = + ， 令 f(x)=0 解得 x= 2 1 或 x= 2 7 . 当 x 变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表所示： x 0 (0, 2 1 ) 2 1 ) 1 , 2 1 ( 1 f(x) - 0 + f(x) 2 7 -4 -3 所以，当) 2 1 , 0(x时，f(x)是减函数；当) 1 , 2 1 (x时，f(x)是增函数 奎屯 王新敞 新疆 当 1 , 0x时，f(x)的值域是-4，-3 奎屯 王新敞 新疆 （II）对函数 g(x)求导，则 g(x)=3(x 2-a2). 因为1a ，当) 1 , 0(x时，g(x)5(1-a 2)0, 因此当) 1 , 0(x时，g(x)为减函数， 从而当 x0,1时有 g(x)g(1),g(0), 又 g(1)=1-2a-3a 2,g(0)=-2a, 即当 x0,1时有 g(x)1-2a-3a 2,-2a, 任给 x10,1,f(x1)-4,-3,存在 x00,1使得 g(x0)=f(x1), 则1-2a-3a 2,-2a 3, 4， 即 3a2 4a3a21 2 , 解式得 a1 或 a 3 5 , 解式得 2 3 a ， 又1a ,故 a 的取值范围内是 2 3 a1.
