1、专题三 最值问题一、将军饮马模型与最值类 型一定两动两定两动一定两动图 示在OA,OB上分别取点M,N,使得PMN周长最小在OA,OB上分别取点M,N,使得四边形PMNQ的周长最小.在OA,OB上分别取点M,N,使得PM+MN的值最小.说 明M,N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线),OB(折点N所在直线)的对称点P,P,化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP,当P,M,N,P四点共线时,PMN的周长最小PQ是条定线段,只需考虑PM+MN+NQ的值最小.分别作点P,Q关于OA,OB的对称点P,P,化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ,当P,M,N,Q四点共线时,四边形PMN
2、Q的周长最小.M为折点,作点P关于OA对称的点P,将折线段PM+MN转化为PM+MN,即过点P作OB的垂线分别交OA,OB于点M,N,得PM+MN的最小值.(点到直线的连线中,垂线段最短)例1 如图1,ABC是等边三角形,AB=6,N是AB的中点,AD是BC边上的中线,M是AD上的一个动点,连接BM,MN,则BM+MN的最小值是 解析:连接CM,CN,如图1所示.因为ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,所以AC=AB,ADBC,BD=CD.所以AD是BC的垂直平分线.所以BM=CM.所以BM+MN=CM+MN.当C,M,N三点共线时,BM+MN有最小值,为CN的长.因为N是AB的中点,所
3、以CNAB,AN=AB=3.所以CN= .所以BM+MN的最小值为.故填例2 如图2,在菱形ABCD中,AB=4,BAD=120,P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 解析:作点P关于BD的对称点P,连接PQ与BD的交点即为所求的点K,如图2所示.根据直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短的性质,知当PQCD时,PQ的值最小,即PK+QK的值最小.作AECD,此时AE=PQ.因为四边形ABCD是菱形,AB=4,所以AD=AB=4,ABCD.因为BAD=120,所以ADE=60.所以AE=ADsin60=4=.所以点P到CD的距离为.所以PK+QK的最小值为故
4、填二、胡不归中的双线段模型与最值图 示 APBlFEPNAPBl如图,A为直线l上一定点,B为直线l外一定点,P为直线l上一动点,求BP+kAP(0k1)的最小值 说 明在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形,以定点A为顶点作NAP,使sinNAP=k;过动点P作垂线,构造RtAPE.将kAP转化为PE,使得BP+kAP=BP+PE.利用“垂线段最短”转化为求BF的长.在求形如“AP+kBP”式子的最值时,关键是构造与kPB相等的线段,将“AP+kBP”问题转化为“AP+CP” 例3 如图3,在ABC中,AB=5,AC=4,sinA=,BDAC交AC于点D,P为线段BD上的动点,则PC+
5、PB的最小值为 解析:过点P作PEAB于点E,过点C作CHAB于点H,如图3所示.因为BDAC,所以ADB=90.因为sin A=,AB=5,所以BD=4.由勾股定理,得AD=3.所以sinABD=.所以PE=PB.所以PC+PB=PC+PE.当C,P,E三点共线时,PC+PB的值最小,此时PC+PB的最小值为CH的长.因为SABC=ACBD=ABCH,所以44=5CH,解得CH=.所以PC+PB的最小值为故填三、隐圆问题与最值图 示 说 明如图,在ABC中,BC的长为定值,A的度数为定角度,探究点A的轨迹.当A90时,点A在劣弧上运动(不与点A,B重合),如图.例4 如图4,已知正方形ABC
6、D的边长为6,F是正方形内一点,连接CF,DF,且ADF=DCF,E是AD边上一动点,连接EB,EF,则EB+EF长度的最小值为_解析:因为四边形ABCD是正方形,所以ADC=90.所以ADFCDF=90.因为ADF=DCF,所以DCFCDF=90.所以DFC=90.所以点F在以CD为直径的半圆上移动.设CD的中点为O,作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD,则点B的对应点是P,连接PO交AD于点E,交半圆O于点F,此时线段FP的长即为BEFE长度的最小值.在RtCDF中,因为O为CD的中点,CD=6,所以OF=OD=3.因为G=90,PG=DG=AB=6,所以OG=9.所以OP=.
7、所以FP=-3.所以BEFE长度的最小值为-3.故填-3 图5跟踪训练1.如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=4,OB=6,以点O为圆心,3为半径的O,与OB交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,P是边OA上的点,则PC+PD的最小值为_ 第1题图 第2题图2. 如图,在ABC中,ABC=90,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE.当ABD=BCE时,线段AE的最小值是( )A3B4C5D6专题三 最值问题1. 解析:延长CO,交O于一点E,连接PE,如图所示.因为OB=6,以点O为圆心,半径为3的O,所以OC=BC=OE=3.因
8、为AOB=90,CDOB,所以BCD=AOB=90.所以CDOA,CP=PE.所以BCDBOA.所以.因为OA=4,所以.因为CP=PE,所以PC+PD=PE+PD.当D,P,E三点共线时,PE+PD=DE,此时PE+PD的值最小,即PC+PD的值最小,如图所示.在RtDCE中,DE=,所以PC+PD的最小值为. 第1题图 第2题图2. B 解析:取BC的中点T,连接AT,ET,如图所示.因为ABC=90,所以ABD+CBD=90.因为ABD=BCE,所以CBD+BCE=90.所以CEB=90.因为CT=TB=6,所以ET=BC=6,AT=10.因为AEAT-ET,所以AE4.所以AE的最小值为4. 第5页