1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（文科）学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题一、选择题 1 （5 分）已知 |1Ax yx， 1 |42 xx Bx ，则(AB ) A(0,1) B(0，1 CR D 2 （5 分）已知i为虚数单位，则复数(23 )ii对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）函数2 x yxex的图象在点(0,0)处的切线方程为( ) A21yx B21yx C3yx D3yx 4 （5 分）已知ABC外接圆半径为 1，圆心为O，若20OAABAC，则ABC
2、面积的 最大值为( ) A2 B 3 2 C2 D1 5（5 分） 设点Q为 1 0 22 0 323 xy xy xy ， 所表示的平面区域内的动点， 若在上述区域内满足 22 xy 最小时所对应的点为P，则OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的取值范围为( ) A0, 4 B0, 3 C0, 2 D 3 , 24 6 （5 分）已知递增等差数列 n a中， 12 2a a ，则 3 a的( ) A最大值为4 B最小值为 4 C最小值为4 D最大值为 4 7 （5 分）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则 此时欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物
3、距离水面的最大高度应不超过( ) A6m B6.5m C7.5m D8m 8 （5 分）用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的 第 2 页（共 17 页） 图形，则这个几何体的最小体积是( ) A9 B8 C7 D5 9 （5 分）函数 1 3 1 ( ) 2x f xx的零点所在的区间是( ) A 1 (0, ) 4 B 1 ( 4 ， 1) 3 C 1 (3， 1 ) 2 D 1 ( 2 ，1) 10 （5 分）下列说法不正确的是( ) A “pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件 B若数据 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均数为 1，则 1
4、2x， 2 2x， 3 2x，2 n x的平均数 为 2 C在区间0，上随机取一个数x，则事件“ 6 sincos 2 xx”发生的概率为 1 2 D设从总体中抽取的样本为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y若记样本横、纵坐标 的平均数分别为 1 1 n i i xx n ， 1 1 n i i yy n ，则回归直线 y bxa必过点( , )x y 11 （5 分）若直线ykx与函数( ) x f xe和( )g xlnxa的图象都相切，则(a ) A3 B2 C1 D0 12 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P、Q
5、是面对角线 11 AC上两个 不同的动点P，Q，BPDQ；P，Q，BP，DQ与 1 B C所成的角均为60； 若 1 | 2 PQ ，则四面体BDPQ的体积为定值则上述三个命题中假命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题二、填空题 13（5 分） 设抛掷一枚骰子得到的点数为m， 则方程 2 10xmx 无实数根的概率为 第 3 页（共 17 页） 14 （ 5分 ） 如 图 ， 某 地 一 天 从614时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 s i n ()(0yAxb A，0，0)，则该函数的表达式为 15 （5 分）已知圆 22 22210xxymym ，当圆
6、的面积最小时，直线1yx被圆截 得的弦长为 16 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ，其前n项和为 n S，且满足 2 1 3(2) nn SSn n ，则 2n a 三、解答题三、解答题 17（10 分） 已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 设( s i n , 1 c o s )mBB， (2,0)n （1）若 2 3 B，求m与n的夹角； （2）若| 1,3mb，求ABC周长的最大值 18 （12 分） 已知数列 n a， n b满足 1nnn aab ，2 n b 为等比数列， 且 1 2a ， 2 4a ， 3 10a （1）求 n b； （2）求 n
7、a 19 （12 分）如图，几何体ABCDFE中，ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形，且 平面/ /ABC平面DFE，四边形BCED为正方形 （1）若平面BCED 平面ABC，求几何体ABCDFE的体积； （2）证明：平面/ /ADE平面BCF 第 4 页（共 17 页） 20 （12 分） 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为( 2,0)， 四条直线xa ，yb 所围成的区域面积为4 3 （1）求C的方程； （2）设过(0,3)D的直线l与C交于不同的两点A，B，若以弦AB为直径的圆恰好经过原 点O，求直线l的方程 21 （12 分）根据有关资料预测，某市下
8、月1 14日的空气质量指数趋势如图所示 ，根据已 知折线图，解答下面的问题： （1）求污染指数的众数及前五天污染指数的平均值； （保留整数） （2）为了更好发挥空气质量监测服务人民的目的，监测部门在发布空气质量指数的同时， 也给出了出行建议， 比如空气污染指数大于 150 时需要戴口罩， 超过 200 时建议减少外出活 动等等如果某人事先没有注意到空气质量预报，而在1 12号这 12 天中随机选定一天，欲 在接下来的两天中（不含选定当天）进行外出活动求其外出活动的两天期间 恰好都遭遇重度及以上污染天气的概率； 至少有一天能避开重度及以上污染天气的概率 附：空气质量等级参考表： AQI (0，5
9、0 (50，100 (100，150 (150，200 (200，250 (250，500 等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 22 （12 分）已知函数( )f x满足：定义为R； 2 ( )2 ()9 x x f xfxe e （1）求( )f x的解析式； （2）若 1 x， 2 1x ，1；均有 2 1122 (2)6 (1) ()xaxxf x成立，求a的取值范围； （3）设 2 ( ),(0) ( ) 21,(0) f xx g x xxx ，试求方程 ( ) 10g g x 的解 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年河北省保定市高三（上）期末数学
10、试卷（文科）学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分）已知 |1Ax yx， 1 |42 xx Bx ，则(AB ) A(0,1) B(0，1 CR D 【解答】解： |1Ax x， |21 |1Bxxxx x， AB 故选：D 2 （5 分）已知i为虚数单位，则复数(23 )ii对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 2 (23 )232332iiiiii ，其对应的点为(3,2)，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）函数2 x yxex的图象在点(0,0)处的切线方程
11、为( ) A21yx B21yx C3yx D3yx 【解答】解：(1)2 x yxe， 因为(0)3kf，(0)0f即(0,0)在曲线上， 故2 x yxex的图象在点(0,0)处的切线方程为3yx 故选：C 4 （5 分）已知ABC外接圆半径为 1，圆心为O，若20OAABAC，则ABC面积的 最大值为( ) A2 B 3 2 C2 D1 【解答】解：20OAABAC，2ABACAO， 第 6 页（共 17 页） O为边BC的中点，且O为ABC的外接圆圆心， BC为圆O的直径， ABAC，BC边上的高为半径AO时，ABC的面积最大且ABC外接圆半径为 1， 2BC，1OA， ABC的面积最
12、大为 1 2 11 2 故选：D 5（5 分） 设点Q为 1 0 22 0 323 xy xy xy ， 所表示的平面区域内的动点， 若在上述区域内满足 22 xy 最小时所对应的点为P，则OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的取值范围为( ) A0, 4 B0, 3 C0, 2 D 3 , 24 【解答】解：作出不等式组所对应的可行域， （如图阴影） ， 过原点作直线20xy的垂线，垂足即为点 1 ( 2 P， 1 ) 2 ； 由图可得：OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的最大值为 4 AOP 或者 4 BOP ； 最小值为 0， OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的取值范围为：0， 4 ；
13、第 7 页（共 17 页） 故选：A 6 （5 分）已知递增等差数列 n a中， 12 2a a ，则 3 a的( ) A最大值为4 B最小值为 4 C最小值为4 D最大值为 4 【解答】解：递增等差数列 n a中， 12 2a a ， 11 ()2a ad ，且0d ， 1 1 2 da a ， 1 0a， 3111 11 44 22 () ()4aadaa aa ， 当且仅当 1 2a 时，等号成立， 3 a有最小值 4 故选：B 7 （5 分）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则 此时欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应
14、不超过( ) A6m B6.5m C7.5m D8m 【解答】解：由题意如图所示，设抛物线的方程为： 2 2xpy ，0p 设直线CD过焦点(0,) 2 p F，由题意可得36CD ，则(18,) 2 p C， 代入抛物线的方程可得： 2 182() 2 p p ，解得18p ，可得(18, 9)C 所以抛物线的方程为： 2 36xy ， 当船宽12m时，设AB为船宽，A为船两端与桥的交点，则(6,)Am， 代入抛物线可得1m ， 所以船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过1( 9)8 ， 故选：D 第 8 页（共 17 页） 8 （5 分）用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，其正视
15、图、侧视图都是如图所示的 图形，则这个几何体的最小体积是( ) A9 B8 C7 D5 【解答】解：由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有 3 个小正方体，底面 3 个正方体 摆在对角线上，上面有 2 个，共 5 个； 故这个几何体的最小体积是 5 故选：D 9 （5 分）函数 1 3 1 ( ) 2x f xx的零点所在的区间是( ) A 1 (0, ) 4 B 1 ( 4 ， 1) 3 C 1 (3， 1 ) 2 D 1 ( 2 ，1) 【解答】解：若 1 3 1 ( )0 2x f xx， 则 1 3 1 2x x ，得 1 ( ) 8 x x ， 令 1 ( )( ) 8 x g x
16、x， 可得 111 ( )0 332 g， 112 ( )0 224 g， 因此( )f x零点所在的区间是 1 (3， 1 ) 2 故选：C 10 （5 分）下列说法不正确的是( ) A “pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件 B若数据 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均数为 1，则 1 2x， 2 2x， 3 2x，2 n x的平均数 第 9 页（共 17 页） 为 2 C在区间0，上随机取一个数x，则事件“ 6 sincos 2 xx”发生的概率为 1 2 D设从总体中抽取的样本为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y若记样本横、纵坐标 的平均
17、数分别为 1 1 n i i xx n ， 1 1 n i i yy n ，则回归直线 y bxa必过点( , )x y 【解答】解：对A，因为“pq为真” “pq为真” ， “ pq为真”不一定“pq 为真” ，所以A正确； 对B，由 12 1 n xxx n ， 12 222 2 n xxx n ；故B正确； 对C，这是几何概型问题其中区域D：长度为的线段长； 区域d：满足 6 sincos2sin() 42 xxx 的x，即 3 sin() 42 x ， 5 1212 x 剟，为长 度为 3 的线段长度； 所以则不等式成立的概率是 1 3 3 ，故C错误； 对D，因为回归直线方程必过样本
18、中心(x，)y，故D正确 故选：C 11 （5 分）若直线ykx与函数( ) x f xe和( )g xlnxa的图象都相切，则(a ) A3 B2 C1 D0 【解答】解：设ykx与 x ye相切的切点( , )x y，( ) x f xe， 则根据题意可得 x x e e x ， 故1x ，即切点(1, ) e，此时斜率ke， 设yex与ylnxa相切于 1 (x， 1) y， 则 1 11 1lnxa e xx ， 故 1 1 x e ，2a 故选：B 12 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P、Q是面对角线 11 AC上两个 不同的动点P，Q，BP
19、DQ；P，Q，BP，DQ与 1 B C所成的角均为60； 若 1 | 2 PQ ，则四面体BDPQ的体积为定值则上述三个命题中假命题的个数为( ) 第 10 页（共 17 页） A0 B1 C2 D3 【解答】解：当P与 1 A重合，Q与 1 C重合时，BPDQ，即正确； 当P与 1 A重合时，BP与 1 B C所成的角为60；当Q与 1 C重合时，DQ与 1 B C所成的角为 60，即正确； 由正方体的性质， 易知 11 AC 面OBD， 因为P、Q两点均在线 11 AC， 所以PQ 平面OBD， 而平面OBD可将四面体BDPQ分成两个均以面OBD为底面，高之和为PQ的棱锥，故若 1 | 2
20、 PQ ，四面体BDPQ的体积一定为定值，即正确； 所以三个命题均为真命题， 故选：A 二、填空题二、填空题 13（5 分） 设抛掷一枚骰子得到的点数为m， 则方程 2 10xmx 无实数根的概率为 1 6 【解答】解：m是甲抛掷一枚骰子得到的点数， 试验发生包含的事件数 6， 方程 2 10xmx 无实根， 2 40m， 解得22m ， m是正整数， 1m， 即满足条件的事件有 1 种结果， 所求的概率是 1 6 ， 故答案为： 1 6 14 （ 5分 ） 如 图 ， 某 地 一 天 从614时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 s i n ()(0yAxb A，0，0)，
21、 则 该 函 数 的 表 达 式 为 第 11 页（共 17 页） 3 10sin()20 84 yx ，6x，14 【解答】 解： 由题意以及函数的图象可知，10A，20b ，2(146)16T ， 所以 2 8T ， 函数经过(10,20)所以2010sin(10)20 8 ，又0，所以 3 4 ， 所以函数的解析式： 3 10sin()20 84 yx ，6x，14 故答案为： 3 10sin()20 84 yx ，6x，14 15 （5 分）已知圆 22 22210xxymym ，当圆的面积最小时，直线1yx被圆截 得的弦长为 2 【解答】解：若圆 22 22210xxymym ， 则
22、圆心(1,)m，半径 222 11 ( 2)( 2 )4(21)4(1)4 22 rmmm ， 当圆的面积最小时，即为半径最小时， 所以当1m 时，1 min r，圆心(1,1)， 圆心到直线1yx的距离为 22 |1 1 1|2 2 1( 1) d ， 直线1yx被圆截得的弦长为： 2222 2 22 1()2 2 rd 故答案为：2 16 （5 分） 已知数列 n a中， 1 1a ， 其前n项和为 n S， 且满足 2 1 3(2) nn SSn n ， 则 2n a 64n 【解答】解：数列 n a中， 1 1a ，其前n项和为 n S，且满足 2 1 3(2) nn SSn n ，
23、所以： 2 1 3(1) nn SSn ， 第 12 页（共 17 页） 两式相减得： 1 63 nn aan ， 所以 21 69 nn aan ， 得： 2 6 nn aa （常数） 当2n 时， 121 12aaa， 所以 2 10a ， 则： 2 106(1)64 n ann 故答案为：64n 三、解答题三、解答题 17（10 分） 已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 设( s i n , 1 c o s )mBB， (2,0)n （1）若 2 3 B，求m与n的夹角； （2）若| 1,3mb，求ABC周长的最大值 【解答】解： （1） 2 3 B时， 3 3 (
24、, ) 22 m ，且(2,0)n ， 31 cos |223 m n m n ， 又0 剟， 3 ； （2）| 1m ， 222 (1 cos )22cos1msin BBB， 1 cos 2 B ，且0B， 3 B ，且3b ， 根据正弦定理， 3 2 sinsin3 2 ac AC ， 2sinaA，2sincC，且 2 3 AC ， 2 3 AC ， ABC的周长为 第 13 页（共 17 页） 233 2sin()sin32(cossin)32 3sin()3 3226 CCCCC ， 2 0 3 C ， 5 666 C ， sin() 6 C 的最大值为 1， ABC周长的最大值为
25、3 3 18 （12 分） 已知数列 n a， n b满足 1nnn aab ，2 n b 为等比数列， 且 1 2a ， 2 4a ， 3 10a （1）求 n b； （2）求 n a 【解答】 解： （1） 数列 n a， n b满足 1nnn aab ，2 n b 为等比数列， 且 1 2a ， 2 4a ， 3 10a 所以： 121 2baa， 232 1046baa， 由于2 n b 为等比数列， 所以： 2 1 2 2 2 b b （常数） ， 所以 1 1 2(2) 2n n bb ， 整理得： 1 22 n n b ， （2）由（1）得： 1 1 22 n nnn aab ，
26、 所以 1 22 n nn aa ， 则： 1 12 22 n nn aa ， ， 2 21 22aa， 所以： 12 1 (222 )(222) nn n aa ， 整理得： 11 2(21) 2(1)222222 2 1 n nn n annn 故： 1 22 n n an 19 （12 分）如图，几何体ABCDFE中，ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形，且 第 14 页（共 17 页） 平面/ /ABC平面DFE，四边形BCED为正方形 （1）若平面BCED 平面ABC，求几何体ABCDFE的体积； （2）证明：平面/ /ADE平面BCF 【解答】 解：（1） 几何体ABCDFE中
27、，ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形， 且平面/ /ABC 平面DFE，四边形BCED为正方形 平面BCED 平面ABC，几何体ABCDFE的体积就是两个全等的四棱锥的体积的和； 所以 18 3 2223 33 V （2）证明：四边形BCED为正方形 所以/ /BCED，BCED， ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形，且平面/ /ABC平面DFE， 可知：/ /ABEF，ABEF， 所以ABFE是平行四边形， 所以/ /AEBF， 因为FB，BC 平面FCB，DE，EA平面ADE， 平面/ /ADE平面BCF 20 （12 分） 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab
28、的一个焦点为( 2,0)， 四条直线xa ，yb 所围成的区域面积为4 3 （1）求C的方程； （2）设过(0,3)D的直线l与C交于不同的两点A，B，若以弦AB为直径的圆恰好经过原 点O，求直线l的方程 【解答】解： （1）由题意可得解： （1）由题意可得2c ，44 3ab ，又 222 abc，解 第 15 页（共 17 页） 得3a ，1b ， 则椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y； （2）若直线l的斜率不存在，可得AB经过原点，不成立； 设直线l的方程为3ykx，联立椭圆方程 22 33xy可得 22 (1 3)18240kxkx， 则 22 (18 )4 24(1 3)0kk
29、，即为 2 380k ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，可得 12 2 18 13 k xx k ， 12 2 24 13 x x k ， 由以弦AB为直径的圆恰好经过原点O，可得OAOB， 即有 1212 0x xy y， 可得 2 1 2121 2121 212 (3)(3)(1)3 ()9x xy yx xkxkxkx xk xx 2 2 222 2418333 (1)3 ()90 131313 kk kk kkk ， 解得 2 11k ，检验满足0， 则直线l的方程为113yx和113yx 又 222 abc，解得3a ，1b ， 则椭圆C的方程为 2 2
30、1 3 x y； （2）若直线l的斜率不存在，可得AB经过原点，不成立； 设直线l的方程为3ykx，联立椭圆方程 22 33xy可得 22 (1 3)18240kxkx， 则 22 (18 )4 24(1 3)0kk ，即为 2 380k ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，可得 12 2 18 13 k xx k ， 12 2 24 13 x x k ， 由以弦AB为直径的圆恰好经过原点O，可得OAOB， 即有 1212 0x xy y， 可得 2 1 2121 2121 212 (3)(3)(1)3 ()9x xy yx xkxkxkx xk xx 2 2 222
31、 2418333 (1)3 ()90 131313 kk kk kkk ， 解得 2 11k ，检验满足0， 则直线l的方程为113yx和113yx 21 （12 分）根据有关资料预测，某市下月1 14日的空气质量指数趋势如图所示 ，根据已 知折线图，解答下面的问题： 第 16 页（共 17 页） （1）求污染指数的众数及前五天污染指数的平均值； （保留整数） （2）为了更好发挥空气质量监测服务人民的目的，监测部门在发布空气质量指数的同时， 也给出了出行建议， 比如空气污染指数大于 150 时需要戴口罩， 超过 200 时建议减少外出活 动等等如果某人事先没有注意到空气质量预报，而在1 12号
32、这 12 天中随机选定一天，欲 在接下来的两天中（不含选定当天）进行外出活动求其外出活动的两天期间 恰好都遭遇重度及以上污染天气的概率； 至少有一天能避开重度及以上污染天气的概率 附：空气质量等级参考表： AQI (0，50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，250 (250，500 等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 【解答】解： （1）由图形知污染指数是 214，275，243，157，80，157，260， 83，157，179，138，216，221，263； 所以这组数据的众数是 157； 计算前五天污染指数的平均值为 1 (214275
33、24315780)193.8194 5 x ； （2）恰好都遭遇重度及以上污染天气是 1 号，11 号和 12 号， 故所求的概率为 31 124 P ； 至少有一天能避开重度及以上污染天气的概率为 13 1 44 P 22 （12 分）已知函数( )f x满足：定义为R； 2 ( )2 ()9 x x f xfxe e （1）求( )f x的解析式； （2）若 1 x， 2 1x ，1；均有 2 1122 (2)6 (1) ()xaxxf x成立，求a的取值范围； （3）设 2 ( ),(0) ( ) 21,(0) f xx g x xxx ，试求方程 ( ) 10g g x 的解 第 17
34、 页（共 17 页） 【解答】解： （1） 2 ( )2 ()9 x x f xfxe e 2 ()2 ( )9 x x fxf xe e ，即 1 ()2 ( )29 x x fxf xe e 由联立，解得( )3 x f xe （2）设 2 ( )(2)6xxax，( )(1)(3)33 xxx F xx eexex， 依题意，知当11x 剟时，( )( ) minmax xF x， ( )()33 xxxx F xeexexe ， 又( )(1)0 x Fxx e 在( 1,1)上恒成立，( )F x 在 1，1上单调递减， ( )minF xF（1）30e，( )F x在 1，1上单调递增， ( )maxF xF（1）0， ( 1)70 (1)3 0 a a ，37a 剟 实数a的取值范围为 3，7 （3）( )g x的图象如图所示： 令( )Tg x，则( )1g T ， 1 2T ， 2 0T ， 3 4Tln， 当( )2g x 时有 1 个解3； 当( )0g x 时有 2 个解(12)、3ln； 当( )4g xln时有 3 个解(34)lnln、12(12)ln ； 方程 ( ) 10g g x 的解分别为3，(12)、3ln，(34)lnln、12(12)ln
