1、1717 勾股定理勾股定理17.1 勾股定理第一课时 勾股定理课 时 目 标课 时 目 标1.1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想。理，体会数形结合的思想。2.2.会用勾股定理进行简单的计算。会用勾股定理进行简单的计算。情 景 导 入情 景 导 入勾股定理的认识及验证勾股定理的认识及验证我们我们一起穿越回到一起穿越回到25002500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面
2、老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：（如图）：问题问题1 1 试问正方形试问正方形A A、B B、C C面积之间有什么样的数面积之间有什么样的数量关系？量关系？ABCSSS正方形正方形正方形ABC 探 究 新 知探 究 新 知一直角边一直角边2 2+另另一直角边一直角边2 2=斜边斜边2 2问题问题2 2 图中正方形图中正方形A A、B B、C C所围成的等腰所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？直角三角形三边之间有什么特殊关系？ABC 探 究 新 知探 究 新 知可以可以发现，以等腰直角三角形的两条直角边为边长发现，以等腰直角三角形的两条直角边为边长的正方形的
3、面积的和，等于以斜边为边长的大正方的正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。即形的面积。即等腰直角三角形等腰直角三角形的三边之间有一种特的三边之间有一种特殊的关系：殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和斜边的平方等于两直角边的平方和。探 究 新 知探 究 新 知问题问题3 3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形边长的三个正方形A A、B B、C C 是否也有类似的面积关是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位每个小正方形的面积为单位1)1)：这两幅图中这两幅图中A,BA,B的的面积都
4、好求，该怎面积都好求，该怎样求样求C C的面积呢？的面积呢？探 究 新 知探 究 新 知方法方法1 1：补形法补形法(把以斜边为把以斜边为边长的正方形补成各边都在边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：网格线上的正方形）：C15 5423132S 左图：左图：C177443252S右图：右图：探 究 新 知探 究 新 知方法方法2 2：分割法分割法(把以斜边为把以斜边为边长的正方形分割成易求出边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：面积的三角形和四边形）：C14231 1132S 左图：左图：C14431 1252S 右图：右图：探 究 新 知探 究 新 知根据前面求出的根据前面求
5、出的C C的面积直接填出下表：的面积直接填出下表：A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积左图左图右图右图4 4 131325259 916 16 9 9思考思考 正方形正方形A A、B B、C C 所围所围成的直角三角成的直角三角形三条边之间形三条边之间有怎样的特殊有怎样的特殊关系？关系？探 究 新 知探 究 新 知命题命题1 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a a,b b，斜边长为，斜边长为c c,那么那么a a2 2+b b2 2=c c2 2.两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.由上面的几个例子，我们猜想：
6、由上面的几个例子，我们猜想：a ab bc c探 究 新 知探 究 新 知证法证法1 1 让我们跟着让我们跟着我国汉代数学家赵爽我国汉代数学家赵爽拼拼图图,再用所拼的图形证明命题吧再用所拼的图形证明命题吧.a ab bb bc ca ab bc ca a探 究 新 知探 究 新 知S S小正方形小正方形(b b-a a)2 2,S S大正方形大正方形44S S三角形三角形S S小正方形，小正方形，a ab bc cb-ab-a证明证明：S S大正方形大正方形c c2 2，“赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲明才智
7、，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被因为，这个图案被选为选为20022002年在北京召开的国际数学大会的会徽年在北京召开的国际数学大会的会徽.222214.2cabbaab探 究 新 知探 究 新 知证法证法2 2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧面积关系后证明吧.探 究 新 知探 究 新 知a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc ca a2 2+b b2 2+2+2abab=c c2 2+2+2abab，a a2 2+b b2
8、 2=c c2 2.证明：证明：S S大正方形大正方形=(=(a a+b b)2 2=a a2 2+b b2 2+2+2abab,S S大大正方形正方形 =4=4S S直角三角形直角三角形 +S S小正方形小正方形 =4=4 abab+c c2 2 =c c2 2+2+2abab，12探 究 新 知探 究 新 知a aa ab bb bc cc c1()(),2Sabab梯形证明：2111,222Sababc梯形a a2 2+b b2 2=c c2 2.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a a2 2+b b2 2=c c2 2.证法证法3
9、3 美国第二十任总统伽菲尔德的美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法总统证法”.探 究 新 知探 究 新 知归纳总结归纳总结在我国又称在我国又称商高定理商高定理，在外国则叫，在外国则叫毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理，或或百牛定理百牛定理.如果如果直角三角形直角三角形的两直角边长分别的两直角边长分别为为a a,b b,斜边长为斜边长为c c,那么那么a a2 2+b b2 2=c c2 2.u勾股定理勾股定理a ab bc c探 究 新 知探 究 新 知u公式变形：公式变形：a a、b b、c c为正数为正数222222-,acbbcacab,探 究 新 知探 究 新 知例例1 1 如如图，在图，在
10、RtRtABCABC中，中，C C=90=90.（1 1）若）若a a=b b=5,=5,求求c c;（2 2）若）若a a=1,=1,c c=2,=2,求求b b.解：解：(1)(1)据勾股定理得据勾股定理得222255505 2;cab(2)(2)据勾股定理得据勾股定理得2222213.bcaC CA AB B利用勾股定理进行计算利用勾股定理进行计算探 究 新 知探 究 新 知（1 1）若）若a a：b b=1=1：2 2，c c=5,=5,求求a a;（2 2）若）若b b=15=15，A A=30=30,求求a,ca,c.【变式题变式题1 1】在在RtRtABCABC中，中，C C=9
11、0=90.解：解：(1)1)设设a a=x x,b b=2=2x x,根据勾股定理建立方程得根据勾股定理建立方程得x x2 2+(2+(2x x)2 2=5=52 2，解得解得5x，5.a(2)(2)30,15,Ab2.ca因此设因此设a a=x x,c,c=2=2x x,根据勾股定理建立方程得根据勾股定理建立方程得(2(2x x)2 2-x x2 2=15=152 2，解得解得5 3.x 5 310 3.ac，探 究 新 知探 究 新 知已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理边时，要运用方程思想设未知数，
12、根据勾股定理列方程求解列方程求解.探 究 新 知探 究 新 知【变式题【变式题2 2】在在RtRtABCABC中，中，ABAB4 4，ACAC3 3，求，求BCBC的长的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：解：本题斜边不确定，需分类讨论：当当ABAB为斜边时，如图为斜边时，如图，当当BCBC为斜边时，如图为斜边时，如图，22437;BC 22435.BC 4 43 3C CA AB B图图4 43 3A AC CB B图图探 究 新 知探 究 新 知当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也或直角边时，其中一较长边可
13、能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解否则容易丢解.探 究 新 知探 究 新 知例例2 2 已知已知ACBACB=90=90,CDCDABAB,ACAC=3,=3,BCBC=4.=4.求求CDCD的长的长.解：由勾股定理可得解：由勾股定理可得 ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2=25=25，即即 AB=5AB=5.根据根据三角形面积公式，三角形面积公式，AC ACBC=ABBC=ABCDCD.CD=CD=.A AD DB BC C3 34 41212125探 究 新 知探 究 新 知由直角三角形的面积求法可
14、知直角三角由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用积，它常与勾股定理联合使用探 究 新 知探 究 新 知求求下列图中未知数下列图中未知数x x、y y的值：的值：解：由勾股定理可得解：由勾股定理可得 81+144=81+144=x x2 2，解得解得x x=15.=15.解：由勾股定理可得解：由勾股定理可得 y y2 2+144144=169=169，解得解得 y y=5=5巩 固 练 习巩 固 练 习1.1.下列说法中下列说法中,正确的正确的是（是（）A.A.已知已知a,b,ca,b,c是三角形的三边，则
15、是三角形的三边，则a a2 2+b b2 2=c c2 2B.B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.C.在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90,所以所以a a2 2+b b2 2=c c2 2D.D.在在RtRtABCABC中，中，B B=90=90,所以所以a a2 2+b b2 2=c c2 2C C巩 固 练 习巩 固 练 习2.2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为积为 .8 cm8 cm10 cm10 cm36 cm36 cm巩 固 练 习巩 固 练 习3.3.在在AB
16、CABC中，中，C C=90=90.（1 1）若）若a a=15=15，b b=8=8，则，则c c=.（2 2）若）若c c=13=13，b b=12=12，则，则a a=.4.4.若直角三角形中，有两边长是若直角三角形中，有两边长是5 5和和7 7，则第三边长，则第三边长的平方为的平方为_._.17175 57474或或2424巩 固 练 习巩 固 练 习5.5.求斜边长求斜边长17 cm17 cm、一条直角边长、一条直角边长15 cm15 cm的的直角三角形的面积直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是解：设另一条直角边长是x x cm.cm.由勾股定理得由勾股定理得15152 2+x
17、x2 2=17=172 2，即即x x2 2=17=172 2-15-152 2=289225=64=289225=64，x x=8 8（负值舍去），（负值舍去），另一直角边长为另一直角边长为8 cm8 cm，直角三角形的面积直角三角形的面积是是 (cm(cm2 2).).巩 固 练 习巩 固 练 习6.6.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADADBCBC，B B=45=45，C C=30=30，ADAD=1=1，求，求ABCABC的周长的周长解：解：ADBCADBC，ADB=ADC=90ADB=ADC=90在在RtRtADBADB中，中，B+BAD=90B+BAD=90，B=45B=45
18、，B=BAD=45B=BAD=45，B BD=D=A AD=1D=1，AB=AB=在在RtRtADCADC中，中，C=30C=30，AC=2AD=2AC=2AD=2，CD=CD=，BC=BD+CD=1+BC=BD+CD=1+，ABCABC的周长的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BC=233332A AB BC CD D巩 固 练 习巩 固 练 习7.7.如图，以如图，以RtRtABCABC的三边长为斜边分别向外作等腰直的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边角三角形若斜边ABAB3 3，求，求ABEABE及阴影部分的面积及阴影部分的面积.巩 固 练 习巩 固 练 习解：解：AEAEBE
19、BE，S SABEABE AEAEBEBE AEAE2 2.又又AEAE2 2BEBE2 2ABAB2 2，2 2AEAE2 2ABAB2 2，S SABEABE ABAB2 2 ；同理可得同理可得S SAHCAHCS SBCFBCF ACAC2 2 BC BC2 2.又又ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2，阴影部分的面积为阴影部分的面积为 ABAB2 2 .1212149414141292课 堂 小 结课 堂 小 结勾股定理勾股定理内容内容在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90,a,b,a,b为直为直角边，角边，c c为斜边，则有为斜边，则有a a2 2+b b2 2=c c2 2.注意注意在直角三角形中在直角三角形中看清哪个角是直角看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论还是斜边时一定要分类讨论
