1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）若集合 |12Axx，集合 |2 24 x Bx，则(AB ) A(1,2) B1，2) C0，2) D(0,2) 2 （4 分）已知复数 42 ( 12 i zi i 为虚数单位） ，则复数z的模| (z ) A1 B2 C2 D4 3 （4 分）已知等差数列 n a的公差为 2，若 1 a， 3 a， 4 a成等比数列，则 2 (a ) A4 B6 C8 D10 4 （4 分）实数x
2、、y满足约束条件 1 0 0 y yx yx ，则目标函数 1( 0) y zx x 的取值范围是( ) A( 2,2) B(，2)(2，) C(，22，) D 2，2 5 （4 分）若xR，则“ 3 1x ”是“| 1x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分） 已知双曲线 22 1 164 xy 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过 2 F的直线l交双曲线于P、 Q两点，若PQ长为 5，则 1 PQF的周长是( ) A13 B18 C21 D26 7 （4 分）已知离散型随机变量满足二项分布且(3, )Bp，则当p在(0,1
3、)内增大时，( ) A( )D减少 B( )D增大 C( )D先减少后增大 D( )D先增大后减小 8 （4 分）已知函数 2 2,0 ( ) 1 ,0 xxx f x x x ，若函数( ) |( )|g xf xxm 恰有三个零点，则实 第 2 页（共 18 页） 数m的取值范围是( ) A 1 (, 2)(,0 4 B 1 (2,)0, ) 4 C 1 ( 2,0,) 4 D 1 ( ,2)0,) 4 9 （4 分）已知实数a，b，c满足 222 21abc，则2abc的最小值是( ) A 3 4 B 9 8 C1 D 4 3 10 （4 分）在三棱锥SABC中，ABC为正三角形，设二面
4、角SABC，SBCA， SCAB的平面角的大小分别为，( ，) 2 ，则下面结论正确的是( ) A 111 tantantan 的值可能是负数 B 3 2 C D 111 tantantan 的值恒为正数 二、填空题：单空题二、填空题：单空题 4 分，多空题分，多空题 6 分，共分，共 34 分分 11 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积为 3 cm，表面 积为 2 cm 12 （6 分）二项式 6 1 ()x x 的展开式中常数项等于 ，有理项共有 项 13 （6 分）已知直线2()xmymR与椭圆 22 1 95 xy 相交于A，B两点，则|AB的最 第 3
5、 页（共 18 页） 小值为 ；若 30 | 7 AB ，则实数m的值是 14 （6 分）设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C若 222 3bac，则 tan tan C B ，tan A的最大值是 15 （4 分）现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个若将 其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 16 （4 分）对任意1x， e，关于x的不等式 2 ()xlnxaaxalnx aR恒成立，则实数a 的取值范围是 17 （4 分）正方形ABCD的边长为 2，E，M分别为BC，AB的中点，点P是以C为圆 心，CE为半径的圆上的动点， 点
6、N在正方形ABCD的边上运动， 则PM PN的最小值是 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数 1 ( )sinsin()() 34 f xxxxR （1）求() 3 f 的值和( )f x的最小正周期； （2）设锐角ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且 1 () 24 A f，2a ，求 bc的取值范围 19 （15 分）如图，三棱锥DABC中，ADCD，4 2ABBC，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角DACB的大小为150且4 7BD 时，求直线BM与面ABC所成角的正 弦值 20 （15 分）已知 n S是数列
7、n a的前n项和，已知 1 1a 且 1 (2) nn nSnS ， * nN 第 4 页（共 18 页） （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 * 2 4 ( 1)() 41 nn n a bnN n ，数列 n b的前项和为 n P若 1 |1| 2020 n P ，求正整 数n的最小值 21 （15 分）已知点F是抛物线 2 :4C yx的焦点，直线l与抛物线C相切于点 0 (P x， 00 )(0)yy ，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B （1）若 0 1y ，求直线l的方程； （2）求三角形PAB面积S的最小值 22 （15 分）已知函数 2
8、 ( )(log)(1) a f xxxlnx a （1）求证：( )f x在(1,)上单调递增； （2）若关于x的方程|( )| 1f xt在区间(0,)上有三个零点，求实数t的值； （3）若对任意的 1 x， 1 2 xa，a， 12 |()()|1f xf xe恒成立(e为自然对数的底数） ， 求实数a的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）若集合 |12Axx，集合 |2
9、 24 x Bx，则(AB ) A(1,2) B1，2) C0，2) D(0,2) 【解答】解：集合 |12Axx， 集合 |2 24 |12 x Bxxx剟， |121ABxx，2) 故选：B 2 （4 分）已知复数 42 ( 12 i zi i 为虚数单位） ，则复数z的模| (z ) A1 B2 C2 D4 【解答】解： 42 12 i z i ， 22 22 42|42 |422 5 | |2 12|12 |5 1( 2) ii z ii 故选：C 3 （4 分）已知等差数列 n a的公差为 2，若 1 a， 3 a， 4 a成等比数列，则 2 (a ) A4 B6 C8 D10 【解
10、答】解： 41 6aa， 31 4aa， 1 a， 3 a， 4 a成等比数列， 2 314 aa a， 即 2 111 (4)(6)aaa， 解得 1 8a ， 21 26aa 故选：B 4 （4 分）实数x、y满足约束条件 1 0 0 y yx yx ，则目标函数 1( 0) y zx x 的取值范围是( 第 6 页（共 18 页） ) A( 2,2) B(，2)(2，) C(，22，) D 2，2 【解答】解：由实数x、y满足约束条件 1 0 0 y yx yx ，作出可行域如图， 由图形可得( 1,1)A ，(1,1)B， 目标函数 1y z x 的几何意义为可行域内的动点与定点(0,
11、 1)D连线的斜率， 1 1 2 1 DA k ， 1 1 2 1 DB k ， 函数 1y z x 的取值范围是(，22，) 故选：C 5 （4 分）若xR，则“ 3 1x ”是“| 1x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 3 1x ，则1x ，所以| 1x 成立， 反之，| 1x ，1x 或者1x ， 3 x可能大于 1，也可能小于1， 故前者能推出后者，后者推不出前者， 第 7 页（共 18 页） 3 1x ”是“| 1x ”的充分不必要条件， 故选：A 6 （4 分） 已知双曲线 22 1 164 xy 的左、 右焦点分别
12、为 1 F， 2 F， 过 2 F的直线l交双曲线于P、 Q两点，若PQ长为 5，则 1 PQF的周长是( ) A13 B18 C21 D26 【解答】解：双曲线 22 1 164 xy ，可得4a ， 12 | 2PFPFa， 12 | 2QFQFa， 1 PQF的周长 11 | 42| 442526PFQFPQaPQ 故选：D 7 （4 分）已知离散型随机变量满足二项分布且(3, )Bp，则当p在(0,1)内增大时，( ) A( )D减少 B( )D增大 C( )D先减少后增大 D( )D先增大后减小 【解答】解：离散型随机变量满足二项分布且(3, )Bp， 2 19 ( )3 (1)3(
13、) 24 Dppp 则当p在(0,1)内增大时，( )D在(0， 1 2 上增大，在 1 2 ，1)上减小 故选：D 8 （4 分）已知函数 2 2,0 ( ) 1 ,0 xxx f x x x ，若函数( ) |( )|g xf xxm 恰有三个零点，则实 数m的取值范围是( ) A 1 (, 2)(,0 4 B 1 (2,)0, ) 4 C 1 ( 2,0,) 4 D 1 ( ,2)0,) 4 【解答】解：作出函数|( )|yf x的与yxm图象如图： 第 8 页（共 18 页） 当yxm为 1 y x 的切线时，即 2 1 1 x ，解得1x ， 即切点为( 1,1)，代入yxm得2m
14、， 所以2m ； 当yxm为 2 2(0,1)yxx x的切线时， 即221x，解得 1 2 x ， 即切点为 1 ( 2 ， 3) 4 ，代入yxm得 1 4 m ， 所以 1 0 4 m； 故m的取值范围是(， 1 2)( 4 ，0， 故选：A 9 （4 分）已知实数a，b，c满足 222 21abc，则2abc的最小值是( ) A 3 4 B 9 8 C1 D 4 3 【解答】解：若abc取最小值，则ab异号，0c ， 根据题意得： 222 12cab， 又由 22 2|2ababab，即有 2 122cab， 则 22 19 2212() 48 abcccc ， 即2abc的最小值为
15、9 8 ， 故选：B 10 （4 分）在三棱锥SABC中，ABC为正三角形，设二面角SABC，SBCA， SCAB的平面角的大小分别为，( ，) 2 ，则下面结论正确的是( 第 9 页（共 18 页） ) A 111 tantantan 的值可能是负数 B 3 2 C D 111 tantantan 的值恒为正数 【解答】解：记O为点S在平面ABC的射影点，则如图（4） ，O可能落在 7 个区域，根据 正三角形对称性，只需分析落在区域 7，4，5 的情况，分别与图（1） ， （2） ， （3）对应， 图（1） ，若S接近O，则0，故C错，显然此时 111 0 tantantan ； 图（2）
16、，如图， 可得 123 111 tantantan ddd SO ， 设2AB ，则 123 111 3 222 ABC SACdBCdABd ，则 123 0ddd， 故 111 0 tantantan ； 图（3） ，如图， 第 10 页（共 18 页） 可得 123 111 tantantan ddd SO ， 设2AB ，则 123 111 3 222 ABC SACdBCdABd ，则 123 30ddd， 故 111 0 tantantan ； 故选：D 二、填空题：单空题二、填空题：单空题 4 分，多空题分，多空题 6 分，共分，共 34 分分 11 （6 分）某几何体的三视图如
17、图所示（单位：)cm，则该几何体的体积为 56 3 cm，表 面积为 2 cm 【解答】解：由题意可知，几何体是正方体的一部分，正方体的棱长为 4， 几何体的体积为： 3 1 44422456() 2 cm 几何体的表面积为： 2 1 5442222 24768 2() 2 cm 故答案为：56；768 2 第 11 页（共 18 页） 12 （6 分）二项式 6 1 ()x x 的展开式中常数项等于 15 ，有理项共有 项 【解答】解：二项式 6 1 ()x x 的展开式的通项公式为 6 3 6 2 166 1 ()( ) r rrrr r TCxCx x 令 63 0 2 r ，求得2r
18、，可得展开式中常数项为 2 6 15C ， 令0r ，1，2，3，4，5，6；可得 63 3 2 r ， 3 2 ，0， 3 2 ，3， 9 2 ，6； 所以其有理项有 4 项 故答案为：15，4 13 （6 分）已知直线2()xmymR与椭圆 22 1 95 xy 相交于A，B两点，则|AB的最 小值为 10 3 ；若 30 | 7 AB ，则实数m的值是 【解答】解：易知直线2xmy恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆 22 1 95 xy 的右焦点， 则|AB的最小值即为通径长 2 210 3 b a ， 联立 22 2 1 95 xmy xy ，消去x得， 22 (59)20250
19、mymy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1212 22 2025 , 5959 m yyy y mm ， 则 22222222 1212121212 22 2010030 |()()(1)()1()41() 59597 m ABxxyymyymyyy ym mm ， 解得1m 故答案为： 10 , 1 3 14 （6 分） 设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C 若 222 3bac， 则 t a n t a n C B 2 ，tan A的最大值是 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C 222 3
20、bac，可得C 为钝角， 222 3bca ， 则 222 2222 2222222 tansincos4 2 2 tancossin2 2 acb c CCBacba ac abcBCBabca b ab tan2tanCB ， 2 tantantan1 tantan()tan() 1 tantan112 2tan tan BCB ABCBC BCtan B B B tan0B ，可得 1 2tan2 2 tan B B ，当且仅当 2 tan 2 B 时等号成立， 12 tan 1 4 2tan tan A B B ，当且仅当 2 tan 2 B 时等号成立， 可得tan A的最大值是 2
21、 4 ， 故答案为：2， 2 4 15 （4 分）现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个若将 其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 2 5 【解答】解：现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个 若将其随机排成一列，基本事件总数 5 5 120nA， 相同颜色的球都不相邻排列的基本事件个数 32222 34223 48mA AA A A 则相同颜色的球都不相邻的概率是 482 1205 m p n 故答案为： 2 5 16 （4 分）对任意1x， e，关于x的不等式 2 ()xlnxaaxalnx aR恒成立
22、，则实数a 的取值范围是 1 【解答】解：由题意，将原不等式转化为： 2 ()0axlnx axlnx， 即()() 0ax alnx， 第 13 页（共 18 页） 即 0 0 ax alnx ，或 0 0 ax alnx lnx a x剟，或x a lnx剟 1 x e剟，01lnx 剟 解不等式lnx a x剟，得1a ； 解不等式x a lnx剟，得a的解集为 实数a的取值范围是11 故答案为：1 17 （4 分）正方形ABCD的边长为 2，E，M分别为BC，AB的中点，点P是以C为圆 心，CE为半径的圆上的动点，点N在正方形ABCD的边上运动，则PM PN的最小值是 15 【解答】解
23、：如图，圆C的半径为 1， 2 () ()115015PM PNPCCMPCCNPCPC CNPC CMCM CNPC CMPM CN ， 当且仅当点N在点C处，点P在点 0 P处时取到最小值 故答案为：15 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数 1 ( )sinsin()() 34 f xxxxR （1）求() 3 f 的值和( )f x的最小正周期； （2）设锐角ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且 1 () 24 A f，2a ，求 第 14 页（共 18 页） bc的取值范围 【解答】解： （1）函数 1 ( )sinsin
24、()() 34 f xxxxR 所以 3311 ( ) 32242 f 所以 131cos2311 ( )sin ( sincos )sin2sin(2) 2244426 x f xxxxxx ， 所以函数( )f x的最小正周期为； （2）设锐角ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且 1 () 24 A f， 所以 1 sin() 62 A ，解得 3 A 利用正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 解得 4 sin 3 bB， 42 sin() 33 cB ， 所以 42 sinsin()4sin() 363 bcBBB ， 由于 0 2 2 0 32 B CB ，解
25、得 62 B ，所以 2 (,) 633 B ， 所以(2 3,4bc 19 （15 分）如图，三棱锥DABC中，ADCD，4 2ABBC，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角DACB的大小为150且4 7BD 时，求直线BM与面ABC所成角的正 弦值 【解答】解： （1）证明：取AC中点O，连结BO，DO， 第 15 页（共 18 页） ADCD，ABBC，ACBO，ACDO， BODOO，AC平面BOD， 又BD平面BOD，ACBD （2）解：由（1）知BOD是二面角DACB的平面角，150BOD， AC 平面BOD，平面BOD 平面ABC， 在平面BOD内作OzOB，则Oz
26、平面ABC， 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得4OB ，在BOD中由余弦定理得4 3OD ， (0A，4，0)，(4B， 0，0)，(0C， 4，0)，( 6D ， 0，2 3)，( 3M， 2，3)，( 7BM ， 2，3)， 平面ABC的法向量(0n ，0，1)， 设直线BM与面ABC所成角为， 则直线BM与面ABC所成角的正弦值为： |342 sin 28| |56 n BM nBM 20 （15 分）已知 n S是数列 n a的前n项和，已知 1 1a 且 1 (2) nn nSnS ， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）设
27、数列 * 2 4 ( 1)() 41 nn n a bnN n ，数列 n b的前项和为 n P若 1 |1| 2020 n P ，求正整 数n的最小值 【解答】解： （1） ，由 1 (2) nn nSnS ， * nN可得 1 2 n n Sn Sn 第 16 页（共 18 页） 当2n时，有 32 121 3 4 51(1) 1 2 312 n n SSSnn n SSSn 又 11 1aS， (1) 2 n n n S 当2n时， 1nnn aSSn ， 又 1 1a 满足 n an， n an （2）由（1）可得 2 411 ( 1)( 1) () 412121 nnn n a b
28、nnn ， 数列 n b的前项和为 11111111 1( 1) ()1( 1) 33557212121 nn n P nnn 11 |1| 212020 n P n ，解得 2019 2 n 正整数n的最小值为 1010 21 （15 分）已知点F是抛物线 2 :4C yx的焦点，直线l与抛物线C相切于点 0 (P x， 00 )(0)yy ，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B （1）若 0 1y ，求直线l的方程； （2）求三角形PAB面积S的最小值 【解答】解： （1）由 0 1y 得 1 ( ,1) 4 P，设直线l的方程为 1 (1) 4 t yx， 由
29、 2 1 (1) 4 4 t yx yx ，得 2 4410ytyt ， 直线l与抛物线相切， 第 17 页（共 18 页） 2 164(41)0tt，解得 1 2 t ， 故所求直线l的方程为 11 (1) 24 yx，即 1 2 2 yx； （2）设切线l的方程为 22 01 0010 (), (,), (1,) 44 yy t yyxx AyBy， 又A，F，P三点共线，故/ /FAFP，而 22 01 10 (1,),(1,) 44 yy FAyFPy， 化简可得 10 4y y ， 故 2 00 44 (,)A yy ， 由 00 2 () 4 t yyxx yx 得， 2 00 4
30、440ytytyx， 直线l与抛物线相切， 0 24yt，即 0 2 y t ， 故直线PB的方程为 0 00 () 2 y yyxx ，即 3 0 00 220 4 y y xyy， 因此点A到直线PB的距离为 3 0 0 22 00 22 000 4 |2| 4(4) 44|4 y y yy d yyy ， 由 3 0 00 2 220 4 4 y y xyy yx 得 23 00002 0 8 8(8)0,y yyyyyy y ，即 20 0 8 yy y ， 222 33300 000 2 2 00000 00 (4)4114811414 |1|2|()()(2)16 22434 4|
31、4 PAB yy Sd PByyy yyyyy yy ， 当且仅当“ 0 0 4 y y ，即 0 2y ”时取等号，此时三角形PAB的面积S的最小值为 16 22 （15 分）已知函数 2 ( )(log)(1) a f xxxlnx a （1）求证：( )f x在(1,)上单调递增； （2）若关于x的方程|( )| 1f xt在区间(0,)上有三个零点，求实数t的值； （3）若对任意的 1 x， 1 2 xa，a， 12 |()()|1f xf xe恒成立(e为自然对数的底数） ， 求实数a的取值范围 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （1）证明： 11 ( )12 a fxlo
32、g x xxlna ， 1a ，1x ， 11 ( )120 a fxlog x xxlna ， ( )f x在(1,)上单调递增； （2）01x，分别有 1 10 x ， 1 20 a log x xlna ， ( )0fx ， 结合（1）知，( )minf xf（1） ， 1tf （1）1， 2t ； （3）由（2）可知，( )f x在 1 a，1单调递减，在1，a上单调递增， 1 ( ) (), ( ) max f xmax f af a ，且f（a） 11 ()2f aaalna ， 令 1 ( )2g xxxlnx ，则 22 21 ( )1(1)0g xx xx ， g（a）g（1）0， ( )maxg xf（a） ， 任意的 1 x， 1 2 xa，a， 12 |()()|f xf xf（a）f（1）alna， 以下只需1alna e，由( )h xxlnx的单调性解得1a e
