1、 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 点的坐标与向量坐标的联系与区别点的坐标与向量坐标的联系与区别1.1.向量向量 中间用等号连结中间用等号连结,而点的坐标而点的坐标A(x,y)A(x,y)中间没中间没有等号有等号.2.2.在平面直角坐标系中，符号在平面直角坐标系中，符号(x,y)(x,y)可表示一个点可表示一个点,也可表也可表示一个向量示一个向量,叙述时应指明点叙述时应指明点(x,y)(x,y)或向量或向量(x,y).(x,y).相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同的坐标却可以不同.a(x,y)r【例【例1 1】在直角坐标系】在直角坐
2、标系xOyxOy中，向量中，向量 的方向如图所的方向如图所示，且示，且 分别计算出它们的坐标分别计算出它们的坐标.【审题指导】【审题指导】已知三向量的模以及与坐标轴的夹角已知三向量的模以及与坐标轴的夹角,要求向要求向量的坐标量的坐标,先将向量正交分解先将向量正交分解,把它们分解成横、纵坐标的把它们分解成横、纵坐标的形式形式.a,b,cr r ra2 b3 c4rrr，【规范解答】【规范解答】设设则则因此因此121212aa,a,bb,b,cc,c,rrr1212122aa cos4522.22aa sin4522,213bb cos12032233 3bb sin1203,223cc cos3
3、042 321cc sin3042.2 rrrrrr（），（）3 3 3a22 bc2 32.22 rrr，（，），【变式训练】已知【变式训练】已知O O是坐标原点，点是坐标原点，点A A在第一象限，在第一象限，xOA=60 xOA=60，求向量，求向量 的坐标的坐标.【解析】【解析】设点设点A(x,y)A(x,y)，则，则即即OA4 3uuu r，OAuuu rx4 3cos602 3，y4 3sin606 ，A 2 36 OA2 36.uuu r，平面向量坐标的线性运算平面向量坐标的线性运算 平面向量坐标的线性运算平面向量坐标的线性运算1.1.若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数
4、乘若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行；的运算法则进行；2.2.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；然后再进行向量的坐标运算；3.3.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.平面向量坐标的线性运算只是向量运算的一平面向量坐标的线性运算只是向量运算的一种形式，求解时注意向量运算的平行四边形法则及三角形种形式，求解时注意向量运算的平行四边形法则及三角形法则在解题中的灵活应用法则在解题中的灵活应用.【例【例2 2】已知】已知 求求的坐标的坐标.
5、【审题指导】【审题指导】向量向量 的坐标已知，求解本题可依据平面向的坐标已知，求解本题可依据平面向量坐标的线性运算法则进行求解量坐标的线性运算法则进行求解.【规范解答】【规范解答】a2,1,b3,4 rr，ab,ab,3a4brr rr rra brr，ab2,13,41,5;ab2,13,45,3;3a4b3 2,143,46,19.rrrrrr【变式训练】设向量【变式训练】设向量若表示向量若表示向量 的有向线段首尾相连能构成的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量四边形，则向量 为为()()(A)(2,6)(B)(A)(2,6)(B)(2,6)2,6)(C)(2,(C)(2,6)(D)(6)
6、(D)(6,0)6,0)【解题提示】【解题提示】三角形法则的特点是三角形法则的特点是“首尾相接首尾相接”，由第，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和这些向量的和.a1,2,b1,1,c1,2 rrr，4a,4b2c,2 ac,drrrrr rdr【解析】【解析】选选D.D.据题意知据题意知设设 则由则由x=-6,y=0,x=-6,y=0,故选故选D.D.4a4,8,4b2c2,8 2 ac4,0,rrrrr，dx,yr，4a4b2c2 acd0rrrrrrr 向量共线的坐标运算向量共线的坐标运算 对向量共线的坐
7、标运算的理解对向量共线的坐标运算的理解已知已知1.1.当当 时，时，.这是几何运算，体现了向量这是几何运算，体现了向量 与与 的长度及方向之间的关系的长度及方向之间的关系.2.2.这是代数运算，用它解决向量共线问题的这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.1122ax,ybxy.rr，b0rrab rrarbr1221x yx y0.3.3.当当 时，时，即两向量的相应坐标成比例即两向量的相应坐标成比例.通过这种形式
8、较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误现搭配错误.对于对于2 2的形式极易写错，如写成的形式极易写错，如写成或或 都是不对的，因此要理解并记熟这一公都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减式，可简记为：纵横交错积相减.22x y01122xyxy，1122x yx y01212x xy y0【例【例3 3】已知向量】已知向量 若若 与与 平平行，求实数行，求实数x x的值的值.【审题指导】【审题指导】先利用向量的线性运算求先利用向量的线性运算求然后利用向量共线间的坐标关系，或利用向量共线定理然后利用向量共线间的坐
9、标关系，或利用向量共线定理 求解求解.a1,1,b2,x,rrabrr4b2arrab4b2arr rr，ab(4b2a)rrrr【规范解答】【规范解答】方法一：因为方法一：因为所以所以由于由于 与与 平行，平行，得得6(x+1)-3(4x-2)=06(x+1)-3(4x-2)=0，解得，解得x=2.x=2.方法二：因为方法二：因为 与与 平行，则存在常数平行，则存在常数，使，使 即即 根据向量共线的条根据向量共线的条件知，向量件知，向量 与与 共线，故共线，故x=2.x=2.a1,1,b2,x,rrab3,x1,4b2a6,4x2,rrrrabrr4b2arrabrr4b2arrab4b2a
10、 rrrr，21 a41 brr，arbr【变式训练】【变式训练】(2011(2011广东高考广东高考)已知已知若若为实数为实数,则则=()=()(A)(B)(C)1 (D)2(A)(B)(C)1 (D)2【解析】【解析】选选B.B.由题意可知由题意可知4(1+)=6,4(1+)=6,【误区警示】【误区警示】在求解过程中，常因向量共线的条件不熟在求解过程中，常因向量共线的条件不熟出现错误，学习中应熟记公式，灵活解题出现错误，学习中应熟记公式，灵活解题.a1,2,b1,0,c3,4,rrrabc,rrrP1412a1,2,b1,0,c3,4,rrrab1,2.rr1.2【例】已知点【例】已知点A
11、(4,0),B(4,4),C(2,6),A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线试用向量方法求直线ACAC和和OB(OOB(O为坐标原点为坐标原点)交点交点P P的坐标的坐标.【审题指导】【审题指导】“直线直线ACAC和和OBOB相交于点相交于点P”P”说明说明A A、P P、C C三点三点及及O O、P P、B B三点分别共线，因此，可借助三点分别共线，因此，可借助求解本题求解本题.OP OB,AP ACuur uuu r uur uuu rPP【规范解答】【规范解答】设设P(x,y)P(x,y)，则，则 由点由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)A(4,0),B(
12、4,4),C(2,6)得，得，PP是是ACAC与与OBOB的交点的交点PP在直线在直线ACAC上，也在直线上，也在直线OBOB上上即即解得解得故直线故直线ACAC与与OBOB的交点的交点P P的坐标为的坐标为(3,3).(3,3).OPx,y,APx4,y.uuruurAC2,6,OB(4,4)uuu ruuu rOP OB,AP ACuur uuu r uur uuu rPP，6 x42y04x4y0，x3.y3【变式备选】已知【变式备选】已知A A、B B、C C三点的坐标分别为三点的坐标分别为(-1(-1，0)0)、(3(3，-1)-1)、(1(1，2)2)，并且，并且求证：求证：【解题
13、提示】【解题提示】可由已知先求出可由已知先求出 和和 的坐标，再求点的坐标，再求点E E和点和点F F的坐标的坐标,进而求出进而求出EFEF的坐标，进而可证明的坐标，进而可证明.11AEACBFBC.33uuruuu ruu ruur，EF AB.uu r uuu rPAEuurBFuu r【证明】【证明】又又所以所以即即AC2,2 BC2,3,uuu ruurQ，AB4,1uuu r，3ABEF.2uuu ruu rEF AB.uu r uuu rP12 2AEAC(,),33 312BFBC(,1)331 27E(,),F(,0).3 3382EF(,).33 uuu ruu ruuruu
14、 r【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011南通高一检测南通高一检测)已知已知A(-2,4)A(-2,4)、B(3,-1)B(3,-1)、C(-3,-4)C(-3,-4)且且 求点求点M M、N N及及 的的坐坐标标.【审题指导】【审题指导】A A、B B、C C点的坐标已知，求解本题可先利用向点的坐标已知，求解本题可先利用向量的线性运算求出量的线性运算求出 的坐标，然后利用的坐标，然后利用 借助方程的思想求点借助方程的思想求点M M、N N及及 的坐标的坐标.CM3CACN2CBuuu ruuu ruuu ruur，CM3CAuuu ruuu r，CACBuuu ruur，C
15、N2CBuuu ruur，MNuuu rMNuuu r【规范解答】【规范解答】A(-2A(-2，4)4)、B(3B(3，-1)-1)、C(-3C(-3，-4)-4)，2 2分分 3 3分分 4 4分分设设M(xM(x，y)y)，则有，则有 6 6分分CA18 CB6 3uuu ruur，CM3CA324uuu ruuu r，CN2CB12 6.uuu ruur，CMx3y4uuu r，x33y424，MM点的坐标为点的坐标为(0(0，20).20).8 8分分同理可求得同理可求得N N点坐标为点坐标为(9(9，2)2)1010分分因此因此 =(9=(9，-18).-18).1212分分x0y2
16、0，MNuuu r【误区警示】【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知平行四边形【即时训练】已知平行四边形ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐的坐标分别是标分别是(2 2，1)1)、(1 1，3)3)、(3(3，4)4)，求顶点，求顶点D D的坐标的坐标.【解题提示】【解题提示】利用相等向量建立点利用相等向量建立点D D的坐标等量关系的坐标等量关系.【解析】【解析】设顶点设顶点D D的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，由由 得得(1,2)=(3-x,4-y)(1,2)=(3-x,4-y)即即 解得解得平行四
17、边形平行四边形ABCDABCD顶点顶点D D的坐标为的坐标为(2(2，2).2).AB1,32,11,2,DC3,4x,y3x,4y.uuu rQuuu rABDC,uuu ruuu r13x,24yx2.y21.1.已知已知 则则 与与 的坐标分别为的坐标分别为()()(A)(0,0)(A)(0,0)、(-2,4)(-2,4)(B)(1,-1)(B)(1,-1)、(-3,3)(-3,3)(C)(0,0)(C)(0,0)、(2,-4)(2,-4)(D)(-2,4)(D)(-2,4)、(2,-4)(2,-4)【解析】【解析】选选A.A.a1,2 b1,2,rr，abrrabrr ab12121
18、1220 0,rr，ab12121 1222 4.rr，2.2.设点设点A A的坐标为的坐标为(2(2，1)1)，点，点B B的坐标为的坐标为(1(1，-2)-2)，则向量，则向量的坐标为的坐标为()()(A)(3(A)(3，-1)(B)(-1-1)(B)(-1，-3)-3)(C)(1(C)(1，3)(D)(33)(D)(3，1)1)【解析】【解析】选选C.C.BAuuu r BA21122 11213.uuu r，3.3.下列说法正确的有下列说法正确的有_._.(1)(1)向量的坐标即此向量终点的坐标向量的坐标即此向量终点的坐标(2)(2)位置不同的向量其坐标可能相同位置不同的向量其坐标可能
19、相同(3)(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标(4)(4)相等的向量坐标一定相同相等的向量坐标一定相同【解析】【解析】我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同同的向量，同时相等的向量坐标一定相同.故正确的说法是故正确的说法是(2)(4).(2)(4).答案：答案：(2)(4)(2)(4)4.4.已知已知 与与 共线，则共线，则y=_.y=_.【解析】【解析】与与 共线共线,2y=-12,y=-6.2y=-12,y=-6.答案：答案：-6-6a(2,3
20、)rb(4,y)ra(2,3)rb(4,y)r5.5.已知向量已知向量 且且则则1 1+2 2=_.=_.【解析】【解析】因为因为 则有则有(3,4)=(3,4)=1 1(1,2)+(1,2)+2 2(2,3).(2,3).即即 解得解得1 1=-1,=-1,2 2=2.=2.1 1+2 2=1.=1.答案：答案：1 1a1,2,b2,3,c3,4,rrr12cab,rrr12cab,rrr121223,234 6.6.如图，用基底如图，用基底 (单位向量单位向量)分别表示向量分别表示向量 (其中其中 与与 与与 关于原点对称关于原点对称)，并求它们的坐标，并求它们的坐标.i jrr、a b c dr rrr、ac,br rdr【解析】【解析】方法一：方法一：同理同理方法二：方法二：A(2A(2，2)2)，B(4B(4，5)5)同理同理12aAAAA2i3j,ruuuruuuu rrra(2 3)r，b2 3 c23 d23.rrr，a4 52 242 52(2 3)r，b2 3 c23 d23.rrr，
