1、内 容 简 介本书共分五编。第一编为集合论，其中包括集合的基本概念、二元关系、函数、自然数、基数、序数。第二编为图论，其中包括图的基本概念、图的连通性、欧拉图与哈密顿图、树、平面图、图的着色、图的矩阵表示、覆盖集、独立集、匹配、带权图及其应用。第三编为代数结构，其中包括代数系统的基本概念、几个重要的代数系统：半群、群、环、域、格与布尔代数。第四编为组合数学，其中包括组合存在性、组合计数、组合设计与编码以及组合最优化。第五编为数理逻辑，其中包括命题逻辑、一阶谓词逻辑、Herbrand定理和直觉逻辑。 本书体系严谨、内容丰富、配有大量的例题和习题，并与计算机科学的理论与实践密切结合。 本书不仅适用
2、于计算机及相关专业的本科生或研究生，也可供计算机专业的科技人员使用或参考。目 录第一编 集合论第一章 集合(1) 1.1 预备知识(1) 1.2 集合的概念及集合之间的关系(7) 1.3 集合的运算(10) 1.4 基本的集合恒等式(13) 1.5 集合列的极限(17) 习题一(20)第二章 二元关系(23) 2.1 有序对与卡氏积(23) 2.2 二元关系(26) 2.3 关系矩阵和关系图(32) 2.4 关系的性质(34) 2.5 二元关系的幂运算(37) 2.6 关系的闭包(39) 2.7 等价关系和划分(45) 2.8 序关系(49) 习题二(53)第三章 函数(58) 3.1 函数的
3、基本概念(58) 3.2 函数的性质(59) 3.3 函数的合成(62) 3.4 反函数(64) 习题三(68)第四章 自然数(70) 4.1 自然数的定义(70) 4.2 传递集合(74) 4.3 自然数的运算(76) 4.4 N上的序关系(78) 习题四(80)第五章 基数(势)(81) 5.1 集合的等势(81) 5.2 有穷集合与无穷集合(83) 5.3 基数(84) 5.4 基数的比较(85) 5.5 基数运算(89) 习题五(93)第六章 序数(95) 6.1 关于序关系的进一步讨论(95) 6.2 超限递归定理(97) 6.3 序数(99) 6.4 关于基数的进一步讨论(105)
4、 习题六(105)第二编 图 论第七章 图(107) 7.1 图的基本概念(107) 7.2 通路与回路(119) 7.3 无向图的连通性(121) 7.4 无向图的连通度(123) 7.5 有向图的连通性(129) 习题七(130)第八章 欧拉图与哈密顿图(132) 8.1 欧拉图(132) 8.2 哈密顿图(137) 习题八(142)第九章 树(144) 9.1 无向树的定义及性质(144) 9.2 生成树(146) 9.3 环路空间(149) 9.4 断集空间(151) 9.5 根树(153) 习题九(154)第十章 图的矩阵表示(156) 10.1 关联矩阵(156) 10.2 邻接矩
5、阵与相邻矩阵(159) 习题十(163)第十一章 平面图(165) 11.1 平面图的基本概念(165) 11.2 欧拉公式(168) 11.3 平面图的判断(170) 11.4 平面图的对偶图(172) 11.5 外平面图(175) 11.6 平面图与哈密顿图(177) 习题十一(179)第十二章 图的着色(180) 12.1 点着色(180) 12.2 色多项式(181) 12.3 地图的着色与平面图的点着色(185) 12.4 边着色(187) 习题十二(189)第十三章 支配集、覆盖集、独立集与匹配(190) 13.1 支配集、点覆盖集、点独立集(190) 13.2 边覆盖集与匹配(1
6、93) 13.3 二部图中的匹配(198) 习题十三(199)第十四章 带权图及其应用(201) 14.1 最短路径问题(201) 14.2 关键路径问题(204) 14.3 中国邮递员问题(206) 14.4 最小生成树(208) 14.5 最优树(213) 14.6 货郎担问题(216) 习题十四(220)第三编 代数结构第十五章 代数系统(222) 15.1 二元运算及其性质(222) 15.2 代数系统、子代数和积代数(227) 15.3 代数系统的同态与同构(230) 15.4 同余关系和商代数(233) 15.5 代数(236) 习题十五(237)第十六章 半群与独异点(240)
7、16.1 半群与独异点(240) 16.2 有穷自动机(242) 习题十六(247)第十七章 群(249) 17.1 群的定义和性质(249) 17.2 子群(253) 17.3 循环群(255) 17.4 变换群和置换群(257) 17.5 群的分解(263) 17.6 正规子群和商群(269) 17.7 群的同态与同构(272) 17.8 群的直积(278) 习题十七(281)第十八章 环与域(285) 18.1 环的定义和性质(285) 18.2 子环、理想、商环和环同态(289) 18.3 有限域上的多项式环(294)习题十八(296)第十九章 格与布尔代数(299) 19.1 格的定
8、义和性质(299) 19.2 子格、格同态和格的直积(303) 19.3 模格、分配格和有补格(307) 19.4 布尔代数(311) 习题十九(318)第四编 组合数学第二十章 组合存在性定理(322) 20.1 鸽巢原理和Ramsey定理(322) 20.2 相异代表系(331) 习题二十(335)第二十一章 基本的计数公式(337) 21.1 两个计数原则(337) 21.2 排列和组合(338) 21.3 二项式定理与组合恒等式 (343) 21.4 多项式定理(347) 习题二十一(349)第二十二章 组合计数方法(352) 22.1 递推方程的公式解法(352) 22.2 递推方程
9、的其他解法(361) 22.3 生成函数的定义和性质(370) 22.4 生成函数与组合计数(375) 22.5 指数生成函数与多重集的排列问题(384) 22.6 Catalan数与Stirling数(388) 习题二十二(394)第二十三章 组合计数定理(398) 23.1 包含排斥原理(398) 23.2 对称筛公式及应用(403) 23.3 Burnside引理(410) 23.4 Polya定理(414) 习题二十三(420)第二十四章 组合设计与编码(422) 24.1 拉丁方(422) 24.2 t设计(427) 24.3 编码(436) 24.4 编码与设计(446) 习题二十
10、四(449)第二十五章 组合最优化问题(450) 25.1 组合优化问题的一般概念 (450) 25.2 网络的最大流问题(452) 习题二十五(457)第五编 数理逻辑第二十六章 命题逻辑(458) 26.1 形式系统(458) 26.2 命题和联结词(461) 26.3 命题形式和真值表(464) 26.4 联结词的完全集(468) 26.5 推理形式(471) 26.6 命题演算的自然推理形式系统N(473) 26.7 命题演算形式系统P(486) 26.8 N与P的等价性(494) 26.9 赋值(496) 26.10 可靠性、和谐性与完备性 (505) 习题二十六 (507)第二十七
11、章 一阶谓词演算(511) 27.1 一阶谓词演算的符号化(511) 27.2 一阶语言(515) 27.3 一阶谓词演算的自然推演形式系统NL(519) 27.4 一阶谓词演算的形式系统KL(530) 27.5 NL与KL的等价性(534) 27.6 KL的解释与赋值(536) 27.7 KL的可靠性与和谐性(547) 27.8 KL的完全性(551) 习题二十七 (558)第二十八章 消解原理(562) 28.1 命题公式的消解(562) 28.2 Herbrand定理(567) 28.3 代换与合一代换(572) 28.4 一阶谓词公式的消解(576) 习题二十八 (581)第二十九章
12、直觉主义逻辑(583) 29.1 直觉主义逻辑的直观介绍(583) 29.2 直觉主义的一阶谓词演算的自然推演形式系统(585) 29.3 直觉主义一阶谓词演算形式系统IKL(594) 29.4 直觉主义逻辑的克里普克(Kripke)语义(597) 29.5 直觉主义逻辑的完备性(602) 习题二十九 (607)附录1 第一编与第二编符号注释与术语索引 (608)附录2 第三编与第四编符号注释与术语索引 (614)附录3 第五编符号注释与术语索引(620)参考书目和文献(624)05668本书共分4大部分，数理逻辑部分包括命题逻辑的基本概念、等值演算、范式与推理理论，一阶逻辑的基本概念、前束范
13、式以及推理理论。集合论部分包括集合的基本概念与运算，二元关系的性质与运算、等价关系与偏序关系，函数及其性质，复合函数与反函数等。代数结构部分包括二元运算及代数系统，半群、独异点、群、环与域、格与布尔代数等。图论部分包括图的基本概念和矩阵表示，树的概念、性质及应用，二部图，欧拉图，哈密尔顿图，平面图，图的着色等。本书作为北京市高等教育计算机及应用专业自学考试的指定教材，体系严谨，选材精炼，深浅适度，并配有大量的例题，习题解答。本书既适合自学，也可以作为普通高校计算机及先关专业离散数学的入门教材或参考书。第一部分 数理逻辑第一章 命题逻辑1.1 命题与联结词1.2 命题公式与赋值1.3 等值演算1
14、.4 析取范式与合取范式1.5 命题逻辑的推理理论1.6 例题分析习题一第二章 一阶逻辑2.1一阶逻辑的基本概念2.2一阶逻辑公式及解释2.3一阶逻辑等值式与前束范式2.4一阶逻辑推理理论2.5例题分析习题二第二部分 集合论第三章 集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合恒等式3.4有穷集合的计数3.5例题分析习题三第四章 二元关系和函数4.1集合的笛卡儿积和二元关系4.2关系的运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义和性质4.7函数的复合和反函数4.8例题分析习题四第三部分 代数结构第五章 代数系统的一般概念5.1二元运算极其
15、性质5.2代数系统极其子代数和积代数5.3代数系统的同态与同构5.4例题分析习题五第六章 几个典型的代数系统6.1半数与独异点6.2群与子群6.3循环群与置换群6.4群的直积与同态6.5环与域6.6格与布尔代数6.7例题分析习题六第四部分 图论第七章 图的基本概念7.1无向图与有向图7.2通路、回路、图的连通性7.3图的矩阵表示7.4例题分析习题七第八章 树8.1无向树8.2树根及其应用8.3例题分析习题八第九章 二部图、欧拉图、哈密尔顿图9.1二部图9.2欧拉图9.3哈密尔顿图9.4例题分析习题九第十章 平面图及图的着色10.1平面图10.2图的着色10.3例题分析习题十习题的提示或解答附录A 离散数学课程考试大纲B 模拟试题C 模拟试题解答
