1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年广东省梅州市五华县高三 （上） 期末数学试卷 （理学年广东省梅州市五华县高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax xx ， |Bx yx，则AB等于( ) A( 1,3) B0，3) C0，) D( 1,) 2 （5 分）复数z满足12i zi ，则在复平面内z对应的点位于( ) A第一象限 B
2、第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）下列命题中真命题的是( ) A命题：若 2 1x ，则1x 或1x 的逆否命题为：若1x 且1x ，则 2 1x B “ 22 ambm”是“ab”的充要条件 C若pq为假命题，则p，q均为假命题 D对于实数x，y，:8p xy，:2q x 或6y ，则p是q的必要不充分条件 4 （5 分）已知各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足 6 a， 4 3a， 5 a成等 差数列，则 4 2 S S 的值为( ) A3 B9 C10 D13 5 （5 分）已知抛物线 2 1 2 yx的焦点与椭圆 22 1 2 yx m 的一个焦点重
3、合，则m的值为( ) A 7 4 B 127 64 C 9 4 D129 64 6 （5 分）函数 2 3 (1) ( ) ln x f x x 的大致图象是( ) A B 第 2 页（共 21 页） C D 7 （5 分）要得到函数2sin3yx 的图象，只需将函数sin3cos3yxx的图象( ) A向右平移 3 4 个单位长度 B向右平移 2 个单位长度 C向左平移个 4 单位长度 D向左平移个 2 单位长度 8 （5 分） 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下 缀 4 个
4、小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个大灯 球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A 958 1077 B 160 359 C 119 1077 D 289 359 9 （5 分）设 2 log 3a ， 3 log 4b ， 5 log 8c ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 10 （5 分）函数( )f x是奇函数，且在(0,)内是增函数，( 3)0f ，则不等式( )0xf x 的 解集为( ) A( 3，0)(3，) B(，3)(0，3) C(，3)(3，) D( 3，0)(0，3) 11 （5 分）直线l
5、过抛物线 2 4yx的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF 的长分别为m，n，则4mn的最小值是( ) A10 B9 C8 D7 12 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为 32 3 ，则(h ) 第 3 页（共 21 页） A13 B2 3 C2 6 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1, )ak，(9,6)bk若/ /ab，则实数k 14 （5 分）二项式 5 3 1 ()x x 的展开式中常数项为 （用数字作答） 15 （5 分）设 n S是数列 n a
6、的前n项和，且 1 1a ， 1 (1)(1) nn nanS ，则 n S 16 （5 分）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 （填具体数字） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17（12
7、 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且()()3abc abcab （）求角C的值； （）若2c ，且ABC为锐角三角形，求ab的取值范围 18 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城” )活动中，教委对本区A，B，C，D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表： 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城” 活动中参 与的人数 40 10 9 15 （注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值） 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的 第 4 页（共 21 页） （）若该区共 2000
8、 名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数； （）在随机抽查的 100 名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生，求恰有 1 人参与“创城”活动的概率； （）若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取 3 人，求这 3 人参与“创 城”活动人数的分布列及数学期望 19（12 分） 已知四棱锥中PABCD， 底面ABCD为菱形，60ABC，PA平面ABCD， E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为 15 5 ，点F在 PC上移动 （）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF 平面PAD （）求点F恰为PC的中点时，二面角
9、CAFE的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，M是椭圆C的上顶点， 1 F， 2 F是椭圆C的焦点， 12 MF F的周长是 6 （）求椭圆C的标准方程； （）过动点(1, )Pt作直线交椭圆C于A，B两点，且| |PAPB，过P作直线l，使l与直 线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标 21 （12 分）已知函数 2 ( )8()f xxxalnx aR （）当1x 时，( )f x取得极值，求a的值并判断1x 是极大值点还是极小值点； （）当函数( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()xxx，且 1 1x
10、 时，总有 21 11 1 (43) 1 alnx txx x 成 立，求t的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 2sin x y ，(为参数）已 第 5 页（共 21 页） 知点(4,0)Q，点P是曲线 l C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）已知直线: l ykx与曲线 2 C交于A，B两点，若3OAAB，求k的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|21|f
11、 xaxx （1）当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若02a，且对任意xR， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，求a的最小值 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年广东省梅州市五华县高三 （上） 期末数学试卷 （理学年广东省梅州市五华县高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax
12、xx ， |Bx yx，则AB等于( ) A( 1,3) B0，3) C0，) D( 1,) 【解答】解：集合 2 |230 | 13Ax xxxx ， | |0Bx yxx x， |1( 1,)ABx x 故选：D 2 （5 分）复数z满足12i zi ，则在复平面内z对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由12i zi ，得 2 12(12 )() 2 iii zi ii ， 在复平面内z对应的点的坐标为(2, 1)，位于第四象限 故选：D 3 （5 分）下列命题中真命题的是( ) A命题：若 2 1x ，则1x 或1x 的逆否命题为：若1x 且1
13、x ，则 2 1x B “ 22 ambm”是“ab”的充要条件 C若pq为假命题，则p，q均为假命题 D对于实数x，y，:8p xy，:2q x 或6y ，则p是q的必要不充分条件 【解答】解：命题：若 2 1x ，则1x 或1x 的逆否命题为：若1x 且1x ，则 2 1x ， 故A正确； 若“ 22 ambm”当0m 时，可得“ab” ， 若“ab” ，当0m 时“ 22 ambm”不成立，故B错误； 根据真值表可知，p或q有一个是假命题则pq为假命题，故C错误； :8p xy，:2q x 或6y ，利用逆否命题，由2x 且6y ，可得8xy 第 7 页（共 21 页） 而8xy推不出2
14、x 且6y ，故p是q的充分不必要条件，故D错误 故选：A 4 （5 分）已知各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足 6 a， 4 3a， 5 a成等 差数列，则 4 2 S S 的值为( ) A3 B9 C10 D13 【解答】解：设各项均为正数的等比数列 n a的公比为0q ，满足 6 a， 4 3a， 5 a成等差 数列， 465 6aaa， 2 44 6()aa qq， 2 60qq，0q 解得3q 则 4 1 24 2 12 (31) 3 1 3110 (31) 3 1 a S aS 故选：C 5 （5 分）已知抛物线 2 1 2 yx的焦点与椭圆 22 1 2
15、yx m 的一个焦点重合，则m的值为( ) A 7 4 B 127 64 C 9 4 D129 64 【解答】解：抛物线 2 1 2 yx的焦点为 1 (0, ) 2 ， 2 1 2( ) 2 m， 2 19 ( )2 24 m， 故选：C 6 （5 分）函数 2 3 (1) ( ) ln x f x x 的大致图象是( ) A B 第 8 页（共 21 页） C D 【解答】解：()( )fxf x，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B， 当0x 时，( )0f x ，排除D， 当x，( )0f x ，排除C， 故选：A 7 （5 分）要得到函数2sin3yx 的图象，只需将函数sin3
16、cos3yxx的图象( ) A向右平移 3 4 个单位长度 B向右平移 2 个单位长度 C向左平移个 4 单位长度 D向左平移个 2 单位长度 【解答】 解： 因为sin3cos32sin(3) 4 yxxx ， 所以将其图象向左平移 4 个单位长度， 可得2sin3()2sin(3)2sin3 44 yxxx ， 故选：C 8 （5 分） 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下 缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个大灯 球，则
17、至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A 958 1077 B 160 359 C 119 1077 D 289 359 【解答】解：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种， 一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个 大灯下缀 2 个小灯的大灯有x个，则大灯下缀 4 个小灯有360x个， 则24(360)1200xx， 解得120x ，即大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个，则大灯下缀 4 个小灯有 240 个 在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球， 基本事件总数 2 360 64620nC， 第 9 页（共
18、 21 页） 至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯包含的基本事件个数 211 240240120 57480mCCC， 则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 57480958 646201077 m p n 故选：A 9 （5 分）设 2 log 3a ， 3 log 4b ， 5 log 8c ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【解答】解： 327 64 1 log 4log64 27log ， 525 64 1 log 8log64 25log ， 6464 log27log250， 6464 11 2725loglog ，即 35 log 4log 8，即bc
19、， 244 8 1 log 3log 9log 8 4log ， 5 8 1 log 8 5log ， 88 log 5log 40， 88 11 54loglog ，即 544 log 8log 8log 9， 即ca， 综上acb， 故选：B 10 （5 分）函数( )f x是奇函数，且在(0,)内是增函数，( 3)0f ，则不等式( )0xf x 的 解集为( ) A( 3，0)(3，) B(，3)(0，3) C(，3)(3，) D( 3，0)(0，3) 【解答】解：根据题意，函数( )f x为奇函数，则f（3）( 3)0f ， 函数( )f x在(0,)内是增函数，且( 3)0f ，
20、在(0,3)上，( )0f x ，在(3,)上，( )0f x ， 又由( )f x为奇函数，则在( 3,0)上，( )0f x ，在(, 3) 上，( )0f x ， 0 ( )0 ( )0 x xf x f x 或 0 ( )0 x f x ，则有30x 或03x， 即不等式的解集为( 3，0)(0，3)； 故选：D 11 （5 分）直线l过抛物线 2 4yx的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF 的长分别为m，n，则4mn的最小值是( ) 第 10 页（共 21 页） A10 B9 C8 D7 【解答】解：抛物线 2 4yx的焦点(1,0)F，准线方程为1x ， 如图所示，过
21、B点作BDAD，作AMMN，BNMN， 由抛物线的定义可得AMAFm，BNBFn， ADmn，2EFn， 2nn mnmn ，化简得： 11 1 nm ， 11 4(4) 1(4) ()mnmnmn nm 44 5 259 mnm n nmnm ， 当且仅当2nm时等号成立 所以4mn的最小值为 9 故选：B 12 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为 32 3 ，则(h ) A13 B2 3 C2 6 D3 第 11 页（共 21 页） 【解答】 解： 由三视图知几何体为三棱锥， 且三棱锥的一个侧面与底面垂直， 其直观图如图： O为AC的中点， 正视图和俯视图都是
22、等腰直角三角形，FO 底面ABC， 1OBOCOA，几何体的外接球的球心为E是ACD的外心，半径为r，该几何体的 外接球体积为 32 3 ， 外接球的体积 3 432 33 Vr 2r ， 2 3h 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1, )ak，(9,6)bk若/ /ab，则实数k 3 4 【解答】解：由/ /ab，得1 (6)90kk，解得 3 4 k ， 故答案为： 3 4 14 （5 分）二项式 5 3 1 ()x x 的展开式中常数项为 10 （用数字作答） 【解答】解：二项式 5 3
23、 1 ()x x 的展开式的通项公式为 15 5 6 15 ( 1) r rr r TCx ， 令 155 0 6 r ，求得3r ，可得展开式中常数项为 3 5 10C， 故答案为：10 15 （5 分）设 n S是数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 1 (1)(1) nn nanS ，则 n S 1 2n n 【解答】解：由 1 (1)(1) nn nanS ， 得 1 (1)()(1) nnn nSSnS ， 第 12 页（共 21 页） 1 (1)2 nn nSnS ， 则 1 (1) 2 n n nS nS ， n nS是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 则 1 2n
24、 n nS ， 1 2n n S n 故答案为： 1 2n n 16 （5 分）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 150 （填具体数字） 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将五个参会国的人员分成 3 组， 若分为 1、2、2 的三组，有 221 531 2 2 15 C C C A 种分组方法； 若分为 1、1、3 的三组，有 311 521 2 2 10 C C C A 种分组方法； 则一共有151025种分组
25、方法； ，将分好的三组对应三个酒店，有 3 3 6A 种情况， 则有256150种安排方法； 故答案为：150 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17（12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且()()3abc abcab （）求角C的值； （）若2c ，且ABC为锐角三角形，求ab的取值范围 【解答】解： （）ABC中，()()3ab
26、c abcab， 222 abcab， 由余弦定理得， 222 1 cos 22 abc C ab ； 第 13 页（共 21 页） 又(0, )C， 3 C ； （）由2c ， 3 C ，根据正弦定理得， 24 3 sinsinsin3 sin 3 abc ABC ， 4 3 (sinsin) 3 abAB 4 32 sinsin() 33 AA 2 3sin2cosAA 4sin() 6 A ； 又ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 A A ， 解得 62 A ； 2 363 A ， 2 34sin() 4 6 A ， 综上，ab的取值范围是(2 3，4 18 （12 分）在某区“
27、创文明城区” （简称“创城” )活动中，教委对本区A，B，C，D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表： 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城” 活动中参 与的人数 40 10 9 15 （注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值） 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的 （）若该区共 2000 名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数； 第 14 页（共 21 页） （）在随机抽查的 100 名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生，求恰有 1 人参与“创城”活动的概率； （
28、）若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取 3 人，求这 3 人参与“创 城”活动人数的分布列及数学期望 【解答】解： （）该区共 2000 名高中学生， 由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为： 5040 2000800 10050 （）设事件A表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与创城活动” ， 事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动” ， 则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生， 恰有 1 人参与“创城”活动的概率： ()PP ACACP（A）( )( )P CP A P（C） 411913 51051050 （）将表中的参与率视为概
29、率，从A学校高中学生中随机抽取 3 人， 这 3 人参与“创城”活动人数 4 (3, ) 5 XB， 03 3 11 (0)( ) 5125 P XC， 12 3 4112 (1)( )( ) 55125 P XC， 22 3 4148 (2)( ) ( ) 55125 P XC， 33 3 464 (3)( ) 5125 P XC， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 125 12 125 48 125 64 125 4 (3, ) 5 XB， 412 ()3 55 E X 19（12 分） 已知四棱锥中PABCD， 底面ABCD为菱形，60ABC，PA平面ABCD， E、M分别是B
30、C、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为 15 5 ，点F在 PC上移动 第 15 页（共 21 页） （）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF 平面PAD （）求点F恰为PC的中点时，二面角CAFE的余弦值 【解答】证明： （）四棱锥中PABCD，底面ABCD为菱形，60ABC，PA平 面ABCD， E、M分别是BC、PD上的中点， AEPA，AEAD， PAADA，AE平面PAD， 点F在PC上移动，AE平面AEF， 无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF 平面PAD 解： （）直线EM与平面PAD所成角的正弦值为 15 5 ，点F恰为PC的中点时， 以A为原点，
31、AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 设2AB ，APx，则( 3E，0，0)，(0M，1，) 2 x ， ( 3, 1,) 2 x ME ，平面PAD的法向量(1n ，0，0)， 2 |315 |cos,| 5| | 4 4 ME n ME n MEn x ， 解得2xAP， ( 3C，1，0)，(0A，0，0)，(0P，0，2)，( 3E，0，0)， 3 1 (,1) 22 F， ( 3,1,0)AC ，( 3,0,0)AE ， 3 1 (,1) 22 AF ， 设平面ACF的法向量(nx，y，) z， 第 16 页（共 21 页） 则 30 31 0 22 n ACx
32、y n AFxyz ，取1x ，得(1n ，3，0)， 设平面AEF的法向量(mx，y，) z， 则 30 31 0 22 m AEx m AFxyz ，取2y ，得(0m，2，1)， 设二面角CAFE的平面角为， 则 |2 315 cos | |52 5 m n mn 二面角CAFE的余弦值为 15 5 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，M是椭圆C的上顶点， 1 F， 2 F是椭圆C的焦点， 12 MF F的周长是 6 （）求椭圆C的标准方程； （）过动点(1, )Pt作直线交椭圆C于A，B两点，且| |PAPB，过P作直线l，使l
33、与直 线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标 【解答】解： （）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得226ac， 又椭圆离心率为 1 2 ，即 1 2 c a ， 解得2a ，1c 又 222 3bac， 第 17 页（共 21 页） 所以椭圆C的标准方程 22 1 43 xy 证明： （）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为(1)ytk x ， 联立 22 3412 (1) xy ytk x ，得 222 (34)8 ()4()120kxk tk xtk， 由题意，0， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 2 8 () 34 k tk xx k 因
34、为| |PAPB，所以P是AB的中点 即 12 1 2 xx ，得 2 8 () 2 34 k tk k ，430kt 又lAB，且0k ，l的斜率为 1 k ， 直线l的方程为 1 (1)ytx k 把代入可得： 11 () 4 yx k 所以直线l恒过定点 1 ( ,0) 4 当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为1x ， 此时直线l为x轴，也过 1 ( ,0) 4 综上所述直线l恒过点 1 ( ,0) 4 21 （12 分）已知函数 2 ( )8()f xxxalnx aR （）当1x 时，( )f x取得极值，求a的值并判断1x 是极大值点还是极小值点； （）当函数( )f x有两个
35、极值点 1 x， 212 ()xxx，且 1 1x 时，总有 21 11 1 (43) 1 alnx txx x 成 立，求t的取值范围 【解答】解：( )( )28 a I fxx x ，(0)x ，当1x 时，( )f x取得极值， f （1）280a，解得6a ， 此时， 2 ( )86f xxlnx ， 62(1)(3) ( )28 xx fxx xx ， 令( )0fx，解得：3x 或1x ，令( )0fx，解得：13x， 故( )f x在(0,1)递增，在(1,3)递减，在(3,)递增， 第 18 页（共 21 页） 故1x 是极大值点； ()II当函数( )f x在(0,)内有两
36、个极值点 1 x， 212 ()xxx且 1 1x 时， 则 2 ( )280u xxxa在(0,)上有两个不等正根 6480 (0)0 20 a ua x ，08a 12 4xx， 12 2 a x x ， 12 0xx， 21 4xx， 1211 22 (4)ax xxx，可得 1 02x 21 11 1 (43) 1 alnx txx x 成立，即 111 11 1 2 (4) (4)(1) 1 xx lnx txx x ， 即 11 1 1 2 (1) 1 xlnx t x x ，即 11 1 1 2 (1)0 1 xlnx t x x ， 即 2 11 1 11 (1) 20 1 x
37、t x lnx xx ，且 1 01x时， 1 1 0 1 x x 1 12x时， 1 1 0 1 x x 即 2 (1) ( )2(02) t x h xlnxx x 2 2 2 ( ) txxt h x x (02)x， 0t 时， 2 ( )0h x x ( )h x在(0,2)上为增函数，且h（1）0， (1,2)x 时，( )0h x ，不合题意舍去 0t 时，( )0h x同不合题意舍去 0t 时，( ) i0时，解得1t，( ) 0h x， 在(0,2)内函数( )h x为减函数，且h（1）0，可得：01x时，( )0h x 12x时，( )0h x ， 2 (1) 20 1 x
38、t x lnx xx 成立 ( )ii0时，10t ，( )h x分子中的二次函数对称轴 1 1x t ，开口向下， 且函数值2(1)0t，即 1 amin t ，2， 则(1, )xa时，( )0h x，( )h x为增函数，h（1）0，( )0h x ，故舍去 综上可得：t的取值范围是1t 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 19 页（共 21 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 2sin x y ，(为参数）已 知点(4,0)Q，点P是曲线 l C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立
39、极坐标系 （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）已知直线: l ykx与曲线 2 C交于A，B两点，若3OAAB，求k的值 【解答】解： （1）消去得曲线 1 C的普通方程为： 22 4xy， 设( , )M x y则(24,2 )Pxy在曲线 1 C上，所以 22 (24)(2 )4xy，即 22 (2)1xy，即 22 430xyx ， 2 C轨迹的极坐标方程为： 2 4 cos30 （2）当0k 时，如图：取AB的中点M，连CM，CA， 在直角三角形CMA中， 2222 11 ()1 24 CMCAABAB ， 在直角三角形CMO中， 22222 749 4()4 24 CMO
40、COMABAB， 由得 1 2 AB ， 7 4 OM， 15 4 CM ， 15 15 4 7 7 4 CM k OM 当0k 时，同理可得 15 7 k 综上得 15 7 k 第 20 页（共 21 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|21|f xaxx （1）当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若02a，且对任意xR， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，求a的最小值 【解答】解： （1）当1a 时，( ) |1|21|f xxx， 即 3 ,1 1 ( )2,1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x 剟； 解法一：作函数(
41、 ) |1|21|f xxx的图象，它与直线3y 的交点为( 1,3)A ，(1,3)B， 如图所示； 所以，( )3f x 的解集为(，1)(1，)； 解法二：原不等式( )3f x 等价于 1 33 x x 或 1 1 2 23 x x 剟 或 1 2 33 x x ， 解得：1x 或无解或1x ， 所以，( )3f x 的解集为(，1)(1，)； （2）由02a，得 11 2a ，20a ，且20a ； 所以 1 (2) , 11 ( ) |1|21|(2)2, 2 1 (2) , 2 ax x a f xaxxaxx a ax x 剟， 第 21 页（共 21 页） 所以函数( )f x在 1 (,) a 上单调递减，在 1 1 , 2a 上单调递减，在 1 ( ,) 2 上单调递增； 所以当 1 2 x 时，( )f x取得最小值，且 1 ( )( )1 22 min a f xf ； 因为对xR ， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，所以 3 ( )1 22 min a f x a ； 又因为0a ，所以 2 23 0aa ，解得1(3aa厔不合题意） ， 所以a的最小值为 1
