2019-2020学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 | 21Axx ， |0Bx x，则集合(AB ) A( 2,1) B(0,1) C(0,) D( 2,) 2 （4 分）在复平面内，复数(1)i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （4 分）已知命题:pxR ，0lnx

2、 ，那么命题p为( ) AxR ，0lnx BxR ，0lnx CxR ，0lnx DxR ，0lnx 4 （4 分）设a，b，cR，且ab，则( ) Aacbc B 11 ab C 22 ab D 33 ab 5 （4 分）已知函数( )f x的图象与函数2xy 的图象关于x轴对称，则( )(f x ) A2x B2 x C 2 log x D 2 log x 6 （4 分）已知向量(1, 3)a ，( 1,0)b ，( 3c ，)k若2ab与c共线，则实数(k ) A0 B1 C3 D3 7 （4 分）已知双曲线 2 2 1 x y m 的离心率为3，则(m ) A 1 4 B 1 2 C

3、 2 2 D2 8 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 第 2 页（共 17 页） A 8 3 B 4 3 C2 2 D4 9 （4 分）设m，n为非零向量，则“mn，1”是“| |mnmn”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10 （4 分）为配合“2019 双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并 且公司给A，B，C，D四个派送点准备某种商品各 50 个根据平台数据中心统计发现， 需要将发送给A，B，C，D四个派送点的商品数调整为 40，45，54，61，但调整只能在 相邻派送点进行，每次调动可

4、以调整 1 件商品为完成调整，则( ) A最少需要 16 次调动，有 2 种可行方案 B最少需要 15 次调动，有 1 种可行方案 C最少需要 16 次调动，有 1 种可行方案 D最少需要 15 次调动，有 2 种可行方案 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）在 5 (2)x的展开式中， 3 x的系数为 （用数字作答） 12 （5 分）各项均为正数的等比数列 n a中， 1 1a ， 23 6aa，则 6 3 S S 13 （5 分）抛物线 2 2ypx上一点M到焦点(1,0)F的距离等于 4，则p ；点M的坐 标为 14 （5

5、 分）在ABC中，2ab，sin3sinCB，则cosB 15 （5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕， 共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加 某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两 第 3 页（共 17 页） 互不相邻的排法有 种 16 （5 分）已知函数( )sin2cosf xxx ( )f x的最大值为 ； 设当x时，( )f x取得最大值，则cos 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明

6、过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （13 分）已知等差数列 n a满足 13 8aa， 42 4aa （）求数列 n a的通项公式及前n项和 n S； （）记数列 1 n S 的前n项和为 n T，若 99 100 n T ，求n的最小值 18 （13 分）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了 “我运动， 我健康， 我快乐” 的跳绳、 踢毽等系列体育健身活动 为了了解学生的运动状况， 采用分层抽样的方法从高一、 高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试 如 表是高二年级的 5 名学生的测试数据（单位：个/分钟）: 学生编

7、号 1 2 3 4 5 跳绳个数 179 181 168 177 183 踢毽个数 85 78 79 72 80 （）求高一、高二两个年级各有多少人？ ()II设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟当175m，且75n时，称该学生为“运 动达人” 从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率； 从高二年级抽出的上述 5 名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达人” 的人数的分布列和数学期望 19 （14 分）已知函数 2 ( )3sincossin 222 xxx f x ，其中0 （）若函数( )f x的最小正周期为 2，求的值； （）若函数( )f x在

8、区间0， 2 上的最大值为 3 2 ，求的取值范围 20 （14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，CDAD， 22ADCDBC，平面PAD 平面ABCD，PAPD，PAPD （）求证：CDPA； 第 4 页（共 17 页） （）求二面角CPAD的余弦值； （） 在棱PC上是否存在点M， 使得BM 平面PCD？若存在， 求 PM PC 的值？若不存在， 说明理由 21 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，点(0, 2)M在椭圆C上， 焦点为 1 F， 2 F，圆O的直径为 12 F F （）求椭圆C

9、及圆O的标准方程； （）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于A，B两点记 OAB的面积为S，证明：3S 22 （13 分）已知函数 2 ( )3f xxxlnx （）求曲线( )yf x的斜率为 2 的切线方程； （）证明：( ) 22f xx； （）确定实数k的取值范围，使得存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )(1)f xk x 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分

10、，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 | 21Axx ， |0Bx x，则集合(AB ) A( 2,1) B(0,1) C(0,) D( 2,) 【解答】解： | 21Axx ， |0Bx x， ( 2,)AB 故选：D 2 （4 分）在复平面内，复数(1)i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：(1)1i ii ， 复数(1)i i 对应的点的坐标为( 1, 1) ，位于底数象限 故选：C 3 （4 分）已知命题:pxR ，0lnx ，那

11、么命题p为( ) AxR ，0lnx BxR ，0lnx CxR ，0lnx DxR ，0lnx 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 故命题“:pxR ，0lnx ”的否定命题p为：xR ，0lnx 故选：A 4 （4 分）设a，b，cR，且ab，则( ) Aacbc B 11 ab C 22 ab D 33 ab 【解答】解：由ab，则acbc， 11 ab ， 22 ab不一定成立， 利用函数 3 yx在R上单调递增，可得： 33 ab 故选：D 5 （4 分）已知函数( )f x的图象与函数2xy 的图象关于x轴对称，则( )(f x ) A2x B2 x C 2 log x D

12、 2 log x 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：根据题意，设( )2xg x ，点(x，( )f x为函数( )f x上任意一点， 又由函数( )f x的图象与函数( )2xg x 的图象关于x轴对称，则有( )( )2xf xg x， 故选：A 6 （4 分）已知向量(1, 3)a ，( 1,0)b ，( 3c ，)k若2ab与c共线，则实数(k ) A0 B1 C3 D3 【解答】解：因为向量(1, 3)a ，( 1,0)b ，( 3c ，)k 2(3, 3)ab； 2ab与c共线； 3301kk 故选：B 7 （4 分）已知双曲线 2 2 1 x y m 的离心率为3，则(m

13、) A 1 4 B 1 2 C 2 2 D2 【解答】解：双曲线 2 2 1(0) x ym m 的am，1b ，可得1cm， 由离心率为3可得 1 3 cm e am ， 解得 1 2 m ， 故选：B 8 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 第 7 页（共 17 页） A 8 3 B 4 3 C2 2 D4 【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD 其中底面ABCD是矩形，2AB 底面ABCD 侧面PAD，2PDPA，PAPD 取AD的中点O，连接PO，则PO 底面ABCD，2PO ，2 2AD 该几何体的体积 18 22 22 33 V 故选：A 9

14、 （4 分）设m，n为非零向量，则“mn，1”是“| |mnmn”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：m，n为非零向量，则“mn，1” ，则| |1| |mnn，而 |(|1) |mnn，|1| | 1， “| |mnmn” 反之也成立 “mn，1”是“| |mnmn”的充要条件 故选：C 10 （4 分）为配合“2019 双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并 且公司给A，B，C，D四个派送点准备某种商品各 50 个根据平台数据中心统计发现， 需要将发送给A，B，C，D四个派送点的商品数调整为 40，45，5

15、4，61，但调整只能在 相邻派送点进行，每次调动可以调整 1 件商品为完成调整，则( ) 第 8 页（共 17 页） A最少需要 16 次调动，有 2 种可行方案 B最少需要 15 次调动，有 1 种可行方案 C最少需要 16 次调动，有 1 种可行方案 D最少需要 15 次调动，有 2 种可行方案 【解答】解：因为B、D两处互不相邻，所以B处至少调整 5 次，D处至少调整 11 次，故 最少需要调整 16 次 相应的可行方案有 2 种， 方案：A调整 10 给D，B调整 5 给C，然后C再调整 1 给D； 方案：A调整 11 给D，B调整 1 给A，调整 4 台给C， 故选：A 二、填空题共

16、二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）在 5 (2)x的展开式中， 3 x的系数为 40 （用数字作答） 【解答】解： 5 (2)x的展开式中通项公式为 5 15 ( 2) rrr r TC x ， 令53r，解得2r ； 展开式中含 3 x项是第 3 项， 它的系数是 5 22 5 ( 2)40C 故答案为：40 12 （5 分）各项均为正数的等比数列 n a中， 1 1a ， 23 6aa，则 6 3 S S 9 【解答】解：各项均为正数的等比数列 n a中， 1 1a ， 2 23 6aaqq， 第 9 页（共 17 页） 公比2q ，

17、 12 21 12 n n n S 则 6 3 63 9 7 S S ， 故答案为：9 13 （5 分）抛物线 2 2ypx上一点M到焦点(1,0)F的距离等于 4，则p 2 ；点M的坐 标为 【解答】解：抛物线 2 2ypx的焦点坐标为( 2 p ，0)，由题意可得1 2 p ，即2p ； 抛物线 2 4yx的准线方程为1x ， 设( , )M m n，可得14m ，即3m ， 可得 2 12n ，即2 3n ， 故答案为：2，(3, 2 3) 14 （5 分）在ABC中，2ab，sin3sinCB，则cosB 6 3 【解答】解：2ab，sin3sinCB， 由正弦定理可得3cb， 由余弦

18、定理可得 222222 ( 2 )( 3 )6 cos 23223 acbbbb B acbb 故答案为： 6 3 15 （5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕， 共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加 某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两 互不相邻的排法有 144 种 【解答】解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有 3 3 A中方法， 在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从 4 孔位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企 业，共有 3 4 A种

19、方法 由乘法原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有 33 34 144A A种 故答案为：144 第 10 页（共 17 页） 16 （5 分）已知函数( )sin2cosf xxx ( )f x的最大值为 5 ； 设当x时，( )f x取得最大值，则cos 【解答】解： （1）函数( )sin2cosf xxx5sin()x， 当sin()1x时，函数的最大值为5 （2）由于 52 5 ( )5sincos() 55 f xxx， 所以当x时， 2 5 cos 5 故答案为：5， 2 5 5 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明

20、过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （13 分）已知等差数列 n a满足 13 8aa， 42 4aa （）求数列 n a的通项公式及前n项和 n S； （）记数列 1 n S 的前n项和为 n T，若 99 100 n T ，求n的最小值 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为d依题意有 13 42 8 4 aa aa ，即 1 228 24 ad d 解得 1 2 2 a d ， 所以2 n an， 2 n Snn （）因为 2 1111 1 n Snnnn ， 所以 11111111 11 2233411 n T nnn 因为 99 100 n T ，即 199 1

21、 1100n ， 所以99n ， 所以n的最小值为：100 18 （13 分）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了 “我运动， 我健康， 我快乐” 的跳绳、 踢毽等系列体育健身活动 为了了解学生的运动状况， 采用分层抽样的方法从高一、 高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试 如 表是高二年级的 5 名学生的测试数据（单位：个/分钟）: 第 11 页（共 17 页） 学生编号 1 2 3 4 5 跳绳个数 179 181 168 177 183 踢毽个数 85 78 79 72 80 （）求高一、高二两个年级各有多少人？ ()II设某学生

22、跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟当175m，且75n时，称该学生为“运 动达人” 从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率； 从高二年级抽出的上述 5 名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达人” 的人数的分布列和数学期望 【解答】解： （）设高一年级有a人，高二年级有b人 采用分层抽样，有 7 33612 a ， 5 33612 b 解得196a ，140b ， 所以高一年级有 196 人，高二年级有 140 人 ()II从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，5 的学生是“运动达人” 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的

23、概率估计为 3 5 p 的所有可能取值为 1，2，3， 12 32 3 5 3 (1) 10 C C P C ， 21 32 3 5 3 (2) 5 C C P C ， 3 3 3 5 1 (3) 10 C P C 所以的分布列为： 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 故的期望 3319 ( )123 105105 E 19 （14 分）已知函数 2 ( )3sincossin 222 xxx f x ，其中0 第 12 页（共 17 页） （）若函数( )f x的最小正周期为 2，求的值； （）若函数( )f x在区间0， 2 上的最大值为 3 2 ，求的取值范围 【解答】解： （）

24、因为函数 2 ( )3sincossin 222 xxx f x ， 2 3sincossin 222 xxx ， 311 sincos 222 xx 1 sin() 62 x 因为( )f x的最小正周期为 2， 即 2 2T ， 所以 （）因为0 2 x 剟，0， 所以 6626 x 剟， 若( )f x在区间0， 2 上取到最大值 3 2 ，只需 262 ， 所以 4 3 20 （14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，CDAD， 22ADCDBC，平面PAD 平面ABCD，PAPD，PAPD （）求证：CDPA； （）求二面角CPAD的余弦值

25、； （） 在棱PC上是否存在点M， 使得BM 平面PCD？若存在， 求 PM PC 的值？若不存在， 说明理由 【解答】解： （）在四棱锥PABCD中， 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 第 13 页（共 17 页） 又因为CDAD，CD在平面ABCD内， 所以CD 平面PAD， 因为PA在平面PAD内， 所以CDPA； （）取AD中点O，连接OP，OB， 因为PAAD， 所以POAD， 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 因为PO在平面PAD内， 所以PO 平面ABCD， 所以POOA，POOB， 因为CDAD，/ /BCAD，2ADBC，

26、所以/ /BCOD，BCOD， 所以四边形OBCD是平行四边形 所以OBAD， 如图建立空间直角坐标系Oxyz， 则(0O，0，0)，(1A，0，0)，(0B，2，0)，( 1C ，2，0)，( 1D ，0，0)，(0P，0，1)， ( 2,2,0),( 1,0,1)ACAP ， 设平面PAC的法向量为( , , )nx y z，则 220 0 n ACxy n APxz ， 则可取(1,1,1)n ， 因为平面PAD的法向量(0,2,0)OB ， 第 14 页（共 17 页） 所以 3 cos, 3| n OB n OB n OB ， 由图可知，二面角CPAD为锐二面角， 所以二面角CPAD

27、的余弦值为 3 3 ； （）因为APPD，APCD，CDPDD， 所以PA平面PCD， 因为PA在平面PAC内， 所以平面PAC 平面PCD， 因为平面PAC平面PCDPC， 若在棱PC上存在点M，使得BM 平面PCD， 则BM在平面PAC内， 因为B不在平面PAC内， 所以BM不在平面PAC， 所以在棱PC上不存在点M，使得BM 平面PCD 21 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，点(0, 2)M在椭圆C上， 焦点为 1 F， 2 F，圆O的直径为 12 F F （）求椭圆C及圆O的标准方程； （）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且

28、直线l与椭圆C交于A，B两点记 OAB的面积为S，证明：3S 【解答】 解： （） 由题意， 椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 3 2 c e a ， 点( 0 , 2)M 在椭圆C上， 第 15 页（共 17 页） 2b ，又 222 abc， 可解得 2 8 2 2 2 6 a b c 所以椭圆C的方程为 22 1 82 xy 因为焦点在x轴上， 所以椭圆C的焦点为 12 (6,0),( 6,0)FF 所以直径为 12 F F的圆O的方程为 22 6xy （）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P， 设直线l的斜截式方程为(0,0)ykxm km 因为直线l

29、与圆O相切， 所以点O到直线l的距离为 2 | 6 1 m d k 即 22 66mk， 因为直线l与椭圆C相交A，B两点， 由 22 48 ykxm xy ，整理得 222 (1 4)8480kxkmxm ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 2 8 1 4 2 12 2 48 14 0 km xx k m x x k 因为 22222 (8)4 (1 4)(48)16 (82)kmkmkm 又 22 66mk， 所以 2 32(2)0k 所以 2 2k 又因0k ， 所以2k 2 22 12 2 2 |1| 4 2 1 14 k ABkxxk k ， 第

30、16 页（共 17 页） 1 | 2 OAB SAB d 22 22 (1)(2) 4 3 (14) kk k 设 2 14kt，则9t ，则 22 (9)(3)276 4 331 16 OAB tt S ttt 令 1 u t ， 1 0 9 u， 则 2 32761 OAB Suu 设 22 14 ( )276127() 93 h uuuu ， ( )h u在 1 (0, ) 9 上单调递减， 所以( )1h u 所以3 OAB S 22 （13 分）已知函数 2 ( )3f xxxlnx （）求曲线( )yf x的斜率为 2 的切线方程； （）证明：( ) 22f xx； （）确定实数k

31、的取值范围，使得存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )(1)f xk x 【解答】解：() I函数( )f x的定义域为(0,)， 3 ( )12fxx x ， 令 3 ( )122fxx x 可得1x 或 3 2 x （舍)， 又f（1）0， 所以曲线( )yf x的斜率为 2 的切线方程为22yx， ()II 设 2 ( )( )(22)32g xf xxlnxxx， 则 3(23)(1) ( )21 xx g xx xx ， 当01x时，( )0g x，( )g x单调递增， 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递减 第 17 页（共 17 页） 所以( )g x在

32、(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以( )g xg（1）0 所以( ) 2(1)f xx ()III由()II可知， 当2k 时，( ) 2(1)f xx， 所以不存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( ) 2(1)f xx， 所以2k 不符合题意， 当2k 时，对于1x ，( ) 2(1)(1)f xxk x， 所以不存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )2(1)f xx， 所以2k 不符合题意， 当2k 时，设 2 ( )( )(1)(1)3h xf xk xxk xlnxk， 因为 2 2(1)3 ( ) xk x h x x ， 令 2 2(1)3 ( )0 xk x h x x 可得 2 2(1)30xk x ， 因为 2 (1)240k， 解得 2 1 1(1)24 4 kk x ， 2 2 1(1)24 4 kk x ， 又因为2k ， 所以 1 0x ， 2 1x 取 02 xx 当 0 (1,)xx时，( )0h x， 所以( )h x在 0 (1,)x上单调递增 所以( )h xh（1）0， 即( )(1)f xk x 所以2k 符合题意 所以实数k的取值范围是(,2)