1、1.1.乌龟与兔子想从点乌龟与兔子想从点A到点到点B，走那条路线最短？，走那条路线最短？ . . 根据是根据是 . . 两点之间，线段最短两点之间，线段最短 A B 2.如图，污水处理厂要从如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水处把处理过的水引入排水 沟沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试 画出铺设管道的路线？并说明理由。画出铺设管道的路线？并说明理由。 A Q P B 理由：垂线段最短理由：垂线段最短 问题情境问题情境 3.已知一个三角形玩具的三边长分别为已知一个三角形玩具的三边长分别为6，8，a，则，则a的最的最 值范围是值范围是 .
2、 依据：依据： . 三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边 2a14 问题情境问题情境 在周长为在周长为12的菱形的菱形ABCD中，中，AE=1，AF=2，若，若P为为 对角线对角线BD上一动点，则上一动点，则EP+FP的最小值为（的最小值为（ ） A1 B2 C.3 D4 F P EP+FP= EP+F P = EF C 典型例题典型例题1 A 如图，在直角坐标系中有四个点如图，在直角坐标系中有四个点A(A(- -6 6，3)3)， B(B(- -2 2，5)5)，C(0C(0，m)m)，D (nD (n，0)0)，当四边形，当四边形 ABC
3、DABCD周长最短时，则周长最短时，则m=_ m=_ ，n=_n=_ B C D 典型例题典型例题2 B C D A 3 -3 【解题策略解题策略】利用两利用两 次轴对称，借助两点间线次轴对称，借助两点间线 段最短，从而求出三条线段最短，从而求出三条线 段和的最小值问题段和的最小值问题 在周长为在周长为12的菱形的菱形ABCD中，中，AE=1，AF=2，若，若P为为 对角线对角线BD上一动点，则上一动点，则EP+FP的最小值为（的最小值为（ ） A1 B2 C.3 D4 F P EP+FP= EP+F P = EF 【解题策略解题策略】 1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；画
4、图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型； 2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上 C 典型例题典型例题1 P 点点P P在何处，在何处，PA+PBPA+PB有最小值有最小值 L A B A p 基本模型一基本模型一 A B A P 基本模型一基本模型一 此时，此时，PA+PB = PA +PB = BA 最小值为最小值为BA 的长的长. （一）（一） P 【解题思路、方法解题思路、方法】 1.1.利用轴对称画出取最小值时点利用轴对称画出取最小值时点 的位置，建立相关模型；的位置，建立相关模型； 2.2.把线段之和转化在同一条
5、直线把线段之和转化在同一条直线 上上 3 3抓住题的根源抓住题的根源-两点间线段最短两点间线段最短 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示,点点B的坐标为的坐标为 (3,4)，D是是OA的中点，点的中点，点E在在AB上当上当CDE的周长最小时的周长最小时 ，点，点E的坐标为的坐标为_。 G E (3 3， ） 3 4 【解题策略解题策略】本题的实质是本题的实质是 两点间线段最短两点间线段最短 针对训练针对训练 在锐角在锐角ABCABC中中BC=4 ,ABC=45BC=4 ,ABC=45,BD,BD平分平分 ABCABC，M M、N N分别是分别是BDBD、BC
6、BC上的动点，则上的动点，则 CM+MNCM+MN的最小值是的最小值是_ M A B C D N E P 典型例题典型例题3 【解题策略解题策略】本题的根源两点间线段最短以及本题的根源两点间线段最短以及 垂线段最短垂线段最短 【解题策略解题策略】转化的数学思想在解决数学问题时的灵活应用转化的数学思想在解决数学问题时的灵活应用 B P 2.4 如图，边长为如图，边长为2 2的等边三角形的等边三角形ABCABC中，中，M M是高是高 CHCH所在直线上的一个动点，连接所在直线上的一个动点，连接MBMB，将线，将线 段段BMBM绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转6060得到得到BNBN，连接，连接
7、HNHN则在点则在点M M运动过程中，线段运动过程中，线段HNHN长度的最长度的最 小值是小值是_ D A C M H N B 典型例题典型例题4 2 1 D A C M H N B 【解题思路、方法解题思路、方法】 1.1.综合分析题中已知条综合分析题中已知条 件，归纳发现动态过件，归纳发现动态过 程中的不变元素、不程中的不变元素、不 变关系、内在联系；变关系、内在联系； 2.2.化动为静，根据内在化动为静，根据内在 联系转化相关线段联系转化相关线段. . 3 3 两种方法的两种方法的 实质都实质都 是垂线段最短是垂线段最短 【解题策略解题策略】 1.1.变化中寻找不变性变化中寻找不变性 ；
8、 2.2.化动为静，化归转化化动为静，化归转化. . 典型例题典型例题4 如图如图,已知牧马营地在已知牧马营地在P处处,每天牧马人要赶着马群先到河边每天牧马人要赶着马群先到河边 饮水饮水,再带到草地吃草再带到草地吃草,然后回到营地然后回到营地,请你替牧马人设计出请你替牧马人设计出 最短的放牧路线最短的放牧路线. 典型例题典型例题5 A1 草地 河流 A2 A M N A B 小河 A P 基本模型基本模型 此时，此时，PA+PB = PA +PB = BA 最小值为最小值为BA 的长的长. 此时，此时，MA+MN+NA =MA1+MN+NA2 = A1A2 最小值为最小值为A1A2 的长的长.
9、 （一）（一） （二）（二） P （1）若）若OP=10, AOB=30 ,求求PMN的周长最小值的周长最小值 D E M N 10 典型例题典型例题6 （2）若）若OP=10, AOB=45 ，求，求PMN的周长最小值。的周长最小值。 A O B P M N D E 典型例题典型例题 （3）若）若OP=10, AOB=60 ,求求PMN周长最小值周长最小值 A O B P M N D E F 典型例题典型例题 D E F M N 典型例题典型例题 20 OPDFDE22 P C(1,0)C(1,0) O Q R B(B(- -3,0)3,0) A(0,2)A(0,2) 【解题思路、方解题思路
10、、方法法】 借助对称性，通过共线借助对称性，通过共线 时最短求解时最短求解 【解题策略解题策略】 在变化中找不变，在变化中找不变， 在不变中寻找最小在不变中寻找最小 值值 挑战自己挑战自己 1515年沈阳市中考数学年沈阳市中考数学2525题题 P C(1,0) O T R A(0,2) 【解题思路、方法解题思路、方法】 借助对称性，通过共线时最短求解借助对称性，通过共线时最短求解 【解题策略解题策略】 在变化中找不变，不变中寻找最小值在变化中找不变，不变中寻找最小值 B(B(- -3,0)3,0) E D F G H 32 65 65 = APDHDE22 65 65 32 收获与体会收获与体
11、会 （你认为你在哪些方面掌握的好，哪些类型题还存在不你认为你在哪些方面掌握的好，哪些类型题还存在不 足）足） 如图，正方形如图，正方形ABCD的面积为的面积为12,ABE是等边三角形，点是等边三角形，点E在在 正方形正方形ABCD内，在对角线内，在对角线AC上有一点上有一点P， PD + PE的最小的最小 值值._ 【当堂检测】 P 如图，如图，ABC中，中，BAC=60， B=45 ， AB= ，D是线段是线段BC上的一个动点，以上的一个动点，以AD为为 直径画直径画O分别交分别交AB，AC于于E，F，连接，连接EF，则，则 线段线段EF长度的长度的最小值最小值为为 . 22 典型例题典型例
12、题4 【解题思路、方法解题思路、方法】 1.1.综合分析题中已知条件，归纳发现动态过综合分析题中已知条件，归纳发现动态过 程程 中的不变元素、不变关系、内在联系；中的不变元素、不变关系、内在联系； 2.2.化动为静，根据内在联系转化相关线段化动为静，根据内在联系转化相关线段. . 3 3抓住垂线段最短这一实质抓住垂线段最短这一实质 F EO A B C D 【解题策略解题策略】 1.1.变化中寻找不变性变化中寻找不变性 ； 2.2.化动为静，化归转化化动为静，化归转化. . 当堂检测当堂检测 【模型应用模型应用】 4如图，如图，MN是是O的直径，的直径，MN=2，点，点A在在O上上. ,B为弧
13、为弧AN 的中点，的中点，P是直径是直径MN上上动点，求动点，求PA + PB的最小值的最小值 _。 T R 13 【解题思路、方法解题思路、方法】 1 1 找好定值找好定值 2 OC2 OC的在变化，寻找不的在变化，寻找不 变的值变的值 【解题策略解题策略】 1.1.在在 变化中找不变的变化中找不变的 量量 2.2.借助两个三角形三边借助两个三角形三边 关系求最大值关系求最大值 P C(1,0)C(1,0) O Q R 1616年沈阳市中考数学副卷年沈阳市中考数学副卷2525题题 B(B(- -3,0)3,0) A(0,2)A(0,2) 【解题后的思考解题后的思考】 在平面内找一点在平面内找
14、一点P,使使 PA+PB+PC的值最小，的值最小， 你能确定点你能确定点p的位置吗的位置吗 ？ 【模型应用模型应用】 2如图如图.，点，点P为为AOB内一点，点内一点，点M是边是边OA上的一点，点上的一点，点N 是边是边OB上的一点，找出上的一点，找出PMN的周长最小时的点的周长最小时的点M和点和点N 。 D E M N 如图，点如图，点P在第一象限，在第一象限，ABP是边长为是边长为2的等边的等边 三角形，当点三角形，当点A在在Y轴的正半轴上运动时，点轴的正半轴上运动时，点B随随 之在之在X轴的正半轴上运动，运动过程中，点轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原到原 点的点的最大距离是最大距离
15、是_ 13 典型例题典型例题6 x y 12345612345 1 2 3 4 5 1 2 3 4 O p A B 13 典型例题典型例题 【解题思路、方法解题思路、方法】 1 1 找好定值找好定值 2 2借助三角形三边的关借助三角形三边的关 系确定点的位置；系确定点的位置； 【解题策略解题策略】 1.1.在在 变化中找不变的变化中找不变的 量量 2.2.借助两个三角形三边借助两个三角形三边 关系求最大值关系求最大值 H 1 1 两点之间线段最短；两点之间线段最短； 2 2 垂线段最短；垂线段最短； 3 3 三角形的三边关系：三角形的三边关系：三角形两边之差小于三角形两边之差小于 第第 三三
16、边，两边之和大于第三边边，两边之和大于第三边 4 4掌握处理最值问题的基本知识，明确解决几何图形掌握处理最值问题的基本知识，明确解决几何图形 最值问题的思方考向、思路方法最值问题的思方考向、思路方法,感受体验其解题策略感受体验其解题策略 知识储备知识储备 学习目标学习目标 1.复习回顾解决几何最值问题常用的知识源复习回顾解决几何最值问题常用的知识源: “两点间线段最两点间线段最 短”“垂线段最短”“短”“垂线段最短”“ 三角形的三边关系”三角形的三边关系” 2.借助典型例题的探究借助典型例题的探究,掌握处理最值问题的基本知识源，掌握处理最值问题的基本知识源， 明确解决几何图形最值问题的思方考向
17、、思路方法明确解决几何图形最值问题的思方考向、思路方法,感受感受 体验其解题策略；体验其解题策略； 3.体验变化中寻找不变性的数学思想方法体验变化中寻找不变性的数学思想方法, 能将最值问题化能将最值问题化 归与转化为相应的数学模型进行分析与突破归与转化为相应的数学模型进行分析与突破. 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛提供牛 奶，奶站应该健在什么地方，才能使奶，奶站应该健在什么地方，才能使A,B到它的距离之和到它的距离之和 最短？最短？(北师大教材七年数学下册北师大教材七年数学下册123页页) 教材习题教材习题 在在ABC中中,AC
18、B90 ,以以AB为一边作等为一边作等ABD且点且点D与点与点C 在直线在直线AB同侧，平面内有一点同侧，平面内有一点E与点与点D分别在直线分别在直线AB两侧两侧 ，且，且BE=BC，ABE=DBC连接连接CD、AE，AC=5，BC=3 (1)求证：求证：CD=AE； (2)点点E关于直线关于直线AB的对称的对称 点为点点为点F，判断，判断BFC的形的形 状，并说明理由；状，并说明理由； (3)在在(2)的条件下，当线段的条件下，当线段 CD最短时，求四边形最短时，求四边形AEBF 的面积。的面积。 典型例题典型例题5 (3)在（在（2）的条件下，当线段）的条件下，当线段CD最短最短 时，求四边形时，求四边形AEBF的的面积面积。 【解题思路、方法解题思路、方法】 1.1.借助三角形三边的关借助三角形三边的关 系确定点的位置；系确定点的位置； 2.2.用好（用好（2 2）的条件）的条件 【解题策略解题策略】 1.1.在在 共线中找最短线共线中找最短线 段段； 2.2.借助两个三角形高相借助两个三角形高相 等时，面积的比等等时，面积的比等 于底边的比于底边的比. . 典型例题典型例题5
