1、第四节第四节 导数的应用导数的应用(二)一、函数的极值一、函数的极值oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfx
2、fxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy
3、,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x定理定理2(2(第一判别法第一判别法)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 用定理用定理2 2求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3(
4、)3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下定理定理2-1(2-1(第二判别法第二判别法)例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意:.2,)(,0)(00仍用
5、定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M归纳：求极值的步骤归纳：求极值的步骤1.求出一阶导数等于零的点求出一阶导数等于零的点(驻点驻点)及不及不可导点可导点,由第一判别法进行判断由第一判别法进行判断;2.求二阶
6、导函数求二阶导函数,由第二判别法进行判断由第二判别法进行判断注意注意:极值是函数局部性形态特征极值是函数局部性形态特征,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值极小值也不一定比极大值小oxybaoxyabmin，.=所有极值所有极值最值最值端点值端点值小小max，；=所所有有极极值值最最端端点点值值大大值值二、函数的最值oxyab32.()-6950,5.f xxxx求求在在上上的的最最大大值值,例例 最最小小值值4 42()31293(1)(3)()0:13,:fxxxxxfxxx 令得驻点为及 令得驻点为及解解05,(0)5,(1)9,(3)5,(5)25,xx
7、ffff端点为及 端点为及()0,525,f x在上的最大值为最小值为5.在上的最大值为最小值为5.32()-6950,5.f xxxx 在在上上的的最最大大值值和和最最小小值值00.511.522.533.544.550510152025xy求最值的步骤求最值的步骤1.求出驻点和不可导点求出驻点和不可导点(有的话有的话);2.比较端点、驻点、不可导点的函数值，比较端点、驻点、不可导点的函数值，哪个大为最大值，哪个小为最小值。哪个大为最大值，哪个小为最小值。注意注意:区间内只有一个极值时区间内只有一个极值时,这个值就是最这个值就是最 值；值；三、曲线凹凸性三、曲线凹凸性问题问题:如何研究曲线的
8、弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(
9、,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf1、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线
10、xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,四、曲线的拐点及其求法四、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf.1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2
11、 2、拐点的求法、拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf ,)()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法:,0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线
12、求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:3.yx问问曲曲线线是是例例3 3否否有有拐拐点点?223312,3:9yyxx x 解解0,0,0;0,0,xxyxy时时时时0.x 为为曲曲线线的的凹凹凸凸分分界界点点,即即拐拐点点为为 0
13、0,0 03yx求拐点的步骤求拐点的步骤1.();fx求出0003.()(,()xfxxf x考察 左右两边的符号，若异号，则为拐点，否则不是拐点。02.()0,;fxx令找出实根及二阶不可导的点五、函数曲线的渐近线五、函数曲线的渐近线定义定义:.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 1.1.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的一条垂直渐近线的一条垂直渐
14、近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:.2,2 yy3.斜渐近线：(),limxf xax()limxf xaxb注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfa
15、xxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2)1()3)(2(2limxxxxx1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf六、图形描绘的步骤六、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.
16、第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf;求求出出方方程程0)(xf和和0)(xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与
17、极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论）；可列表进行讨论）；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)(xf和和0)(xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.例例1 1.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2
18、)(xxf,0)(xf令令.1,31 xx得驻点得驻点,0)(xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:作图举例作图举例x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131 123 xxxy例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性
19、且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得驻点得驻点,0)(xf令令.3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3)926,3(:补补充充点点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B)
20、.1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxf例例3 3.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx ,0)(x令令,0 x得驻点得驻点,0)(x令令.1,1 xx得得特特殊殊点点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 212221)(xex 小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 作业(P59习题二)30 31（1）（5）（8）
