1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1 （4 分）已知集合 |16Axx，xN， 1B ，2，3，那么(AB ) A1，2，3，4 B1，2，3，4，5 C2，3 D2，3，4 2 （4 分）双曲线 22 1 49 yx 的渐近线方程是( ) A 2 3 yx B 3 2 yx C 4 9 yx D 9 4 yx 3 （4 分）已知等差数列 n a的公差为d，前n项和为 n S，则“ 153 2SSS”是“0d ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
2、分也不必要条件 4 （4 分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) A 7 6 B 47 6 C 7 2 D 23 6 5 （4 分）函数 2 (1) ( ) |2|2| lnxx f x xx 的图象大致是( ) A B 第 2 页（共 19 页） C D 6 （4 分）已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 1 3 a b 若 11 () 6 E X ，则()D X的值是( ) A 17 36 B17 18 C 23 9 D 23 18 7 （4 分）已知二项式 3 ()n a x x 展开式中二项式系数之和为 32，常数项为 80，则a的值 为( ) A1 B1 C2 D
3、2 8 （4 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、 右焦点， 在椭圆E上存在点P， 满足 212 | |PFFF且 2 F到直线 1 PF的距离等于b，则椭圆E的离心率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 9 （4 分）已知函数 2 1 ()|,1 ( ) ( 1)1,1 x xax x x f x efx ，若函数( )2yf x恰有两个零点，则实 数a的取值范围为( ) A 31,2) B 311,2) C 311,) D 31,) 10 （4 分）已知平面四边形ABCD中，90AC ，BCCD，ABAD，现将ABD 沿
4、对角线BD翻折得到三棱锥ABCD ，在此过程中，二面角ABCD 、ACDB 的 大小分别为，直线A B与平面BCD所成角为，直线A D与平面BCD所成角为， 则( ) A B C D 二、填空题二、填空题 11 （6 分）若复数 1 ()zai aR， 2 1(zi i 为虚数单位） ，则 2 |z ；若 12 z z为纯虚 第 3 页（共 19 页） 数，则a的值为 12 （6 分）中国古代数学专著九章算术有问题： “五只雀，六只燕，共重一斤（等于 16 两） ，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重” ，则雀重 两，燕重 两 13 （6 分）已知实数x、y满足 1 21 y yx xy m ，
5、且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取 值范围为 ，若目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于 14 （6 分）在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 coscos 2cos aBbA C c ，则C ；又2 3 ABC S，6ab，则c 15 （4 分）已知a，b均为正实数，则 1 (4 )(2)ab ab 的最小值为 16 （4 分）从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中随机取出 5 个数排成一排，依次记为a，b，c， d，e，则使a b cd e为奇数的不同排列方法有 种 17 （4 分）已知| |(2)bck k，0b c ，若存在实数及单位向量a，使得不等
6、式 1 |()|(1)()| 1 2 abbccbc成立，则实数k的最大值为 三、解答题三、解答题 18 （14 分）已知函数( )sin()(0)f xx图象上相邻两个最高点的距离为 （）若( )yf x的图象过 1 (0, ) 2 ，且部分图象如图所示，求函数( )f x的解析式； （）若函数( )yf x是偶函数，将( )yf x的图象向左平移 6 个单位长度，得到( )yg x 的图象，求函数 2 2 ( )( ) 2 x yfg x在0, 2 上的最大值与最小值 19 （15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，2AD ，1AB ， PA平面PCD，且1PCPD
7、，设E，F分别为PB，AC的中点 （）求证：/ /EF平面PAD； 第 4 页（共 19 页） （）求直线DE与平面PAC所成角的正弦值 20 （15 分）已知等差数列 n a满足 21 2aa， 45 9aa， n S为等比数列 n b的前n项和， 1 22 nn SS （1）求 n a， n b的通项公式； （2）设 2 3 , 4 1 , nn n n a b n c n a 为奇数 为偶数 ，证明： 123 13 6 n cccc 21 （15 分）已知抛物线 2 :2(0)E ypx p过点(1,2)Q，F为其焦点，过F且不垂直于x轴 的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足PAB
8、的垂心为原点O （1）求抛物线E的方程； （2）求证：动点P在定直线m上，并求 PAB QAB S S 的最小值 22 （15 分）已知函数( )f xalnxxb，其中a，bR （）求函数( )f x的单调区间； （）使不等式( )f xkxxlnxa对任意1a，2，1x， e恒成立时最大的k记为c， 求当1b，2时，bc的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （4 分）已知集合 |16Axx，xN， 1B ，2，3，那么(AB )
9、 A1，2，3，4 B1，2，3，4，5 C2，3 D2，3，4 【解答】解：因为集合 |16Axx，2xN，3，4，5， 所以2AB ，3 故选：C 2 （4 分）双曲线 22 1 49 yx 的渐近线方程是( ) A 2 3 yx B 3 2 yx C 4 9 yx D 9 4 yx 【解答】解：已知双曲线 22 1 49 yx 令： 22 0 49 yx 即得到渐近线方程为： 2 3 yx 故选：A 3 （4 分）已知等差数列 n a的公差为d，前n项和为 n S，则“ 153 2SSS”是“0d ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解
10、答】解：化简条件：由 153 2SSS，得 111 5102(33 )aadad，即0d ， 所以“ 153 2SSS”是“0d ”的充要条件 故选：C 4 （4 分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) 第 6 页（共 19 页） A 7 6 B 47 6 C 7 2 D 23 6 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 由 已 知 三 视 图 得 到 几 何 体 是 三 棱 柱 挖 去 一 个 三 棱 锥 ， 所 以 几 何 体 的 体 积 为 1112 3 (22 )2(11)1 2326 V 故选：D 5 （4 分）函数 2 (1) ( ) |2|2| l
11、nxx f x xx 的图象大致是( ) A B 第 7 页（共 19 页） C D 【解答】解：由于( )f x是奇函数，故排除A，B； 当x，( )0f x ，排除C 故选：D 6 （4 分）已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 1 3 a b 若 11 () 6 E X ，则()D X的值是( ) A 17 36 B17 18 C 23 9 D 23 18 【解答】解：由 123 1PPP，得 2 3 ab 由 111 ()23 36 E Xab，得 3 23 2 ab， 联立，得 1 2 a ， 1 6 b 所以 222 1111117 ()()( ()149() 326636
12、 D XE XE X 故选：A 7 （4 分）已知二项式 3 ()n a x x 展开式中二项式系数之和为 32，常数项为 80，则a的值 为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为 32，则有232 n ， 可得5n ， 则二项式的展开式为 5 15 3 ()() rrr r a TCx x ， 其常数项为第 4 项，即 3 5 C（a） 3 ， 根据题意，有 3 5 C（a） 3 80， 解可得，2a ； 第 8 页（共 19 页） 故选：C 8 （4 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、 右
13、焦点， 在椭圆E上存在点P， 满足 212 | |PFFF且 2 F到直线 1 PF的距离等于b，则椭圆E的离心率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【解答】解： 1 F， 2 F为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，在椭圆E上存在点P， 满足 212 | |PFFF且 2 F到直线 1 PF的距离等于b， 可得： 22 22 42ccba，所以 222 ()4accb，可得 2 210ee ， 解得 1 2 e 故选：B 9 （4 分）已知函数 2 1 ()|,1 ( ) ( 1)1,1 x xax x x f x efx ，若函数( )2y
14、f x恰有两个零点，则实 数a的取值范围为( ) A 31,2) B 311,2) C 311,) D 31,) 【解答】解：由题意，函数 2 1 ()|,1 ( ) ( 1)1,1 x xax x x f x efx 可转化为 22 2 12 22,0 ( )2, 10 21,1 x xaxax f xaxax eaax 函数( )2yf x恰有两个零点，即分段函数( )yf x的图象与直线2y 有两个交点 当0a 时，分段函数( )f x在R上连续且单调递增， 此时分段函数( )yf x的图象与直线2y 最多只有 1 个交点，不满足题意； 当0a 时， 1 2 1,1 ( )0, 10 2
15、,0 x ex f xx xx ，图象如下： 第 9 页（共 19 页） 此时分段函数( )yf x的图象与直线2y 也只有 1 个交点，不满足题意； 当0a 时，分段函数( )f x在(，1为增函数，在 1, 2 a 上为减函数，在,) 2 a 上为 增函数 x， 2 ( )21f xaa且( )2f x 恰有两个零点， ( 1)2f，或 2 21( ) 2 ( )2 2 a aaf a f ，或 2 2 21( ) 2 ( )221 2 a aaf a faa ， 解得31a ，或12a 故选：B 10 （4 分）已知平面四边形ABCD中，90AC ，BCCD，ABAD，现将ABD 沿对角
16、线BD翻折得到三棱锥ABCD ，在此过程中，二面角ABCD 、ACDB 的 大小分别为，直线A B与平面BCD所成角为，直线A D与平面BCD所成角为， 则( ) A B C D 【解答】解：如图，因为ABAD，所以点A在BD上的投影点H靠近点D，由翻折的性 质，知点 A 在底面的投影点在AH所在的直线上， 第 10 页（共 19 页） 如图设为点O，则A FO，A EO，A BO，A DO，由最大角原理知： ，当且仅当D与E重合时，取到等号； 而tan A O OB ，tan A O OD ， 如图易得，OBOD，所以tantan，即； 又tan A O OF ，tan A O OE ， 由
17、图易得，OFOE，所以； 综上可得：， 故选：B 二、填空题二、填空题 11 （6 分）若复数 1 ()zai aR， 2 1(zi i 为虚数单位） ，则 2 |z 2 ；若 12 z z为纯 虚数，则a的值为 【解答】解：复数的概念与计算 2 |1 12z ； 若 12 z z为纯虚数，则 12 1(1)101z zaaiaa ， 故答案为：2；1 12 （6 分）中国古代数学专著九章算术有问题： “五只雀，六只燕，共重一斤（等于 16 两） ，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重” ，则雀重 32 19 两，燕重 两 【解答】解：设雀重x两，燕重y两，则互换后458xyyx， 解得： 32
18、 19 x ， 24 19 y ， 故答案为： 32 19 ； 24 19 13 （6 分）已知实数x、y满足 1 21 y yx xy m ，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取 值范围为 2m ，若目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于 【解答】解：作出可行域如图，则要为三角形需满足(1,1)B在直线xym下方， 即1 1m ，2m ； 目标函数可视为yxz，则z为斜率为 1 的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点 A时，此时1 min z ， 第 11 页（共 19 页） 直线:1PA yx，与:21AB yx的交点为(2,3)A，该点也在直线:AC xym上， 故235m ，
19、 故答案为：2m ；5 14 （6 分）在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 coscos 2cos aBbA C c ，则C 3 ；又2 3 ABC S，6ab，则c 【解答】解： coscossincossincossin() 1 sinsin aBbAABBAAB cCC ， 2cos1C， 1 cos 2 C ， 0C， 3 C ； 13 sin2 3 24 ABC SabCab ， 8ab， 又6ab（可消元求出边a、)b 22222 1 2cos()2(1cos)62 8(1)12 2 cababCababC， 2 3c 故答案为： 3 ，2 3 15 （4
20、 分）已知a，b均为正实数，则 1 (4 )(2)ab ab 的最小值为 8 2 【解答】解： 141 (4 )(2)282 82 88 2abab abab ， 第 12 页（共 19 页） 当且仅当2a ， 2 4 b 时取等号，此时取得最小值8 2 故答案为：8 2 16 （4 分）从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中随机取出 5 个数排成一排，依次记为a，b，c， d，e，则使a b cd e为奇数的不同排列方法有 180 种 【解答】解： （分类讨论：先选后排） 若a b c为奇数，d e为偶数时，有 32 33 36AA 种； 若a b c为偶数，d e为奇数时，有 23 3
21、4 144AA 种； 故a b cd e为奇数的不同排列方法有共36144180种， 故答案为：180 17 （4 分）已知| |(2)bck k，0b c ，若存在实数及单位向量a，使得不等式 1 |()|(1)()| 1 2 abbccbc成立，则实数k的最大值为 4 5 5 【解答】解：原题等价于 1 |()|(1)()|1 2 min abbccbc 如图， 1 |()|(1)()| 2 abbccbc 1 |(1)|(1)| | 2 abccbcAPEP， (A为单位圆上的点，aOA，bOB，cOC，P为BC上一点，E为OC中点） ， 由将军饮马模型，作E关于BC对称点 E ，则(|
22、)| | 1 min APEPE AOE 22 5 11 2 OCE Ck ， 54 5 1 1 25 kk剟 实数k的最大值为 4 5 5 故答案为： 4 5 5 第 13 页（共 19 页） 三、解答题三、解答题 18 （14 分）已知函数( )sin()(0)f xx图象上相邻两个最高点的距离为 （）若( )yf x的图象过 1 (0, ) 2 ，且部分图象如图所示，求函数( )f x的解析式； （）若函数( )yf x是偶函数，将( )yf x的图象向左平移 6 个单位长度，得到( )yg x 的图象，求函数 2 2 ( )( ) 2 x yfg x在0, 2 上的最大值与最小值 【解
23、答】解：由题意得， 2 T ，所以2，( )sin(2)f xx （）由于 1 (0) 2 f，则 1 sin 2 ，又0， 则 5 6 ，或 6 （舍去） ，故 5 ( )sin(2) 6 f xx （）由于( )sin(2)yf xx是偶函数，则(0)sin1f ， 又0，所以 2 ，( )sin(2)cos2 2 f xxx ， 将( )cos2yf xx的图象向左平移 6 个单位长度，得到( )cos(2) 3 yg xx 的图象， 故 22 1333 2 ( )( )2coscos(2)1cos2cos2sin21cos2sin2 232222 x yfg xxxxxxxx 第 14
24、 页（共 19 页） 31 13(cos2sin2 )13cos(2) 226 xxx 因为0, 2 x ， 7 2 666 x 剟， 所以 5 ( )(0) 2 max f xf， 5 ( )()13 12 min f xf 19 （15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，2AD ，1AB ， PA平面PCD，且1PCPD，设E，F分别为PB，AC的中点 （）求证：/ /EF平面PAD； （）求直线DE与平面PAC所成角的正弦值 【解答】解： （）证明：因为底面ABCD为平行四边形，F是AC中点， 所以F是BD中点， 所以 1 / / 2 EFPD， 因为EF 平面P
25、AD，PD平面PAD，所以/ /EF平面PAD （）解法一： （几何法） 因为DE 平面PBD，平面PBD平面PACPF， 所以直线DE与平面PAC的交点即为DE与PF的交点， 设为G，1PCPDCD，所以PCD为等边三角形，取PC中点O， 则DOPC，因为PA平面PCD，所以平面PAC 平面PCD， 平面PAC平面PCDPC，DOPC，所以DO 平面PAC， 所以DGO是直线DE与平面PAC所成角， 因为E，F分别为PB，AC的中点，所以G是PBD的重心， 在Rt PAD中，3PA，所以2PBAC，在平行四边形ABCD中，6BD ， 在PBD中， 4161 cos 22 14 BPD ， 在
26、PED中， 2 5 1 12 1 1 cos 2 DEEPD ，所以 10 2 DE ， 所以 210 33 DGDE，又因为 3 2 OD ， 第 15 页（共 19 页） 所以 3 sin30 20 OD DGO DG ，即直线DE与平面PAC所成角的正弦值为 3 30 20 解法二： （向量法）取PC中点O，则 1 / / 2 OFPA， 因为PA平面PCD，所以OF 平面PCD， 因为1PCPDCD，所以PCD为等边三角形， 所以ODPC，此时OD，OF，OP两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系， 1 (0,0, ) 2 P， 3 (,0,0) 2 D， 在Rt PAD中，3PA，所以
27、 3 (0,0) 2 F，由 1 2 FEDP，得 33 1 (, ) 424 E ， 所以 33 3 (3, ) 424 DE ，平面PAC的法向量为 3 (,0,0) 2 OD ， 所以 3 cos,30 20| | DE OD DE OD DEOD ， 所以 3 sin|cos,|30 20 DE OD ， 即直线DE与平面PAC所成角的正弦值为 3 30 20 20 （15 分）已知等差数列 n a满足 21 2aa， 45 9aa， n S为等比数列 n b的前n项和， 1 22 nn SS （1）求 n a， n b的通项公式； 第 16 页（共 19 页） （2）设 2 3 ,
28、4 1 , nn n n a b n c n a 为奇数 为偶数 ，证明： 123 13 6 n cccc 【解答】解： （1） （基本量法求等差等比通项）等差数列 n a的公差设为d， 21 2aa， 45 9aa，可得 11 2ada， 1 279ad，解得 1 1ad， 可得 n an； 由 1 22 nn SS 得 1 22 nn SS ，2n， 两式相减整理得 1 2 nn bb ，可得公比 1 2 q ， 由 111 1 2()2 2 bbb，解得 1 1b ， 1 1 2 n n b ； （2）证法1:（应用放缩和错位相减求和证明不等式） 1 2 2 3 31 , , 4 42
29、1 1 , , nn n n n a b n nn c n n a n 为奇数 为奇数 为偶数 为偶数 ， 123nn Ccccc， 1321kk Accc ， 242kk Bccc， 01 31321 () 4 444 k k k A ， 2 13 1321 () 44 444 k k k A ， 两式相减整理得 1 23 11 (1) 3311121321 24 (1)(1) 1 44282444 1 4 k k kkk kk A ， 可得 55110 (2) 33 46 k k Ak， 又因为 2 (2)(21)(21)kkk， 222 1111 11111113 () 24(2 )2
30、1335212126 k B kkk 所以 222 1113 24(2 )6 k B k ， 10313 666 nkk CAB 证法2:（应用放缩和裂项求和证明不等式） 令 1 1 () 4 n n danb ， 1 1 21 4 nn n n dd 化 简 整 理 得 ： 1 841 () 39 4 n n dn ， 11 55110 (2) 33 46 kk k Addk ， 第 17 页（共 19 页） 2222 11111111 122 1231 22 3(1) n T nnnn ， 2222 1111111 224(2 )242 n T nn ， 所以 222 1113 24(2
31、)6 k B k ， 10313 666 nkk CAB 21 （15 分）已知抛物线 2 :2(0)E ypx p过点(1,2)Q，F为其焦点，过F且不垂直于x轴 的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O （1）求抛物线E的方程； （2）求证：动点P在定直线m上，并求 PAB QAB S S 的最小值 【解答】解： （1）(1,2)Q代入 2 2ypx解得1p ， 可得抛物线的方程为 2 4yx； （2）证法1:（巧设直线） 证明：设:1l tyx， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立 2 4yx，可得 2 10 4 y ty ， 则有 12 1
32、2 4 4 yyt y y ，可设 2 11 2 :() x AP yyxx y ，即 2 1 3 44 y yxy ， 同理 1 2 3 : 44 y BP yxy ，解得( 3,3 )Pt， 即动点P在定直线:3m x 上， 2 1 1 2 2 1 | |34|32 2 |2 3 1 |2 |2 | 2 PAB QAB AB d Sdtt Sdtt AB d ， 当且仅当 2 3 3 t 时取等号其中 1 d， 2 d分别为点P和点Q到直线AB的距离 证法2:（利用向量以及同构式） 证明：设:1(0)l xmym， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立 2 4yx，
33、可得 2 440ymy，则有 12 12 4 4 yym y y ， 2 1 001 (,) 4 y PAxyy， 2 2 2 (,) 4 y OBy， 又O为PAB的垂心，从而0PA OB ，代入化简得： 20 202 30 4 x yy y， 同理： 20 101 30 4 x yy y，从而可知， 1 y， 2 y是方程 20 0 30 4 x xy x的两根， 第 18 页（共 19 页） 所以 0 12 0000 00 12 0 4 4 3 3312 4 y yym xymxym xx y y x ，所以动点P在定直线:3m x 上， 2 1 1 2 2 1 | |34|32 2 |
34、2 3 1 |2|2 | 2 PAB QAB AB d Sdmm Sdmm AB d ， 当且仅当 2 3 3 m 时取等号其中 1 d， 2 d分别为点P和点Q到直线AB的距离 22 （15 分）已知函数( )f xalnxxb，其中a，bR （）求函数( )f x的单调区间； （）使不等式( )f xkxxlnxa对任意1a，2，1x， e恒成立时最大的k记为c， 求当1b，2时，bc的取值范围 【解答】解： （）( )1(0) a fxx x ， 当0a时，( )0fx， ( )f x在(0,)上单调递减； 当0a 时，( )fx在(0,)上单调递减， f （a）0， ( )f x在(0
35、, )a上单调递增，在( ,)a 单调递减； （） ( )(1) ( ) f xxlnxaalnxxxlnxb f xkxxlnxak xx 厔 1a，2，1x， e， (1)1alnxxxlnxblnxxxlnxb xx ， 令 2 1 ( )( ) lnxxxlnxblnxxb g xg x xx ， 由（）( )p xlnxxb 在(1,)上递增； （1）当p（1）0，即1b 时1x， e，( ) 0( ) 0p xg x厖， ( )g x在1， e上递增； ( )mincg xg （1）22bbcb （2）当p（e）0，即1be，2时1x， e，( ) 0( ) 0p xg x剟， (
36、 )g x在1， e上递减； 2214 ( )( ),2 min bb cg xg ebcbe eeee 第 19 页（共 19 页） （3）当p（1）p（e）0时，( )p xlnxxb 在上递增； 存在唯一实数 0 (1, )xe，使得 0 ()0p x， 则当 0 (1,)xx时( )0( )0p xg x当 0 (xx，) e时( )0( )0p xg x 0000 00 00 11 ( )() min lnxxx lnxb cg xg xlnx xx 0000 00 11 bclnxxlnxx xx 此时 00 bxlnx 令 11 ( )( )10( ) x h xxlnxh xh x xx 在1， e上递增，(1b， 0 1)(1, )exe， 1 (2,)bce e 综上所述， 4 2,2bc e
