1、绝绝密密启启用用前前 2 20 01 19 9 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试（天天津津卷卷） 数数学学（文文史史类类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第第卷卷 注注意意事事项项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
2、干 净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。 参参考考公公式式： 如果事件A，B互斥，那么 P ABP AP B. 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合1,1,2,3,5A ，2,3,4B ，|13CxRx，则()ACB （A）2（B）2，3（C）-1，2，3（D）1，2，3， 4 （2）设变量, x y满足约束条件 ， ， ， ， 1-y 1-x 02y-x 02-yx 则目标
3、函数4zxy 的最大值为 （A）2（B）3（C）5（D）6 （3）设xR，则“05x”是“11x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 （A）5（B）8（C）24（D）29 （5）已知 2 log 7a ， 3 log 8b ， 0.2 0.3c ，则, ,a b c的大小关系为 （A）cba（B）abc （c）bca（D）cab （6） 已知抛物线 2 4yx的焦点为F， 准线为l.若与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两 条渐近线分别交于点A和点B，且| 4
4、|ABOF（O为原点） ，则双曲线的离心率为 （A）2（B）3（C）2（D）5 （7）已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，且 f x的最小正周 期为，将 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图 象对应的函数为 g x.若2 4 g ，则 3 8 f （A）-2（B）2（C）2（D）2 （8）已知函数 2,01, ( ) 1 ,1. xx f x x x 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxaaR 恰有两 个互异的实数解，则a的取值范围为 （A） 5 9 , 4 4 （B） 5 9 , 4 4 （C） 5 9 ,1 4 4 （
5、D ） 5 9 ,1 4 4 绝绝密密启启用用前前 2 20 01 19 9 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试（天天津津卷卷） 数数学学（文文史史类类） 第第卷卷 注注意意事事项项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）i是虚数单位，则的值 5 1 i i 的值为_. （10）设xR，使不等式 2 320xx成立的x的取值范围为_. （11）曲线cos 2 x yx在点0,1处的切线方程为_. （12） 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，
6、侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _. （13）设0x ，0y ，24xy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_. （14）在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB ，5AD ，30A，点E在 线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE _. 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医 疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.
7、某单位老、中、青员工分 别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加 扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （） 抽取的25人中， 享受至少两项专项附加扣除的员工有6人， 分别记为, ,A B C D E F. 享受情况如右表，其中“”表示享受， “”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受 采访. 员工 项目 ABCDEF 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同” ，求事件M发生的
8、 概率. （16） （本小题满分 13 分） 在ABC中， 内角ABC， ，所对的边分别为, ,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 的值. （17） （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面 PAC 平面PCD，PACD，2CD ，3AD ， （）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH 平面PAD； （）求证：PA 平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. （18） （本小题满分 13 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列，公比大于
9、0，已知 11 3ab， 23 ba， 32 43ba. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 2 1, , n n n c bn 奇 偶 为数 为数 求 * 1 12222nn a ca ca cnN. （19） （本小题满分 14 分） 设 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 左 焦 点 为F， 左 顶 点 为A， 顶 点 为B. 已 知 3 | 2|OAOB（O为原点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和 直线l相切，圆心C在直线4x 上，且OCAP，求椭圆的方程. （20）
10、 （本小题满分 14 分 设函数( )ln(1) x f xxa xe，其中aR. （）若0a，讨论 f x的单调性； （）若 1 0a e ， （i）证明 f x恰有两个零点 （ii）设x为 f x的极值点， 1 x为 f x的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 绝绝密密启启用用前前 2 20 01 19 9 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试（天天津津卷卷） 数数学学（文文史史类类）参参考考解解答答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分 （1）D（2）C（3）B（4）B （5）A（6）D（7）C（8）D 二.填空题：本题
11、考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分 （9）3（10） 2 1, 3 （11）220xy （12） 4 （13） 9 2 （14）1 三.解答题 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其 概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分 13 分. 解： （1）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取 6 人，9 人，10 人. （） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 ,A BA CA DA EAFB CB D
12、B EB FC DC EC FD ED FE F， ， ，共 15 种. （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,A BA DA EA FB DB EB FC EC FD FE F， 共 11 种. 所以，事件M发生的概率 11 () 15 P M （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦 公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分 13 分. （ 1 ） 解 ： 在ABC中 ， 由 正 弦 定 理 sinsin bc BC ， 得sinsinbCcB， 又 由 3 sin4 sincBaC， 得3 sin4 sinbCaC，
13、 即34ba.又因为2bca， 得到 4 3 ba， 2 3 ca.由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa . （）解：由（1）可得 2 15 sin1 cos 4 BB ，从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB ，故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB . （17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成 的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分 13 分. （）证明：连
14、接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BGPG，故GHPD， 又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD，所以GH 平面PAD. （）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC，又因为平面PAC 平 面PCD，平面PAC 平面PCDPC，所以DN 平面PAC，交PA平面PAC，故 DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA 平面PCD. （）解：连接AN，由（）中DN 平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC 所成的角， 因为PCD为等边三角形，2CD 且N为PC的中点，所以3DN .又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN AD . 所以，直线AD与平面
15、PAC所成角的正弦值为 3 3 . （18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查 数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分. （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q依题意，得 2 332 3154 qd qd ，解得 3 3 d q ，故33(1)3 n ann， 1 3 33 nn n b . 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式 为3n n b . （）解： 1 12222nn a ca ca c 135212 1426 32nnn aaaaa ba ba ba b 123 (1) 366 312
16、 318 3.63 2 n n n nn 212 36 1 32 33 n nn 12 1 32 33n n Tn . 233 1 31 32 33 n Tn ， -得， 1 2311 3 1 3 (21)33 2333333 1 3 . 2 n n nnn n n Tnn . 所以， 1 22 1 122202 (21)33 .3633 2 n nn n a ca ca cnTn 22 * (21)369 2 n nn nN . （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的
17、 能力，满分 14 分. （）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有32ab，又由 222 abc，消去b得 2 22 3 2 aac ，解得 1 2 c a . 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （） 解： 由 （） 知，2ac，3bc， 故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc .由题意，,0Fc， 则直线l的方程为 3 () 4 yxc.点 P 的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc ， ， ，消去y并化简，得到 22 76130xcxc， 解得 1 xc， 2 13 7 c x ， 代入到l的方程， 解得 1 3 2 yc， 2 9 14 yc . 因为点P
18、在x轴上方，所以 3 , 2 P cc .由圆心C在直线4x 上，可设4,Ct.因为 OCAP，且由（）知2 ,0Ac，故 3 2 42 c t cc ，解得2t .因为圆C与x轴相切， 所以圆的半径为 2，又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 4 c ，可得2c . 所以，椭圆的方程为 22 1 1612 xy . （20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方 法，考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （）解：由已知， f x的定义域为(0,)，且 2 11e ( )e(1)e x xx ax
19、 fxaa x xx 因此当0a时， 2 1e0 x ax，从而( )0fx ，所以 f x在(0,)内单调递增. （）证明： （i）由（）知 2 1 ( ) x ax e fx x .令 2 ( )1 x g xax e ，由 1 0a e ， 可知 g x在(0,)内单调递减，又(1)10gae ，且 22 1111 ln1ln1ln0ga aaaa . 故 0g x 在(0,)内有唯一解，从而( )0fx 在(0,)内有唯一解，不妨设为 0 x， 则 0 1 1lnx a .当 0 0,xx时， 0 ( ) ( )0 g xg x fx xx ，所以 f x在 0 0,x内单 调递增；当
20、 0 (),xx时， 0 ( ) ( )0 g xg x fx xx ，所以 f x在 0 (),x 内单调递 减，因此 0 x是 f x的唯一极值点. 令( )ln1h xxx，则当1x 时， 1 ( )10h x x ，故 h x在(1,)内单调递减，从 而当1x 时， 10h xh，所以1lnxx.从而 1 ln 111111 lnlnlnln1 elnlnln1ln0 a fah aaaaaa ， 又因为 0 (1)0f xf，所以 f x在(1,)内有唯零点.又 f x在 0 0,x内有唯一零 点 1，从而， f x）在(1,)内恰有两个零点. （ ii ） 由 题 意 ， 0 1 0, 0, fx f x 即 1 2 0 11 1 ln1 x x ax e xa xe ， 从 而 10 1 1 2 0 1 ln xx x xe x ， 即 10 2 01 1 ln 1 xx xx e x .因为当1x 时，ln1xx， 又 10 1xx， 故 10 2 012 0 1 1 e 1 xx xx x x ， 两边取对数，得 10 2 0 lnln xx ex ，于是 1000 2ln21xxxx， 整理得 01 32xx.
