1、2023年中考数学复习相似三角形综合解答题专项刷题练习题1在ABC中，ABC120，线段AC绕点C顺时针旋转60得到线段CD，连接BD（1）如图1，若ABBC，求证：BD平分ABC；（2）如图2，若AB2BC，求的值；连接AD，当SABC时，直接写出四边形ABCD的面积为 2如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F（1）求证：；（2）过点C作CGBF于G，若AB5，BC2，求CG，FG的长3已知在菱形ABCD中，AB4，BAD120，点P是直线AB上任意一点，联结PC在PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合
2、），且PCQ30（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BPx，CQy，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果QCE与BCP相似，求线段BP的长4如图，矩形ABCD中，AB3，BC2，点M在BC上，连接AM，作AMNAMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E（1）求证：AMN是等腰三角形；（2）求证：AM22BMAN；（3）当M为BC中点时，求ME的长5在平面直角坐标系中，已知OA10cm，OB5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动
3、如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t5），（1）用含t的代数式表示：线段PO cm；OQ cm（2）当t为何值时，四边形PABQ的面积为19cm2（3）当POQ与AOB相似时，求出t的值6如图，在ABC中，ACB90，ACBC2，M是边AC的中点，CHBM于H（1）求MH的长度；（2）求证：MAHMBA；（3）若D是边AB上的点，且AHD为等腰三角形，直接写出AD的长7如图，在ABC中，ACB90，CDAB（I）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB5，AC4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，
4、建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由8如图，直线ab，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，170，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设NPE（1）求证MPDNPE（2）当MPD与NPE全等时，直接写出点P的位置（3）当NPE是等腰三角形时，求的值9已知：如图，AB是O的直径，
5、AC切O于A点，且ACAB，CO交O于P、D两点，BP的延长线交AC于E点（1）求证：DABE；（2）求证：；（3）求tanCPE的值10如图，在ABC中，ACB90，AC6，BC8，动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作EFAB交直线AC于点F，连接CE设点E的运动时间为t秒（1）当点F在线段AC上（不含端点）时，求证：ABCAFE；当t为何值时，CEF的面积为1.2；（2）在运动过程中，是否存在某时刻t，使CEF为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由11一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线
6、为相似对角线（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，AF1，连接CE，CF，求证：EF为四边形AECF的相似对角线（2）在四边形ABCD中，BAD120，AB3，AC，AC平分BAD，且AC是四边形ABCD的相似对角线，求BD的长（3）如图2，在矩形ABCD中，AB6，BC4，点E是线段AB（不取端点A，B）上的一个动点，点F是射线AD上的一个动点，若EF是四边形AECF的相似对角线，求BE的长（直接写出答案）12如图1，CD是ABC的高，CD2ADBD（1）求证：ACB90（2）如图2，BN是ABC的中线，CHBN于点I交AB于H若tanABC，求的值；（3）如图3，M是CD
7、的中点，BM交AC于E，EFAB于F若EF4，CE3.2，直接写出AB的值13【操作发现】如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD45，连接AC，BD交于点MAC与BD之间的数量关系为 ；AMB的度数为 ；【类比探究】如图（2），在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC，交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中ACBDCE90，AD30且D、E、B在同一直线上，CE1，BC，求点A、D之间的距离14（1）问题发现如图1，在ABC和ADE中，A
8、BAC，ADAE，BACDAE50，连接BD，CE交于点F填空：的值为 ；BFC的度数为 （2）类比探究如图2，在矩形ABCD和DEF中，ADAB，EDF90，DEF60，连接AF交CE的延长线于点P求的值及APC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DF，AB，求出当点P与点E重合时AF的长15在ABCD中，ADC是锐角，ACBADC，E为直线AB上一点，F为直线BC上异于点C的一点，连接EC，EF，使ECEF（1）如图1，若点E在线段AB上，使ECBC，求证：EBFCEA；（2）如图2，若点E在线段AB上，ADC45，
9、试猜想AE，AC，CF之间的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）如图3，若点E在线段BA的延长线上，点F在线段BC上，EF交CA于点G，ADC60，AECF，请直接写出GA与CE之间的数量关系16如图1，在正方形ABCD中，AE平分CAB，交BC于点E，过点C作CFAE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F（1）求证：BEBF；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值17点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作RtECF，其中ECF90，过点F作FGBC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H（1）发现如图1
10、，若ABAD，CECF，猜想线段DH与HF的数量关系是 ；（2）探究如图2，若ABnAD，CFnCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）拓展在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD3，AB4，则直接写出线段EF的长18【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DECF，则的值为 ；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD7，CD4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CEBD，则的值为 ；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB90，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂
11、线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DEABCFAD；【拓展延伸】（4）如图4，在RtABD中，BAD90，AD9，AB3，将ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DECF，则的值为 19如图，点E是正方形ABCD内部一点，AEF、BEG均为等腰直角三角形，EAFEBG90，连接AG、FC（1）已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条直线上（如图1）若AEF与BEG的相似比为2：1，求EAB的面积；求D、E两点之间距离的最小值（2）如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AGCF20如图，在四边形ABCD的边
12、AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”解决问题：（1）如图，ABDEC45，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好
13、是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系参考答案1（1）证明：连接AD，由题意知，ACD60，CACD，ACD是等边三角形，CDAD，又ABCB，BDBD，ABDCBD（SSS），CBDABD，BD平分ABC；（2）解：连接AD，作等边三角形ACD的外接圆O，ADC60，ABC120，ADC+ABC180，点B在O上，ADCD，CBDCAD60，在BD上截取BM，使BMBC，则BCM为等边三角形，CMB60，CMD120CBA，又CBCM，BACBDC，CBACMD（AAS），MDAB，设BCBM1，则ABMD2，BD3，过点C作CNBD于N，在RtBCN中，CBN
14、60，BCN30，BNBC，CNBC，NDBDBN，在RtCND中，CD，AC，；如图3，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为H，Q，设CB1，AB2，CHx，则由知，AC，AHx，在RtBCH与RtBAH中，BC2CH2AB2AH2，即1x222（x）2，解得，x，BH，在RtADQ中，DQAD，AC为ABC与ACD的公共底，SABC，SACD，S四边形ABCD+，故答案为：2（1）证明：连接AEAB是直径，AEB90，AEBC，ABAC，EABEAC，（2）解：BFAB，CGBF，AEBCCGBAEBABF90，CBG+ABC90，ABC+BAE90，CBGBAE，BCGABE，CG2，
15、CGAB，CF，FG3解：（1）如图1中，作PHBC于H四边形ABCD是菱形，ABBC4，ADBC，A+ABC180，A120，PBH60，PB3，PHB90，BHPBcos60，PHPBsin60，CHBCBH4，PC（2）如图1中，作PHBC于H，连接PQ，设PC交BD于O四边形ABCD是菱形，ABDCBD30，PCQ30，PBOQCO，POBQOC，POBQOC，POQBOC，POQBOC，OPQOBC30PCQ，PQCQy，PCy，在RtPHB中，BHx，PHx，PC2PH2+CH2，3y2（x）2+（4x）2，y（0x8）（3）如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E此时CQE1
16、20，PBC60，PBC中，不存在角与CQE相等，此时QCE与BCP不可能相似如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E则CQEBQBC+QCP60CBP，PCBE，只可能BCPQCE75，作CFAB于F，则BF2，CF2，PCF45，PFCF2，此时PB2+2，如图4中，当点P在AB的延长线上时，QCE与BCP相似，CQECBP120，QCEPCB15，作CFAB于FFCB30，FCP45，BFBC2，CFPF2，PB22综上所述，满足条件的PB的值为2+2或224（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，NAMBMA，AMNAMB，AMNNAM，ANMN，即AMN是等腰三角形；（2）证
17、明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC2，ABCD3，NAMBMA，作NHAM于H，如图所示：ANMN，NHAM，AHAM，NHAABM90，NAMBMA，NAHAMB，ANBMAHAMAM2，AM22BMAN；（3）解：M为BC中点，BMCMBC21，由（2）得：AM22BMAN，即：AM22AN，AM2AB2+BM232+1210，102AN，AN5，DNANAD523，设DEx，则CE3x，ANBC，DNECME，即，解得：x，即DE，CEDCDE3，ME5解：（1）OP2tcm，OQ（5t）cm，故答案为：2t，（5t），（2）S四边形PABQSABOSPQO，191052t（5
18、t），t2或3，当t2或3时，四边形PABQ的面积为19cm2（3）POQ与AOB相似，POQAOB90，或当，则，t，当时，则，t1，当t或1时，POQ与AOB相似6解：（1）在MBC中，MCB90，BC2，又M是边AC的中点，AMMCBC1，MB，SMCBBCCMBMCH，CHMH；（2），且AMHAMB，MAHMBA；（3）ACB90，ACBC2，AB2，MAHMBA；，AH2，MH，BM，BH，若AHAD时，AD，若DHAH时，如图1，过点H作HEAB于E，HE2AH2AE2HB2BE2，AE2（2AE）2，AE，AHDH，EHAB，AD2AE，若DHAD时，如图2，过点H作HEAB于
19、E，HE2AH2AE2DH2DE2，AD2（AD）2，AD，综上所述：AD的长为或或7解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：ABCACD，ABCCBD，ACDCBD故答案为：3；ABCACD，ABCCBD，ACDCBD（2）如图2中，在ABC中，ACB90，AB5，AC4，BC3ABC的面积ABCDACBC，CD（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，理由如下：在BOC中，COB90，BC3，OC，OB分两种情况：当BQP90时，如图2，此时PQBACB，解得t，即BQCP，BPBCCP3在BPQ中，由勾股定理，得PQ，点P的坐标为（，）；当BPQ90时，如图2，此时
20、QPBACB，解得t，即BQCP，BPBCCP3，过点P作PEx轴于点EQPBACB，即，PE在BPE中，BE，OEOBBE，点P的坐标为（，），综上可得，点P的坐标为（，）；（，）8（1）证明：ab，MPDNPE（2）ab，1PNE又MPDNPE，当MPD与NPE全等时，MPDNPE，此时MPNP，即点P是MN的中点；（3）若PNPE时，1PNE70，1PNEPEN70a180PNEPEN180707040a40；若EPEN时，则aPNEl70；若NPNE 时，则PEN，此时2180PNE180l18070110PEN55；当D点在M点右侧时，35综上所述，的值是40 或70 或55或359
21、（1）证明：OBOP，OBPOPB，DOBP，OPBD，ADBE；（2）证明：AC是O的切线，CAB90，BAP+PAC90AB是O的直径，APB90，ABP+BAP90，ABPPAC，ABPD，DPAC，CC，DACAPC，ABAC，；（3）解：设PCx，（x0），O的直径为d，则DPABACd由切割线定理，得PCCDAC2，即x（x+d）d2，整理，得x2+dxd20，解得，DEDA，即，CPEDPBB，tanCPEtanB10解：（1）当点F在线段AC上时，证明如下：EFAB，AEF90在ABC中，ACB90ACBAEF又AAABCAFE当t秒时，AE3t，由得ABCAFE，即，FE4t
22、在RtABC中，AB，过点C作CHAB于H，如图1：由面积法可得：SCEFSACESAEF令解得：，经检验，符合题意答：当t为秒或1秒时，CEF的面积为1.2（2）存在，理由如下：i）当点F在线段AC上时（0t），CFEAEF+A90，当CEF为等腰三角形时，只能是FCFE由可知：FE4tAF5t，FC4t5t+4t6，tii）当点F在线段AC的延长线上时（t），如图2，FCEFCB+ECB90，当CEF为等腰三角形时，只能是FCEC此时FCEFEFABAEF90即CEA+CEF90又F+A90CEAACEAC6FC6AF12 即5t12综上所述，t的值为秒或秒时，CEF为等腰三角形11解：（
23、1）如图1中，四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD4，AEDE2，AF1，AD90，AEFDCE，AEFDCE，DCE+CED90，AEF+CED90，FECA90，AEFECF，EF为四边形AECF的相似对角线（2）如图2中，AC是四边形ABCD的相似对角线，有两种情形：如图2中，ACBACD时，ABAD3，BCCD，AC垂直平分DB，在RtAOB中，AB3，ABO30，BOABcos30，BD2OB3如图3中，当ACDABC时，可得AC2ABAD，33AD，AD1，在RtADH中，HAD60，AD1，AHAD，DHAH，在RtBDH中，BD（3）如图4中，当AEF和CEF关于EF对称时
24、，EF是四边形AECF的相似对角线，设AEECx，在RtBCE中，EC2BE2+BC2，x2（6x）2+42，解得x，此时BEABAE6如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将CFD沿CF翻折得到CFD，延长CD交AB于E，易证EF是四边形AECF的相似对角线由AEFDFC得到，AE，BEABAE如图6中，取AB的中点E，连接CE，作EFAD于F，延长CB交FE的延长线于M，则易证EF是四边形AECF的相似对角线此时BE3综上所述，满足条件的BE的值为 或或312解：（1）如图1中，CDAB，ADCBDC90CD2DADB，ADCCDB，ABCD，A+ACD90，BCD+ACD90，ACB90
25、（2）如图2中，作AEBC交直线CH于E，tanABC，设AC2x，BC3x，CNx，tanACEtanNBC，AEACx，AEHBCH，（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于HEFAB，CDAB，CDFH，DMCM，HEEF4，在RtCEH中，CH2.4，AEFHEC，AE5，ACAE+EC8.2，HECABC，AB13解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于KAOBCOD45，COADOB，OAOB，OCOD，COADOB（SAS），ACDB，CAODBO，MKABKO，AMKBOK45，故答案为：ACBD，AMB45【类比探究】如图（2）中，在OAB和OCD中，AOBCOD90，O
26、ABOCD30，COADOB，OCOD，OAOB，COADOB，MAKOBK，AKMBKO，AMKBOK90【实际应用】如图31中，作CHBD于H，连接AD在RtDCE中，DCE90，CDE30，EC1，CEH60，CHE90，HCE30，EHEC，CH，在RtBCH中，BH，BEBHEH4，DCAECB，AD：BECD：EC，AD414解：（1）问题发现：BACDAE50，DABEAC，且ABAC，ADAEDABEAC（SAS）BDCE，ACEABDBAC+ABC+ACB180，且BFC+FBC+FCBBFC+ABC+ABF+FCBBFC+ABC+ACB180BFCBAC50故答案为：1，5
27、0（2）类比探究：，APC90理由如下：DEF60，FDE90DFDE，四边形ABCD是矩形CDAB，ADC90ADDC，ADCEDF90EDCADF，且ADFCDE，FADDCE点A，点P，点D，点C四点共圆APCADC90（3）拓展延伸：如图，过点C作CMDE，交ED延长线于点M，DF，DEF60，AEC90DE1，CEM30CEM30，CMEDCM，EMCECD2CM2+DM2，7+（EM1）2，CE2，AF6如图，过点C作CMDE，交DE延长线于点M，DF，DEF60，AEC90DE1，CEM30CEM30，CMEDCM，EMCECD2CM2+DM2，7+（EM+1）2，CE，AF3综
28、上所述：当点P与点E重合时，AF的长为3或615解：（1）CEBC，EBCCEBEBF+EBCCEB+CEA，EBFCEAACBCAD，ADCCADACCD在ABCD中，ABCD，ABACABCBCE+ACECEBCAE+ACE，ABCCEB，BCECAECEEF，EFCBCEEFCCAEEBFCEA（2）如图，分别过点E，A作EGBC于点G，AHBC于点HECEF，EFC是等腰三角形EGFC，CF2CGADC45，ACBADC，ADCACBABC45BAC90ABC是等腰直角三角形又AHBC，AH平分BAC，即EAHCAH45GHEAcos45，CHACcos45，（3）如图，过点E作EMB
29、C，交CA的延长线于点M，过点E作ENBC在ABCD中，ADC60，ACBADC，ABC和AEM是等边三角形，AEMEAECF，MECFMEGCFG，MFCG，MEGCFG（ASA）MGCG设AGx，AMy，则CGx+y，AC2x+yEFEC，ENBC，y2xGA2：CE2x2：（3x2+6xy+y2）1：28即CE16（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC90，ABBC，EAB+AEB90，AGCF，FCB+CEG90，AEBCEG，EABFCB，在ABE和CBF中，ABECBF（ASA），BEBF；（2）证明：四边形ABCD是正方形，ABDCAB45，AE平分CAB，CAGFAG22.
30、5，在AGC和AGF中，AGCAGF（ASA），CGGF，CBF90，GBGCGF，GBFGFB90FCB90GAF9022.567.5，DBG180ABDGBF1804567.567.5，DBGGBF，BG平分DBF；（3）解：连接BG，如图3所示：四边形ABCD是正方形，DCAB，DCAACB45，DCB90，ACDC，DCGDCB+BCFDCB+GAF90+22.5112.5，ABG180GBF18067.5112.5，DCGABG，在DCG和ABG中，DCGABG（SAS），CDGGAB22.5，CDGCAG，DCMACE45，DCMACE，17解：（1）DHHF；理由如下：四边形AB
31、CD是矩形，ABAD，四边形ABCD是正方形，BCCD，ABCEBCBCD90，CDBC，FGBC，ECF90，CDGF，CGFECFEBC90，GCF+BCE90，BCE+BEC90，GCFBEC，在GCF和BEC中，GCFBEC（AAS），BCGF，CDGF，CDGF，HDCHFG，HCDHGF，在HCD和HGF中，HCDHGF（ASA），DHHF，故答案为：DHHF；（2）DHHF仍然成立；理由如下：四边形ABCD是矩形，FGBC，ECF90，CGFECFEBC90，FCG+BCE90，BCE+CEB90，FCGCEB，FCGCEB，n，四边形ABCD是矩形，ABnAD，n，GFCD，四
32、边形ABCD是矩形，CDBC，FGBC，CDGF，HDCHFG，HCDHGF，在HCD和HGF中，HCDHGF（ASA），DHHF；（3）如图3所示：四边形ABCD是矩形，ABCD4，ADBC3，RDC90，RDCH，ABnAD，CFnCE，n，CECF，分两种情况：当ARAD时，AD3，AR1，DR2，在RtCDR中，由勾股定理得：CR2，RDCH，DHFH，RCCF2，CE2，由勾股定理得：EF；当DRAD时，同理可得：DR1，RC，CFRC，CE，由勾股定理得：EF；综上所述，若射线FC过AD的三等分点，AD3，AB4，则线段EF的长为或18（1）解：四边形ABCD是正方形，AADC90
33、，ADCDADE+EDC90DECF，ADE+DFC90AEDDFC在AED和DFC中，AEDDFC（AAS）EDFC1故答案为：1（2）解：四边形ABCD是矩形，AADCDCB90ADB+BDC90CEBD，ADB+DEC90BDCDECEDCDCB90，EDCDCB，ADBC7，CD4，故答案为：（3）证明：过点F作FHBC于点H，如图，AB90，FHBC，四边形ABHF为矩形ABFH，AFH90HFC+DFG90CFH+HCF90，HCFDFGCGDG，A90，AG90ADEGDF，AEDDFG，AEDHCFAFHC90，AEDHCFDEABCFAD；（4）解法一：过点C作CMAD于点M
34、，连接AC，交BD 与点H，如图，由题意：ABD与CBD关于BD轴对称，BD垂直平分AH，即AHHC，AHBDBAD90，BDAH，ABHBDAAB2BHBDBD2AB2+AD2，BD，BHDHBDBHAH，AC2AH，9CMCMBAD90，AED+ADE90CFDE，CFD+EDA90AEDCFDEADFMC90，AEDFMC解法二：连接AC，交BD 与点H，设DE，FC交于点G，BD，FC交于点M，如图，：ABD与CBD关于BD轴对称，BD垂直平分AH，即AHHC，AHBDBAD90，BDAH，ABHBDAAB2BHBDBD2AB2+AD2，BD，BHDHBDBHAH，AC2AHACF+BMC90，BDE+DMF90，ACF+BMCBDE+DMFBMCDMF，ACFBDEEBD+BAH90，FAC+BAH90，EBDFAC，BEDAFC故答案为：19
