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1、第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（文科）学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合 | 42Mxx ， 2 |560Nx xx，则(MN ) A | 12xx B | 41xx C | 46xx D | 62xx 2 （5 分）若复数 34 2 i z i ，则| (z ) A1 B2 C5 D5 3

2、（5 分）某雷达测速区规定：凡车速超过80/km h的汽车视为“超速” ，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对 1000 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中得出将被处罚的汽车大约有( ) A60 辆 B50 辆 C15 辆 D5 辆 4 （5 分）影壁墙，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁影壁墙通常有一字形、八字形等，它具有建筑学与人文学的重要意义，有很高的审美价值如图是一面影壁墙的示意图，该图是由一个长为 6，宽为 4 的矩形截去四个全等的腰长为 1 的等腰直角三角形后与一个边长为3的正方形组成在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方

3、形内部的概率是( ) 第 2 页（共 21 页） A 1 8 B 1 11 C 3 22 D 1 6 5 （5 分）函数 sin cos x yx x 的部分图象大致为( ) A B C D 6 （5 分）已知向量a，b满足| 2a ，| 1b ，且a与b的夹角为 2 3 ，则|2 | (ab ) A3 B2 C2 3 D4 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于( ) A 5 2 B4 C6 D17 2 8 （5 分）把函数sin(2) 3 yx 的图象向右平移 6 个单位长度后，得到函数( )f x的图象，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 2 B(

4、)f x的图象关于直线 2 x 对称第 3 页（共 21 页） C( )f x在0, 2 上为增函数 D( )f x的图象关于点( ,0)对称 9 （5 分）已知四面体ABCD中，CD 平面ABC，ABBC，4ABCD，3BC ，则四面体ABCD的外接球的表面积为( ) A25 B41 C32 D64 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两个焦点为 1 F， 2 F，过 1 F且与x轴垂直的直线交C的渐近线于A，B两点若 2 ABF为直角三角形，则双曲线C的离心率为( ) A5 B3 C2 D 5 2 11 （5 分）数列 n a满足 1 aZ，

5、 1 23 nn aan ，且其前n项和为 n S若 13m Sa，则正整数(m ) A99 B103 C107 D198 12 （5 分）已知函数 11 ( )332cos(1) xx f xx ，则( ) A 0.5 23 1 (log 9)(log)(0.5) 2 fff B 0.5 23 1 (0.5)(log 9)(log) 2 fff C 0.5 32 1 (0.5)(log)(log 9) 2 fff D 0.5 23 1 (log 9)(0.5)(log) 2 fff 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）

6、 13 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 24 2aa， 5 3a ，则 6 S 14 （5 分）若变量x，y满足约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 则3zxy的最大值是 15 （5 分）已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，且C 的准线交x轴于点M若| 2|AFMF，则|AB 16 （5 分）如图，在边长为 4 正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点，ACBDO，点P在正方体表面上移动，且满足 1 OPD E，则点O和满足条件的所有点P构成的图形的面积是第 4 页（共 21 页）

7、三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）一研学实践活动小组利用课余时间，对某公司 1 月份至 5 月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查，月销售单价x（单位：元）和月销售量y（单位：百件）之间的一组数据如表所示：月份i 1 2 3 4 5 月销售单价 i x（元) 1.6 1.8 2 2.2 2.4 月销售量 i y（百件） 10 8 7 6 4 （1）根据 1 至 5

8、月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是 1 元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（注：利润销售收入成本）（回归直线方程 ybxa，其中 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx 参考数据： 5 1 67.2 ii i x y ， 5 2 1 20.4) i i x 18 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，2BC ，4CD ，且ABBDDA （1）若 6 CDB ，求tanABC的值；（2）求四边形ABCD面积的最大值第 5 页（共

9、21 页） 19 （12 分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点（1）证明：/ /EF平面SAB；（2）若EF与平面ABCD所成的角为45，2CD ，求点E到平面SBC的距离 20 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右两个焦点，过 2 F的直线与C 交于P，Q两点(P在第一象限）， 1 PFQ的周长为 8，C的离心率为 1 2 （1）求C的方程；（2）设 1 A， 2 A为C的左右顶点，直线 1 PA的斜率为 1 k， 2 QA的斜率为 2 k，求 2 12 1 3 kk

10、的取值范围 21 （12 分）已知函数( ) x f xkex （1）讨论( )f x的单调性；（2）若函数 32 1 ( )( )32 3 x g xxf xkexx有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x，求实数k的取值范围，并证明 123 4xxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程第 6 页（共 21 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 ()

11、2 ( 21 () 2 xt t t yt t 为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系直线l的极坐标方程为 2 cossin0m （1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc，证明：（1） 111 9 abc ；（2）3abc 第 7 页（共 21 页） 2019-2020 学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（文科）学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（

12、本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合 | 42Mxx ， 2 |560Nx xx，则(MN ) A | 12xx B | 41xx C | 46xx D | 62xx 【解答】解：集合 | 42Mxx ， 2 |560 | 16Nx xxxx ， | 46MNxx 故选：C 2 （5 分）若复数 34 2 i z i ，则| (z ) A1 B2 C5 D5 【解答】解：复数 34(34 )(2)105 2 2

13、(2)(2)5 iiii zi iii 22 |215z 故选：C 3 （5 分）某雷达测速区规定：凡车速超过80/km h的汽车视为“超速” ，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对 1000 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中得出将被处罚的汽车大约有( ) A60 辆 B50 辆 C15 辆 D5 辆第 8 页（共 21 页）【解答】解：由频率分布直方图可知，车速超过80/km h的频率为0.005 100.05，所以 1000 辆汽车被处罚的汽车大约有10000.0550，故选：B 4 （5 分）影壁墙，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的

14、墙壁影壁墙通常有一字形、八字形等，它具有建筑学与人文学的重要意义，有很高的审美价值如图是一面影壁墙的示意图，该图是由一个长为 6，宽为 4 的矩形截去四个全等的腰长为 1 的等腰直角三角形后与一个边长为3的正方形组成在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是( ) A 1 8 B 1 11 C 3 22 D 1 6 【解答】解：由题意可得，外面八边形的面积 1 644 1 122 2 S ，阴影部分的正方形的面积为 2 33，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率 3 22 p 故选：C 5 （5 分）函数 sin cos x yx x 的部分图象大致

16、程序框图，则输出S的值等于( ) A 5 2 B4 C6 D17 2 【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下； 1x ，1S ， 13 1 22 S ； 5x ，2x ， 35 1 22 S ； 5x ，3x ， 53 4 22 S ； 5x ，4x ，426S ； 5x ，5x ， 517 6 22 S ；第 10 页（共 21 页） 5x，输出 17 2 S 故选：D 8 （5 分）把函数sin(2) 3 yx 的图象向右平移 6 个单位长度后，得到函数( )f x的图象，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 2 B( )f x的图象关于直线 2 x 对称 C( )

17、f x在0, 2 上为增函数 D( )f x的图象关于点( ,0)对称【解答】解：函数sin(2) 3 yx 的图象向右平移 6 个单位长度后，得到函数( )sin2f xx的图象，所以函数的最小正周期为，函数的图象关于( ,0)对称函数关于 4 对称函数在0， 4 上单调递增故选：D 9 （5 分）已知四面体ABCD中，CD 平面ABC，ABBC，4ABCD，3BC ，则四面体ABCD的外接球的表面积为( ) A25 B41 C32 D64 【解答】解：由题意将该四面体放在长方体中，可得长方体的长宽高分别为，3，4，4，设外接球的半径为R，则 2222 (2 )3444

18、1R，所以外接球的表面积 2 441SR，故选：B 第 11 页（共 21 页） 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两个焦点为 1 F， 2 F，过 1 F且与x轴垂直的直线交C的渐近线于A，B两点若 2 ABF为直角三角形，则双曲线C的离心率为( ) A5 B3 C2 D 5 2 【解答】解：ABC是直角三角形，BAC为直角，双曲线关于x轴对称，且直线BC垂直x轴， 11 | |AFBF， 1 F为左焦点，设其坐标为(,0)c， 1 | bc BF a ， 21 | 2F Fc， 2 bc c a ，可得2ba， 222 4caa， 2 5

19、e， 1e ， 5e 故选：A 11 （5 分）数列 n a满足 1 aZ， 1 23 nn aan ，且其前n项和为 n S若 13m Sa，则正整数(m ) A99 B103 C107 D198 【解答】解：由 1 23 nn aan ，得 1 (1)1(1) nn anan ， 1 n an为等比数列， 1 1 1( 1)(2) n n ana ，第 12 页（共 21 页） 1 1 ( 1)(2)1 n n aan ， 1 1 ( 1)(2)1 m m aam ， 13123121311 ()()2(2412)3 6102Saaaaaaa ， m为奇数时， 11 21102ama

20、，103m ； m为偶数时， 11 (2)1102ama ， 1 299ma， 1 aZ， 1 299ma只能为奇数，m为偶数时，无解综上所述，103m ，故选：B 12 （5 分）已知函数 11 ( )332cos(1) xx f xx ，则( ) A 0.5 23 1 (log 9)(log)(0.5) 2 fff B 0.5 23 1 (0.5)(log 9)(log) 2 fff C 0.5 32 1 (0.5)(log)(log 9) 2 fff D 0.5 23 1 (log 9)(0.5)(log) 2 fff 【解答】解：由已知得，( )f x关于直线1x 对称，且( )f

21、 x在(1,)单调递增 2 log 93， 0.5 0.52 ， 33 1 2log2log 2(2,3) 2 ， 0.5 23 1 log 92log0.51 2 ， 0.5 23 1 (log 9)(2log)(0.5) 2 fff ，又( )f x关于直线1x 对称， 33 11 (log)(2log) 22 ff， 0.5 23 1 (log 9)(log)(0.5) 2 fff ，故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 24 2aa， 5

22、3a ，则 6 S 9 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 24 2aa， 5 3a ， 1 242ad， 1 43ad，解得： 1 1a ，1d ，第 13 页（共 21 页）则 6 65 619 2 S 故答案为：9 14 （5 分）若变量x，y满足约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 则3zxy的最大值是 9 【解答】解：由约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 作出可行域如图：化目标函数3zxy为3yxz，由图可知，当直线3yxz过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 9 故答案为：9 15 （5 分）已知抛物

24、DO，点P在正方体表面上移动，且满足 1 OPD E，则点O和满足条件的所有点P构成的图形的面积是 18 【解答】解：取 11 A B， 11 BC的中点分别为M，N，连结AM，MN，NC，由于/ /ACMN，所以AMNC四点共面，且四边形AMNC为梯形， 1 D EMN， 1 D EAM，MNAMM， 1 D E面AMNC，点P在正方体表面上移动，点P的运动轨迹为梯形AMNC 正方体 1111 ABCDABC D的边长为 4， 2 2NM ，4 2AC ，2 5AMCN，梯形AMNC为等腰梯形，其高为 22 (2 5)( 2)3 2 面积为 1 (4 22 2)3 218 2 故答

25、案为：18 第 15 页（共 21 页）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）一研学实践活动小组利用课余时间，对某公司 1 月份至 5 月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查，月销售单价x（单位：元）和月销售量y（单位：百件）之间的一组数据如表所示：月份i 1 2 3 4 5 月销售单价 i x（元) 1.6 1.8 2 2.2 2.4 月销售量 i y（百件） 10

26、8 7 6 4 （1）根据 1 至 5 月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是 1 元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（注：利润销售收入成本）（回归直线方程 ybxa，其中 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx 参考数据： 5 1 67.2 ii i x y ， 5 2 1 20.4) i i x 【解答】解：（1）由题意，计算 1.61.822.22.4 2 5 x ， 108764 7 5 y ；所以回归系数 1 22 1 67.

27、2527 7 20.454 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 77221aybx；所以回归直线方程为721yx （2）设该产品的月销售单价为x元，月利润为z百元，则第 16 页（共 21 页）由(1)zxy，得 22 (1)( 721)728217(2)7zxxxxx 所以当2x 时，7 max z（百元）所以该产品的月销售单价应定为 2 元才能获得最大月利润为 7 百元 18 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，2BC ，4CD ，且ABBDDA （1）若 6 CDB ，求tanABC的值；（2）求四边形ABCD面积的最大值【解答】解：（1）在BC

28、D中，由正弦定理得 sinsin CDBC CBDBDC ， 4sin 6 sin1 2 CBD ， 0CBD ， 2 CBD ， 53 tantan()tan()tantan 32663 ABCABDCBD （2）设BCD，在BCD中，由余弦定理得 22222 2cos24224cos20 16cosBDBCCDBC CD 2 31 44 35 385 3 243 ABCD SBC CDsinBDsincossin 四边形当 5 6 时，四边形ABCD面积的最大值85 3 19 （12 分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点（1

29、）证明：/ /EF平面SAB；（2）若EF与平面ABCD所成的角为45，2CD ，求点E到平面SBC的距离第 17 页（共 21 页）【解答】（1）证明：如图，取SB的中点G，连接GF，AG，在SBC中，G，F分别为SB，SC的中点， 1 2 GFBC，/ /GFBC 又E为AD中点，底面ABCD是矩形， 1 2 AEBC，/ /AEBC， / /GFAE，GFAE，则四边形AEFG为平行四边形， / /EFAG 又AG 平面SAB，EF 平面SAB，/ /EF平面SAB；（2）解：连接AC，取AC的中点O，连接OF，OE 在SAC中， 1 2 OFSA，/ /OFSA， SA 平

30、面ABCD，OF平面ABCD， EF与平面ABCD所成角为45，45OEF， 2CD ， 1 1 2 OECD，在Rt OEF中，45OEF，1OE ，1OF， 22SAOF， SAB为等腰直角三角形，AGSB，底面ABCD为矩形，BCAB， SA 平面ABCD，BCSA，又SAABA， BC平面SAB 又AG 平面SAB，AGBC，又SBBCB，AG平面SBC，又/ /AGEF且AGEF，2EF ，第 18 页（共 21 页）点E到平面SBC的距离为2 20 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右两个焦点，过 2 F的直线与C

31、交于P，Q两点(P在第一象限）， 1 PFQ的周长为 8，C的离心率为 1 2 （1）求C的方程；（2）设 1 A， 2 A为C的左右顶点，直线 1 PA的斜率为 1 k， 2 QA的斜率为 2 k，求 2 12 1 3 kk的取值范围【解答】解：（1）由题意，可得 222 48 1 2 a c a abc 解得 2 3 1 a b c ，故 2 4a ， 2 1c 椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）由（1），得 1( 2,0) A ， 2(2,0) A， 2(1,0) F 当直线PQ的斜率不存在时， 3 (1,) 2 P， 3 (1,) 2 Q，此时 1 1 2

32、k ， 21 3 3 2 kk， 22 12 111 31 ( ) 323 24 kk 当直线PQ的斜率存在时，设斜率为k，很明显0k ，则直线:(1) PQ lyk x，(0)k 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，联立 22 (1) 1 43 yk x xy ，第 19 页（共 21 页）整理，得 2222 (43)84(3)0kxk xk 则 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 4(3) 43 k x x k 1 1 1 2 y k x ， 2 2 2 2 y k x ， 2212112211 1121212211 (2)(1)(2)2(

33、)23 (2)(1)(2)()2 kyxxxx xxxx ky xxxx xxxx 2 1 2 2 1 2 6(23) 3 43 3 2(23) 43 k x k k x k 21 3kk 点P在第一象限， 121 1 (,) A ABA kkk，(B为椭圆的上顶点）即 1 3 (0,) 2 k 222 12111 1111 () 3244 kkkkk ，0) 综合，可得 2 12 1 3 kk的取值范围为： 1 4 ，0) 21 （12 分）已知函数( ) x f xkex （1）讨论( )f x的单调性；（2）若函数 32 1 ( )( )32 3 x g xxf xkexx有三个极

34、值点 1 x， 2 x， 3 x，求实数k的取值范围，并证明 123 4xxx 【解答】解：（1）( )1 x fxke，当0k时，( )0fx，( )f x在(,) 单调递减；当0k 时，令( )0fx，得xlnk ，当(,)xlnk 时，( )0fx；当(,)xlnk 时，( )0fx 故( )f x在(,)lnk 单调递减，在(,)lnk单调递增（2）由已知得 32 1 ( )(3) 3 x g xkexxx，( )(2)() x g xxkex，令( )0g x，得2x 或0 x kex 第 20 页（共 21 页）要使函数( )g x有三个极值点，须( )0g x有

35、三个不相等实数根，从而0 x kex有两个异于 2 的实根不妨设 12 xx， 3 2x ，由（1）知：0k ，且( )()10 min f xflnklnk ，从而 1 0k e 而当 1 0k e 时，(0)0fk，f（1）10ke ， 1 ( 2)20flnklnk k ；由零点存在定理知 12 01xx 又当2x 时， 2 2 k e ，所以实数k的取值范围是 22 22 1 (0,)(, ) eee 要证 123 4xxx，只需证 12 2xx 因为 1 x， 2 x是0 x kex的两个实根，且 12 01xx ，所以 12 12 xx xx ee ，从而 12 1 2 xx

36、 x e x ，所以 1 12 2 x lnxx x ，令 1 2 x t x ，则 1 1 tlnt x t ， 2 1 lnt x t ，(0,1)t 要证式成立，只需证2 11 tlntlnt tt ，即证 2(1) 0 1 t lnt t ，(0,1)t 令 2(1) ( ) 1 t h tlnt t ，(0,1)t，则 2 2 2(1) ( )0 (1) t h t t t ，所以( )h t在(0,1)递增，所以( )h th（1）0，所以 2(1) 0 1 t lnt t 命题得证（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作

37、答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 () 2 ( 21 () 2 xt t t yt t 为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系直线l的极坐标方程为 2 cossin0m （1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值【解答】解：（1）因为 22 2 1 (2 )2xt t ， 22 2 21 ()2 2 y t t ，两式相减，有

38、22 424xy，所以C的直角坐标方程为 2 2 1 2 y x 直线l的极坐标方程为2 cossin0m 把cosx，siny，代入上述方程可得：第 21 页（共 21 页）直线l的直角坐标方程为20xym （2）联立l与C的方程，有 2 2 1 2 20 y x xym ，消y，得 22 2420xmxm，因为l与C相切，所以有 222 164 2(2)8160mmm ，解得：2m 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc，证明：（1） 111 9 abc ；（2）3abc 【解答】证明：（1）由1abc，可得 111 ()()33()()()32229 bcacabbacaca abc abcaabbccabacbc 当且仅当 1 3 abc时，等号成立（2）1abc， 2 ()2221222112()3abcabcabacbcabacbcabacbcabc （当且仅当 1 3 abc时等号成立）即 2 ()3abc， 3abc=

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