1、 第 1 页(共 17 页) 2019-2020 学年河北省张家口市高三 (上) 期末数学试卷 (文科)学年河北省张家口市高三 (上) 期末数学试卷 (文科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合| 51AxZx 剟,集合 2B ,1,0,1,2,则集合(AB ) A 5,4,0,1 B 2,1,0,1,2 C 2,1,0,1 D 2,1,0 2 (5 分)已知i是虚数单位,z是复数z的共轭复数,
2、复数z满足(12 )34i zi,则复数 z为( ) A 112 55 i B 112 55 i C11 2 55 i D11 2 55 i 3 (5 分)矩形ABCD中,2AB ,4AD ,E为DC的中点,则(AE BC ) A12 B16 C18 D20 4 (5 分)已知函数( )2sin1f xxax的图象在点(0,1)处的切线方程为1yx,则(a ) A0 B1 C1 D2 5 (5 分)已知偶函数 1 2 log1,0 ( ) ( )2,0 xx f x g xx ,则( 4)(g ) A1 B2 C1 D2 6 (5 分) 在下列四个函数, sin|yx|cos2 |yx2sin
3、(2) 3 yx 2tan() 10 yx 中,最小正周期为的所有函数为( ) A B C D 7 (5 分)设m,n是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确 的是( ) A若/ /mn,n,则/ /m B若/ /,m,n,则/ /mn C若,m,n,则mn D若m,/ /mn,/ /n,则 8 (5 分)现有A,B,C,D,E,F六名百米运动员参加比赛,甲、乙、丙、丁四名 同学猜测谁跑了第一名 甲猜不是C就是E; 乙猜不是F; 丙猜不是B,C,D中任一个: 第 2 页(共 17 页) 丁猜是A,B,D中之若四名同学中只有一名同学猜对,则猜对的是( ) A甲 B乙 C丙 D丁
4、9 (5 分)某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%该家庭 2020 年 1 月 1 日投 人 10 万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加人本金,以计算 下期的利息)计算,到 2030 年 1 月 1 日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( ) 参考数据: 8 1.051.48, 9 1.051.55, 10 1.051.63, 7 1.051.71 A14.8 万 B15.5 万 C16.3 万 D17.1 万 10 (5 分) 椭圆 22 22 :1 1 xy C aa 与抛物线 2 4yx在第一象限相交于点P, 1 F, 2 F为椭圆C 的左、右焦点若
5、 2 |2PF ,则椭圆C的离心率是( ) A 1 2 B 3 2 C 3 4 D21 11 (5 分)已知锐角满足3cos21sin2 ,则cos( ) A 2 5 5 B 5 5 C 6 5 D 19 5 12 (5 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ,点(0,2 )Bb,O为原点,以OB为直径的 圆a与圆 2222 :xyab相交于点J,K若| |JKOB,则双曲线C的渐近线方程为( ) A 1 2 yx Byx C2yx D3yx 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分
6、)已知实数x,y满足条件 2 33 | 1 yx yx x ,则23zxy的最小值为 14 (5 分)我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节有六个节气,如夏 季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、 夏、秋、冬四个季节的彩绘,每位同学绘制两个季节,则甲同学绘制春、夏两个季节的概率 为 15 (5 分)ABC中,sin A,sinB,sinC若成等差数列,并且233abc,则ABC的 三个内角中,最大的角的大小为 16 (5 分)四面体ABCD中,2 2BCCDBD,2ABAD,2 3AC ,则四面体 ABCD外接球的表面积为 第 3 页(共
7、17 页) 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (12 分)随着我国人民生活水平的提高,居民家庭教育投资观念不断加强,从整个社会 到单个居民家庭都非常重视教育投人 为了了解单个居民家庭教育投入占家庭收入的百分比, 现对某小区 200 户人家进行了调查,得到的频率分布直方图如图: ()求教育投人占家庭收入的百分比在20%,30%)的户数; ()估计教育投人占家庭收人的百分比的平均数 18 (12 分)已知数列 n a的各项均为正数,且 2* (23)420() nn a
8、nannN,正项等 比数列 n b的前n项和为 n S,且 1 2b , 38 1Sa ()求数列 n a, n b的通项公式; ()若 n T为数列 1 11 nnn a ab 的前n项和,求 n T 19(12 分) 四棱柱ABCDA B C D 的底面是菱形,AA 平面ABCD,2AB ,60BAD, 点P是侧棱 CC 上的点APPB ()证明:A P平面PBD; ()若P是 CC 的中点,求四棱锥PADDA 的体积 20 (12 分)已知动点P到点(1,0)F的距离与它到直线:4l x 的距离d的比值为 1 2 ,设动点 第 4 页(共 17 页) P形成的轨迹为曲线C ()求曲线C的
9、方程; ()过点(1,0)F的直线与曲线C交于A,B两点,过A点作 1 AAl,垂足为 1 A,过B点 作 1 BBl,垂足为 1 B,求 1 1 | | AA BB 的取值范围 21 (12 分)已知函数( )(1)1( x f xxexe是自然对数的底数) 证明: ()( )f x存在唯一的极值点; ()( )0f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为相反数 请考生从第请考生从第 22、23 题中任选题中任选-题作答题作答.如果多做,则按所做的第一题计分如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用作答时,请用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡.上将所选题目的题号涂黑上将所选题目的题号涂黑.
10、22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 ( 1 2 xt t yt 为参数) 以坐 标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 ()在曲线 1 C上任取一点Q,连接OQ,在射线OQ上取一点P,使| 4OPOQ ,求P 点轨迹的极坐标方程; ()在曲线 1 C上任取一点M,在曲线 2 C上任取一点N,求|MN的最小值 23已知函数( ) |2|(0)f xxxtt的最小值为 2 ()求不等式( ) |8f xxt的解集; ()若 232 5 235 2 abct,求23acbc的最大值 第 5 页(共
11、17 页) 2019-2020 学年河北省张家口市高三 (上) 期末数学试卷 (文科)学年河北省张家口市高三 (上) 期末数学试卷 (文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合| 51AxZx 剟,集合 2B ,1,0,1,2,则集合(AB ) A 5,4,0,1 B 2,1,0,1,2 C 2,1,0,1 D 2,1,0 【解答】解:集合| 51 5AxZ
12、x 剟,4,3,2,1,0,1, 集合 2B ,1,0,1,2, 集合 2AB ,1,0,1 故选:C 2 (5 分)已知i是虚数单位,z是复数z的共轭复数,复数z满足(12 )34i zi,则复数 z为( ) A 112 55 i B 112 55 i C11 2 55 i D11 2 55 i 【解答】解:由(12 )34i zi,得 34(34 )(12 )112 12(12 )(12 )55 iii zi iii , 112 55 zi 故选:D 3 (5 分)矩形ABCD中,2AB ,4AD ,E为DC的中点,则(AE BC ) A12 B16 C18 D20 【解答】解:如图, E
13、为DC的中点, AEADDEBCDE,且DEBC,4BCAD, 2 ()16AE BCBCDE BCBC 故选:B 第 6 页(共 17 页) 4 (5 分)已知函数( )2sin1f xxax的图象在点(0,1)处的切线方程为1yx,则(a ) A0 B1 C1 D2 【解答】解:由( )2sin1f xxax,得( )2cosfxxa, 函数( )2sin1f xxax的图象在点(0,1)处的切线方程为1yx, (0)2cos021faa ,解得1a 故选:B 5 (5 分)已知偶函数 1 2 log1,0 ( ) ( )2,0 xx f x g xx ,则( 4)(g ) A1 B2 C
14、1 D2 【解答】解:( )f x是偶函数, 设0x ,0x , ()( )fxf x, 1 2 ()1( )2logxg x , 1 2 ( )()3g xlogx, 1 2 ( 4)431glog 故选:A 6 (5 分) 在下列四个函数, sin|yx|cos2 |yx2sin(2) 3 yx 2tan() 10 yx 中,最小正周期为的所有函数为( ) A B C D 【解答】解:sin|yx的偶函数,不具备周期,不满足条件 |cos2 |yx的周期是 2 ,不满足条件 2sin(2) 3 yx 的周期 2 2 T ,满足条件 第 7 页(共 17 页) 2tan() 10 yx 的周
15、期是T,满足条件, 故选:D 7 (5 分)设m,n是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确 的是( ) A若/ /mn,n,则/ /m B若/ /,m,n,则/ /mn C若,m,n,则mn D若m,/ /mn,/ /n,则 【解答】解:A若/ /mn,n,则/ /m或m,因此不正确; B若/ /,m,n,则/ /mn或为异面直线,因此正确; C若,m,n,则m与n不一定垂直,因此不正确; D若m,/ /mn,/ /n,则,因此正确 故选:D 8 (5 分)现有A,B,C,D,E,F六名百米运动员参加比赛,甲、乙、丙、丁四名 同学猜测谁跑了第一名 甲猜不是C就是E; 乙猜不是
16、F; 丙猜不是B,C,D中任一个: 丁猜是A,B,D中之若四名同学中只有一名同学猜对,则猜对的是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解:若甲的猜测是对的,即第一名在C与E中产生,其他人猜测都是错误,则乙 的猜测是错误的,即得到第一名是F,矛盾,故甲的猜测是错误的; 若乙的猜测是正确的,则第一名在A,B,C,D,E中产生,则丙的猜测是错误的, 即得到第一名是B,C,D中的一个;丁的猜测是错误的,即得到第一名不是A,B,D 中的一个,故第一名一定是C,而甲的猜测也是错误的,即得到的第一名不可能是C,故 矛盾,故乙的猜测是错误的; 若丙的猜测是正确的,即第一名不是B,C,D中任一个,是A,E,F
17、中的一个,因 为甲的猜测是错误的,故第一名不是C,E,则是A,F中的一个,因为乙的猜测是错误 的,即得到第一名是F,故得到第一名一定是F,这时也满足丁的猜测是错误的,故正确 答案是丙; 若丁的猜测是正确的,即第一名是A,B,D中之一,则乙的猜测是错误的,即得到第 一名是F,矛盾 故选:C 第 8 页(共 17 页) 9 (5 分)某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%该家庭 2020 年 1 月 1 日投 人 10 万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加人本金,以计算 下期的利息)计算,到 2030 年 1 月 1 日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )
18、参考数据: 8 1.051.48, 9 1.051.55, 10 1.051.63, 7 1.051.71 A14.8 万 B15.5 万 C16.3 万 D17.1 万 【解答】解:由题意,可知 该家庭 2021 年 1 月 1 日本金加收益和为10 (1 5%)10 1.05; 2022 年 1 月 1 日本金加收益和为 2 10 1.05; 2023 年 1 月 1 日本金加收益和为 3 10 1.05; 2030 年 1 月 1 日本金加收益和为 10 10 1.0510 1.6316.3 到 2030 年 1 月 1 日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 16.3 万元 故选:C
19、 10 (5 分) 椭圆 22 22 :1 1 xy C aa 与抛物线 2 4yx在第一象限相交于点P, 1 F, 2 F为椭圆C 的左、右焦点若 2 |2PF ,则椭圆C的离心率是( ) A 1 2 B 3 2 C 3 4 D21 【解答】解:椭圆 22 22 :1 1 xy C aa 与抛物线 2 4yx在第一象限相交于点P, 1 F, 2 F为椭 圆C的左、右焦点 可得椭圆的右焦点坐标与抛物线的焦点坐标重合, 2(1,0) F, 2 |2PF ,则(1,2)P, 所以 22 14 1 1aa ,解得 2 32 2a ,所以21a ,因为1a 所以21a 所以椭圆的离心率为: 1 21
20、21 c e a 故选:D 11 (5 分)已知锐角满足3cos21sin2 ,则cos( ) A 2 5 5 B 5 5 C 6 5 D 19 5 【解答】解:3cos21sin2 , 第 9 页(共 17 页) 222 3(cossin)(cossin ), 2 3(cossin )(cossin )(cossin ), 为锐角,可得cossin0, 3(cossin )cossin,可得cos2sin,即 1 tan 2 , 2 112 5 cos 1 15 1 4 tan 故选:A 12 (5 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ,点(0,2 )Bb,O为原
21、点,以OB为直径的 圆a与圆 2222 :xyab相交于点J,K若| |JKOB,则双曲线C的渐近线方程为( ) A 1 2 yx Byx C2yx D3yx 【解答】解:由题意,可知 圆a方程为: 222 ()xybb OB为圆a的直径,而| | 2JKOBb JK也是圆a的直径 圆方程为: 2222 xyab 根据两圆的对称性可知JKOB 根据题意画图如下: 则在Rt OAJ中,OAAJb, 22 OJab 根据勾股定理,可得 222 2bab 第 10 页(共 17 页) 故 22 ab即ab 双曲线C的渐近线方程为 b yxx a 故选:B 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满
22、分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)已知实数x,y满足条件 2 33 | 1 yx yx x ,则23zxy的最小值为 0 【解答】解:实数x,y满足条件 2 33 | 1 yx yx x 的可行域,如图所示: 三个顶点坐标为 2 ( 1, ) 3 A 、( 1,1)B , 将 2 ( 1, ) 3 A 、代入23zxy得到最小值为:220 故答案为:0 14 (5 分)我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节有六个节气,如夏 季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、 夏、秋、冬四个季节的彩绘,每
23、位同学绘制两个季节,则甲同学绘制春、夏两个季节的概率 为 1 6 【解答】解:某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个季节的彩绘, 每位同学绘制两个季节, 第 11 页(共 17 页) 基本事件总数 22 42 6nC C, 则甲同学绘制春、夏两个季节的概率 1 6 p 故答案为: 1 6 15 (5 分)ABC中,sin A,sinB,sinC若成等差数列,并且233abc,则ABC的 三个内角中,最大的角的大小为 120 【解答】解:sin A,sinB,sinC成等差数列,2sinsinsinBAC, 2bac,又233abc, 3 7 ac, 5 7 bc,c边最长,角C最大
24、, 222 1 cos 22 abc C ab , 角C为 0 120, 故答案为: 0 120 16 (5 分)四面体ABCD中,2 2BCCDBD,2ABAD,2 3AC ,则四面体 ABCD外接球的表面积为 12 【解答】解:由题意将此四面体放在正方体中,如图所示:设正方体的棱长为a,则由题意 可得2a ,设正方体的外接球的半径为R,则 22 (2 )3 212R , 所以外接球的表面积 2 412SR, 故答案为:12 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (1
25、2 分)随着我国人民生活水平的提高,居民家庭教育投资观念不断加强,从整个社会 到单个居民家庭都非常重视教育投人 为了了解单个居民家庭教育投入占家庭收入的百分比, 现对某小区 200 户人家进行了调查,得到的频率分布直方图如图: 第 12 页(共 17 页) ()求教育投人占家庭收入的百分比在20%,30%)的户数; ()估计教育投人占家庭收人的百分比的平均数 【解答】解:( )201 0.050.40.1 0.05Ia ,解得0.02a , 故教育投入占家庭收人的百分比在20%,30%)的户数有100.0220040(户) ( )15 0.0525 0.235 0.445 0.255 0.16
26、5 0.0537.5II 所以估计教育投入占家庭收人的百分比的平均数为37.5% 18 (12 分)已知数列 n a的各项均为正数,且 2* (23)420() nn anannN,正项等 比数列 n b的前n项和为 n S,且 1 2b , 38 1Sa ()求数列 n a, n b的通项公式; ()若 n T为数列 1 11 nnn a ab 的前n项和,求 n T 【解答】解: ()由 2 (23)420 nn anan,得(21)(2)0 nn ana, 21(2 nn ana 舍去) , 1 2b , 2 38 1 142(1)Saqq , 解得2(3qq 舍去) , 2n n b
27、; () 1 11111111 ( )()( ) (21)(21)22 21212 nn nnn a abnnnn , 1 12 11 ( ) 1111111111111311 22 (1)()()()( )( )( ) (1)( ) 1 2335572121222221212 1 2 n nn n n T nnnn 第 13 页(共 17 页) 19(12 分) 四棱柱ABCDA B C D 的底面是菱形,AA 平面ABCD,2AB ,60BAD, 点P是侧棱 CC 上的点APPB ()证明:A P平面PBD; ()若P是 CC 的中点,求四棱锥PADDA 的体积 【解答】解:( ) I证明
28、:连接AC由AA 平面ABCD,得AABD 又底面ABCD是菱形,所以BDAC 而AC, AA 是平面ACC A 内的相交直线, 所以BD 平面ACC A 又A P平面ACC A ,所以BDAP 又APPB,BDPBB,所以A P平面PBD ()II解:连接A C 当P是 CC 中点时, 设2CCa ,则PCPCa则有 2222 12APACPCa , 2222 4PBPCCBa, 2222 44ABAAABa 又90A PB, 所以 222 APPBAB,即 222 12444,6aaaa 故侧面ADDA 的面积为22 64 6SAD AA 点P到平面ADDA 的距离就是底面菱形的高h,由题
29、意知3h 所以四棱锥PADDA 的体积为: 11 4 634 2 33 VSh 第 14 页(共 17 页) 20 (12 分)已知动点P到点(1,0)F的距离与它到直线:4l x 的距离d的比值为 1 2 ,设动点 P形成的轨迹为曲线C ()求曲线C的方程; ()过点(1,0)F的直线与曲线C交于A,B两点,过A点作 1 AAl,垂足为 1 A,过B点 作 1 BBl,垂足为 1 B,求 1 1 | | AA BB 的取值范围 【解答】解:( ) I设( , )P x y,由题意,得 22 (1)|1 |4|2 xyPF dx , 整理化简得 22 1 43 xy ; ()II当直线的斜率为
30、 0 时, 1 1 1 3 3 AA BB 或, 当直线的斜率不为 0 时,设直线AB的方程为1xny 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y 由 23 1 1 43 xny xy 消去x,化简整理得, 22 (34)690nyny, 2 144(1)0n 1212 22 69 , 3434 n yyy y nn 设BFFA,所以 21 yy,即 21 yy , 所以 121 2 6 (1) 34 n yyy n 2 113 2 9 34 y yy n 由消去 1 y,可得 22 2 (1)4 34 n n , 当0n 时,1 当0n 时, 2 2 (1)41 (0, ) 4 3
31、 3 n , 第 15 页(共 17 页) 所以 2 (1)4 0 3 ,解得 1 3 3 且0, 综上所述: 1 3 3 剟, 所以 1 1 |2|11 ,3 |2|3 AAAF BBBF 21 (12 分)已知函数( )(1)1( x f xxexe是自然对数的底数) 证明: ()( )f x存在唯一的极值点; ()( )0f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为相反数 【解答】证明:( ) ( )I f x的定义域为(,) , 因为( )(1) 11 xxx fxee xxe , 令( )1 x g xxe,则( )(1) x g xxe, 易得,当1x 时,( )0g x,( )g x
32、单调递增,当1x 时,( )0g x,( )g x单调递减, 又x时,( )0g x ,x时,( )0g x 且( 1)0g ,g(1)0,(0)0g 故存在 0 (0,1)x 使得 0 ()0g x, 当 0 0xx时,( )0g x 即( )0fx,当 0 xx时,( )0g x ,即( )0f x , 所以当 0 (,)xx 时,( )0fx,( )f x是减函数;当 0 (xx,)时,( )0fx,( )f x是 增函数 即 0 x是( )f x唯一的极值点,且是极小值点; 12 2 3 () ( 2)3110,(0)20,(2)30II feffe e , 所以( )f x仅有两个零
33、点,分别记作 1 x, 212 (0)xxx 由于( )0f x 所以 1 111 ( )(1)10 x f xxex 即 1 1 1 1 1 x x e x 则 11 11 11111 11 11 . ()(1)1(1)10 11 xx xx efxxexxx xx 即 1 x也是( )f x的零点,即 12 xx, 所以 12 0xx,即( )f x的两根互为相反数 请考生从第请考生从第 22、23 题中任选题中任选-题作答题作答.如果多做,则按所做的第一题计分如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用作答时,请用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡.上将所选题目的题号涂黑上将所选题目的题号
34、涂黑. 第 16 页(共 17 页) 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 ( 1 2 xt t yt 为参数) 以坐 标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 ()在曲线 1 C上任取一点Q,连接OQ,在射线OQ上取一点P,使| 4OPOQ ,求P 点轨迹的极坐标方程; ()在曲线 1 C上任取一点M,在曲线 2 C上任取一点N,求|MN的最小值 【解答】解: 1 ( ) I C化为普通方程为340xy,化为极坐标方程为cos()2 3 设 1 (Q, 0) ,( , )P ,则 0 0 4,
35、,即 0 0 4 , 00 cos()2 3 , 4 cos()2 3 , 2cos()(0) 3 2 ()II C化为直角坐标方程为 2 2 1 4 x y化为参数方程为 2cos ( sin x y 为参数) , |MN的最小值为椭圆 2 C上的点N到直线 1 C,距离的最小值 设(2cos ,sin )N,则 |2cos3sin4|7sin()4|47sin()47 2222 min aa dd , 47 | 2 min MN 23已知函数( ) |2|(0)f xxxtt的最小值为 2 ()求不等式( ) |8f xxt的解集; ()若 232 5 235 2 abct,求23acbc
36、的最大值 【解答】解: ()|2|(2)()| |2|xxtxxtt, ( )|2| min f xt, 又( ) |2|(0)f xxxtt的最小值为 2, |2| 2t ,4(0tt 舍去) 第 17 页(共 17 页) 103 ,2 ( ) | |2| 2|4|6,24 310,4 x x f xxtxxxx xx 剟 当2x 时,令1038x,得 2 3 x, 2 3 x; 当24x剟时,令68x ,得2x 无解; 当4x 时,令310 8x,得6x,6x 综上,不等式的解集为 2 |6 3 x xx 或剠 ()由()知4t , 222 5 23510 2 abct, 2222222 102352()3() 46abcacbcacbc, 235acbc,当且仅当1abc 时等号成立, 23acbc的最大值为 5