1、第二章第二章 导数和微分导数和微分2.1 导数的概念导数的概念2.2 导数的基本公式和四则运算法则导数的基本公式和四则运算法则2.3 复合函数的导数复合函数的导数2.4 隐函数和参数式函数的导数隐函数和参数式函数的导数2.5 高阶导数和导数的物理含义高阶导数和导数的物理含义2.6 微分微分目录 上页 下页 返回 结束 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 2.1.1 两个实例两个实例 2.1.2 导数的定义导数的定义 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 2.1.4 可导和连续的关系可导和连续的关系目录 上页 下页 返回 结束 1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度2.1.1 2
2、.1.1 两个实例两个实例考察质点的自由落体运动，其运动规律为221tgs 自由落体运动目录 上页 下页 返回 结束 9.8000490.000098000490.000019.800490.0009800490.00019.80490.00980490.0019.8490.098490.0110.291.0290.1)(st)(ms)/(smts分别计算 从1s到1.1s、1.01s、1.001s、1.0001s、1.00001s各段时间内的平均速度如下表：t目录 上页 下页 返回 结束 观察得到：当 越来越接近于0时，越来越接近于1s 时的速度.tts目录 上页 下页 返回 结束 一般地，
3、设描述质点运动规律的位移与时间的函数关系为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0ttt0 v)()(00tfttft而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(00tfttftso)(0tf)(tft目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率T割线 的斜率xyo)(xfy lB0 xAxx0tan )()(00 xfxxfxtanktanlim割线 的极限位置 TA曲线)(:xfyl在 点处的切线(当 时)切线 的斜率ABAATAB0limxxk )()(00 xfxxfx目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性:所求量均为函数增量与自变量增量之比的极限.瞬时
4、速度切线斜率0limxxk )()(00 xfxxfx2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义1.函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念目录 上页 下页 返回 结束 lim0ttv)()(00tfttft定义2.1 设函数 在 的某个领域内有定义。对应于自变量在处有改变量 （仍在上述邻域内），函数 相应的有改变量 若存在，则称函数 在 处可导，并把这一极限称为函数 在 处的导数，记作 )(xfy 0 xxxx0)(xfy)()(00 xfxxfyxyx0lim0limxxxxfxxf)()(00)(xfy 0 x)(xfy 0 x目录 上页 下页 返回 结束;0 xxy;)(0 xf
5、;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000目录 上页 下页 返回 结束 对导数的定义以下几点说明：对导数的定义以下几点说明：（1）若 不存在，则称函数 在 处不可导或导数不存在；（2）设 ；（3）xyx0lim)(xfy 0 x000/0)()(lim)(,0 xxxfxfxfxxxxx则在点0 x的某个右右(左左)邻域内)(xfy 若极限设函数有定义,)0(x)0(xxxfxxfxyxx)()(limlim0000目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限值为 在 处的右 导数，)(xf记作)(0 xf(左左),(0 xf存
6、在,即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000)(0 xfxxfxxfx)()(lim000 函数在点0 x)(xfy,)()(00存在与xfxf且)(0 xf.)(0 xf可导的充分必要条件是0 x目录 上页 下页 返回 结束 2.2.导函数的概念导函数的概念若函数在开区间 内每点都可导,内可导，此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf就称函数在),(ba),(bay)(xf xyx0limxxfxxfx)()(lim0注意注意:)(0 xf 0)(xxxf目录 上页 下页 返回 结束 根据导数的定义，求函数导数的步骤如下：第一步：求函数增量 第
7、二步：求比值 第三步：求极限)()(xfxxfyxyxyxfx0/lim)(例例2.1.求函数Cxf)(C 为常数)的导数.解解0)()()1(CCxfxxfy0)2(xy0lim)(3(0/xyCx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2 求函数)N()(nxxfn.的导数解解:nnnnnnxxxCxnxxxxxfxxfy)()()()()1(22211221)()2(nnnnxxxCnxxy10/lim)(3(nxnnxxyx一般地，)()(1/Rxx目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx4743x)(x)(43x目录 上页
8、 下页 返回 结束 例例2.3 求函数xxfsin)(的导数.解解:xxxxxsin)sin(lim0)(xf xxfxxf)()(0limxxxxx2sin)2cos(222sinxx)2cos(xxxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosxyx0lim0limx0limx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.4 求函数xxfln)(的导数.解解:)(xf xxxxxln)ln(lim0即xx1)(ln0limxxxfxxf)()(xyx0limxxxxxxxxx)1ln(lim)ln(lim00 xxxxxxxxxxxx)1ln(1lim)1ln(lim010 xexx
9、xxxxx1ln1)1ln(lim10一般地，axxaln1)(log/目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义)(000 xxxfyy若曲线)(xfy 在点),(00yxA 存在切线，其切线斜率为)(tan0 xfkxyo)(xfy l0 xAxx0T切线方程为：当,)(0 xf切线与 x 轴不垂直.当,)(0 xf切线与 x 轴垂直 0 xx 切线方程为：目录 上页 下页 返回 结束)()(10)()1(0000 xxxfyyxf，则法线方程为若000)()2(xxxf，则法线方程为若过切点 与切线垂直的直线称为在 曲线的法线),(00yxA),(
10、00yxA目录 上页 下页 返回 结束 例例2.5 求曲线 在点 处的切线和法线方程。xysin)21,6(解：解：23|cos|)(sin66/xxxx切线方程为：)6(2321xy法线方程为：)6(3221xy目录 上页 下页 返回 结束 例例2.6 求曲线 上平行于直线 的切线方程。xyln解：解：21ln,2121)(ln/yxxx切线方程为：)21(221lnxyxy2目录 上页 下页 返回 结束 处可导在点xxf)(2.1.4 2.1.4 可导和连续的关系可导和连续的关系结论：结论：处连续在点xxf)(证证:设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在,因此必有,)
11、(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续.即逆否命题：逆否命题：.)()(处不可导在点处不连续在点xxfxxf目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy 在 x=0 处连续,但不可导.xyoxy 由上图可知xy 在 x=0 处连续目录 上页 下页 返回 结束 xfxf)0()0(xx0 x,10 x,1,1)0(f1)0(f所以xy 在 x=0 处不可导.目录 上页 下页 返回 结束 4.可导必连续,但连续不一定可导;2.导数的定义：1.导数的实质:函数增量与自变量增量比值的极限;3.导数的几何意
12、义:切线的斜率;y)(xf xyx0limxxfxxfx)()(lim0内容小结目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P41习题2.1（B）1，2,5,6目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 导数的基本公式和四则运算法则导数的基本公式和四则运算法则 2.2.1 导数的基本公式导数的基本公式 2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则目录 上页 下页 返回 结束 2.2.1 2.2.1 导数的基本公式导数的基本公式xxxxxxxxxxxxxxxxaxxeeaaaxxCaxxxxcotcsc)(csc12(tansec)(sec11(csc)(cot10(sec)(tan9(sin
13、)(cos8(cos)(sin7(1)(ln6(ln1)(log5()(4(ln)(3()2(0)(1(/2/2/1/）（目录 上页 下页 返回 结束 2/2/2/2/11)cot)(16(11)(arctan15(11)(arccos14(11)(arcsin13(xxarcxxxxxx目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则vuvu)()1(具有导数都在及函数xxvvxuu)()(，则vuvuvu)()2()0()()3(2vvvuvuvu/)(CuuC特别地，(C为常数)目录 上页 下页 返回 结束/2/1/21)(nnuuuuuu/21
14、/212/1/21)(nnnnuuuuuuuuuuuu注：（1）、（2）可推广到任意有限项的情形.目录 上页 下页 返回 结束 证证:vuvu)()1(xxvxuxxvxxux)()()()(lim0设,则)()()(xvxuxf)()(xvxu)(xf xxfxxfx)()(lim0 xxvxxvxxuxxuxxvxxvxuxxuxxx)()(lim)()(lim)()()()(lim000目录 上页 下页 返回 结束(2)vuvuvu)(设,)()()(xvxuxf则有)(xf xxfxxfx)()(lim0 xxvxuxxvxxux)()()()(lim0)()()()()()()(li
15、m)()()(lim)()()()()()()()(lim/000 xvxuxvxuxuxxvxxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.7 解解:xsin41(21)1sin,)1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23(xx)1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.8 求证,sec)(tan2xx.tansec)(secxxxxxxcossin)(tan证证:x2cos
16、x2cosx2sinx2secxx cos)(sin)(cossinxxx2cos)(secxxcos1x2cosxx2cossinxxtansec)(cosx目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:,csc)(cot2xx.cotcsc)(cscxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.9 xxxxxy2log2tantan1y求解解:232log2cot1xxxy212/232ln2cscxxxy目录 上页 下页 返回 结束 例例2.10 xxysin1arctany求解解:222222/)sin1)(1(cosarctan)1()sin1()sin1(cosarctan)sin1(11
17、 )sin1()sin1(arctan)sin1()(arctanxxxxxxxxxxxxxxxxy目录 上页 下页 返回 结束 例例2.11 求曲线 上垂直于直线 xxy230 yx的切线方程.解解:由题意，11232/xxy1x当 时，切线方程为1x1y11xy当 时，切线方程为1x1y11xy目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.求导基本公式及求导的四则运算法则2.,)(vuuvvuvu目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P45 习题2.2（B）1，3目录 上页 下页 返回 结束 2.3 2.3 复合函数的导数复合函数的导数复合函数的求导法则复合函数的求导法则法则2.1在
18、点 x有导数 ,)(xu)(ufy 在点复合函数 )(xfy且xuuyxydddddd在点 x 可导,)(/xux)(xu有导数 ，则)(/ufyu/xuxuyy或或)()(/xufyx目录 上页 下页 返回 结束 简证简证:xuuyxy在点 处可导,)(xux在点 处连续,)(xux.0,0ux时当xuuyxuuyxxx000limlimlimxyxyx0limdddxdududyxuuyxu00limlim目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd复合函数求导步骤：（1）.分解符合函数；（2）运用求导法则；
19、（3）回代推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例2.12 求下列函数的导数2)53(2)2sin)1(xyxy解解:2cos2:2cos 2,sin)1(/xyuuyyxuuyxux回代法则：分解：)53(6:32 53,)2(/2xyuuyyxuuyxux回代法则：分解：目录 上页 下页 返回 结束 熟练之后，可以省去分解过程，如下：xxxxy2cos2)2(2cos)2(sin)1(/对中间变量 求导 x2分解法则 再中间变量 对最终变量 求导 x2x同理)53(6 )53)(53(2)53(2)/2/xxxxy中间变量目录 上页 下页 返回 结束
20、例例2.13 求下列函数的导数)1ln()4(51arctan)3()32(sin)2()1(22)1(2xxyxyxyeyx解解:)1(/2)1(/)1(/2222 )1()1(xxxxexeey中间变量目录 上页 下页 返回 结束)324sin(2 )32cos()32sin(4 )32)(32cos()32sin(2 )32)(sin(32sin(2)32(sin()2(/2/xxxxxxxxxy第一中间变量第二中间变量目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxxxxxxy51)52(125 5)51(21521 )51()51(21521 )51()51(11)51(arctan)3(2
21、1/21/第一中间变量第二中间变量目录 上页 下页 返回 结束 22122/22122/22/22/2/11 2)1(211 11 )1()1(211 11 )1(1 11 )1(11)1ln()4(xxxxxxxxxxxxxxxxxxy目录 上页 下页 返回 结束 例例2.13.)(ln )(/yxfyxf，求是可导的非零函数，设解解:。综上，则若则若)()(;)()()()(),(ln,0)(;)()(),(ln,0)(/xfxfyxfxfxfxfyxfyxfxfxfyxfyxf特别地，.cotsincos)sin(ln,sin)(;1)(ln,)(/xxxxxfxxxxf目录 上页 下页
22、 返回 结束 例例2.14.)(cos)(sin)(,)(/22yxgxfyuguf，求是可导函数，设解解:xxgxfxxxgxxxfxxxgxxxfxxgxxfxgxfxgxfy2sin)(cos)(sin )sin(cos2)(coscossin2)(sin )(coscos2)(cos)(sinsin2)(sin )(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin )(cos)(sin 2/2/2/2/2/2/22/22/2/2/22/记号说明：dudfufxfxu2sin/2/|)()(sindxdfxf/2)(sin目录 上页 下页 返回 结束 例例2.15.求解解:,111
23、1xxxxy21222xxy12xx1 y1212x)2(x112xx/y注：必要时可先对函数进行变形，使其形式便于求导目录 上页 下页 返回 结束 例例2.16求下列函数的导数xxxyayxy)3(2)1(1ln/ln/ln/lnln )ln()()1(xxxxexeeyeexyxxxxx解解:目录 上页 下页 返回 结束)1(ln)1(ln )ln()()3(ln/ln/ln/lnlnxxxexxeeyeexyxxxxxxxxxxxxaaaeaxeeyeeayxaxaxaxaxaxxlnln )ln()()2(ln/ln/ln/lnln目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合
24、函数求导法则(链式法则)()(,)(xfyxuufyxydd)()(xufuyddxudd2.复合函数求导步骤：（1）分解（2）法则（3）回代省略xuyf函数结构图：目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P49 习题2.3（B）1（奇数项），3目录 上页 下页 返回 结束 2.4 2.4 隐函数和参数式函数的导数隐函数和参数式函数的导数 2.4.1 隐函数的导数隐函数的导数 2.4.2 参数式函数的导数参数式函数的导数目录 上页 下页 返回 结束 2.4.12.4.1 隐函数的导数隐函数的导数y显函数显函数：直接表示 成 的解析式.x如如,)1ln(,sinxeyxy隐函数：隐函数：由方程0
25、),(yxF可确定 y 关于 x 的函数，但不可显化.如如,122 yx21xy再如再如,03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,可确定 y 是 x 的函数,并可显化为目录 上页 下页 返回 结束 隐函数求导方法隐函数求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx方程两边对 x 求导(含导数 的方程)y注意：注意：方程两边对 x 求导时，把 看作 的函数，的函数看作是以 为中间变量的 的复合函数.yyyxx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.17 求由方程422 yx所确定的隐函数的导数.解解:方程两边对 x 求导,022yyx,yxy解出得目录 上页 下页 返回 结束 例例2.18 求
26、由方程),0,20(,0sin32xyyyx所确定的隐函数的导数。解解:方程两边对 x 求导,0cos322yyyyx.cos322yyxy解得 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.19 求由椭圆方程191622yx在点)323,2(处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920yyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x2323xy目录 上页 下页 返回 结束 对数求导法对数求导法:)1,0(aaayxaayxln例例2.20 设函数，证明xay yxalog证明证明 函数是由方程所确定的隐函数。x,ln11yayayyln两边对求导，得所以 即得：.ln)(a
27、aaxx目录 上页 下页 返回 结束)1(,arcsinxxy.112xy例例2.21 设函数，证明，,11sin1122xyy证明证明 函数 xyarcsinyxsin是由方程所确定的隐函数。)2,2(yxyycos)2,2(y两边对求导，得1=因为所以yycos10cosy故，目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22 求xxy 的导数.解解:两边取对数,得xxylnln两边对 x 求导yy11lnx)1ln(xxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.23 求xxy)(sin的导数.解解:两边取对数,得xxysinlnlnyy1xxxxsincossinln)cotsinln()(si
28、nxxxxyx两边对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 1)对幂指函数 ，其中vuy 可用对数求导法求导:说明说明:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv)(),(xvvxuu目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数(多项式子的积或商)用对数求导法求导很方便.例例2.2421)13(35xxxyy 设函数，求),2ln(21)1ln(21)13ln(35lnxxxy,21211121133351xxxyy解解:两边取对数,得两边对 x 求导所以 )2(21)1(2113521)13(35xxxxxxy目录 上页 下页 返回 结束 2.4.2 2.4.2 参数式函数
29、的导数参数式函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数 关系 ,)(xfy 称)(xfy 是由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.)(,tt）（0)(t当都存在，且时)()(tytxxyddxttyddddtxtydddd)()(tt/ttxy目录 上页 下页 返回 结束)()(ttyxddyttxddddtytxdd1dd(此时看成 x 是 y 的函数)(,tt）（0)(/t当都存在，且时/ttyx目录 上页 下页 返回 结束 taytaxsincos)0(t)(xfy yttataxyyttcotsincos)0(t例例 2.25 求由方程 所确定的函数的导数解解 目录
30、上页 下页 返回 结束)cos1()sin(tayttaxa2t2t),2)2(aa,2cotcos1sin)sin()cos1(tttttatadxdy,12tdxdy)2)2(1axay例例 2.26 求摆线（为常数）上对应于的点M0处的切线方程.的点M0的坐标为又即摆线在M0处的切线斜率为1，故所求的切线方程为：解解 摆线上对应于目录 上页 下页 返回 结束 0v20021)sin()cos(gttvytvx,0(0tt gtt例例 2.27 以初速度、发射角发射炮弹，已知炮弹的运动规 律是 为重力加速度）的运动方向；的速率（图2-4）（1）求炮弹在任一时刻（2）求炮弹在任一时刻目录 上
31、页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 tt解解 （1）炮弹任一时刻的运动方向，的切线方向，就是指炮弹运动轨迹在时刻而切线方向可由切线的斜率反映.;costancossin)cos(21)sin(000020tvgvgtvtvgttvdxdy目录 上页 下页 返回 结束),(yxvvvgtvdtdyvvdtdxvyxsin,cos00（2）炮弹的运动速度是一个向量，t)(tv22020202022sin2)sin()cos()(tggtvvgtvvvvtvyx设时的速率为，则目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数求导方法：2.对数求导法：0),(yxF0),(dd
32、yxFx方程两边对 x 求导(含导数 的方程)y适用于幂指函数及多个式子连乘,连除表示的函数.目录 上页 下页 返回 结束)()(tytxxyddxttyddddtxtydddd)()(tt/ttxy参数方程3.参数式函数的求导方法：目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P55 习题2.4（B）1，2，5目录 上页 下页 返回 结束 2.5 2.5 高阶导数和导数的物理含义 2.5.1 高阶导数高阶导数 2.5.2 导数的物理含义导数的物理含义目录 上页 下页 返回 结束)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动2.5.1 2.5.
33、1 高阶导数高阶导数目录 上页 下页 返回 结束 定义2.2设函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为则称目录 上页 下页 返回 结束 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,依次类推,分别记作函数的二阶及二阶以上的导数称为函数的高阶导数.目录 上页 下页 返回 结束 12323xxxy)4(y149)123(223xxxxxy;418)149()(2 xxxyy;18)418()(xyy0
34、)18()()4(yy例例 2.28 求函数的四阶导数解解 目录 上页 下页 返回 结束 xay n;ln)(aaayxx例例 2.29 求函数的阶导数.解解;)(ln)(ln)ln()(2aaaaaayyxxx;)(ln)()(ln)(ln)(322aaaaaayyxxx nxnxnaaay)(ln)()()(依次类推最后可得 目录 上页 下页 返回 结束)(xf)(ln xfy xxfxxfy)(ln)(ln)(ln21)(ln1)(ln)(lnxxfxxxfxxfy .)(ln)(ln2xxfxf 例例 2.30 若存在二阶导数，求函数的二阶导数.解解目录 上页 下页 返回 结束 xys
35、in)(ny例例 2.31 求函数的n阶导数.解解 )2sin(cos)(sinxxxy);22sin()2(2)2(sin)2sin(xxxxy).23sin()22(2)22(sin)22sin(xxxxy目录 上页 下页 返回 结束 依次类推最后可得 ).2sin()(sin)()(nxxynn目录 上页 下页 返回 结束)(xf)sin(yxyy x例例 2.32 设隐函数由方程确定，求解解 方程两边对 求导，)()cos(yxyxy).1)(cos(yyxy,)cos(1)cos(yxyxy解得 （）（）目录 上页 下页 返回 结束 再将（1）式两端对x求导，)1()cos()1()
36、sin(2 yyxyyxy,)cos()1()sin(2yyxyyxy ,)1(1)cos()sin(2yyxyxy 解得 （）.1)cos()sin()cos(1)cos(11)cos()sin(32 yxyxyxyxyxyxy.1)cos()sin(3 yxyxy将（2）代入（3），得目录 上页 下页 返回 结束)(xf)cos1()sin(tayttax),2(Znnty22dxyd例例 2.33 设函数的参数式为求的二阶导数.解解 ),2(,2cotcos1sin)sin()cos1(Znnttttttataxydxdytt目录 上页 下页 返回 结束)(22dxdydxddxyd2c
37、ot)sin(/tyttax)(xy因为，所以求二阶导数相当于确定的函数的导数，继续应用参数式函数的求导法则，求由参数方程).,2(,)cos1(1)cos1(2csc21)sin()2(cot)(2222Znnttatatttatxydxydtt得到 目录 上页 下页 返回 结束 2.5.22.5.2 导数的物理含义导数的物理含义 导数的本质:函数增量与自变量增量比值的极限.类似问题在物理学中有:1、加速度2、线密度3、功率 4、电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题 是做功增量与时间增量之比的极限目录 上页 下页
38、返回 结束 1.速度与加速度速度与加速度)(tss)(tv)(ta.)(,)(22dtsdtadtdstv设物体作直线运动，位移函数，速度函数和加速度函数分别为目录 上页 下页 返回 结束 23212gttsst2;)(4.46.1924)6()212()2(222232smgttgttdtdsvttt222223222)12()6()212()2(ttttgtgttgttdtsda如设位移函数为（g为重力加速度，取g=9.8m/s2），求时的速度和加速度.则)./(2.148.9242sm目录 上页 下页 返回 结束 2.线密度线密度Hs)(sHH 0ss 0)()(0sssHs设非均匀的线
39、材质量与线材长度有关系，则在处的线密度线密度（即单位长度的质量）lsllddsDssd)(从小端开始计长，求中点处的线密度.因为长为处的截面积的直径如图形状的柱形铁棒，铁的密度为7.8g/cm3，d=2cm，D=10cm，,50cml 目录 上页 下页 返回 结束 所以长为s的柱形体体积),32566254(3)2(22)2(31)(2322sssllddsDsllddsDsddssV),18751504(6256.2)(8.7)(23ssssVsH),187530012(6256.2)()(2sssHs),(2.70)31212(6.2)(25cmgss质量函数：密度函数：中点处的线密度为：
40、目录 上页 下页 返回 结束 3.功率功率)(tWW 0tt)()(00tWtN单位时间内做的功称为功率功率，若做功函数为，则时的功率.kg1100s2hkm/36如：质量为的汽车，能在时间内把汽车从静止状态加速到若汽车启动后作匀加速直线运动，求发动机的最大输出功率.smsmmhkm/103600min/3600060/36000/362/52/10smssma加速度目录 上页 下页 返回 结束 汽车的位移函数为：).20(,5.221)(22ttattsmaF NF550051100JtFStW25.25500)(ttWtN55500)()(st28.7455000255500maxWN据第
41、二运动定律，汽车受推力为所以推力作功函数为功率函数时达到最大输出功率为马力目录 上页 下页 返回 结束 4.电流电流电流电流是单位时间内通过导体界面的电量，即电量关于时间的变化率，记)(tq)(tI)()(tqtI为通过截面的电量，为截面上的电流，则)(225sin(20)(cttq).225cos(500)225cos(2520)225sin(20)(ttttI现设通过截面的电量则通过该截面的电流为：目录 上页 下页 返回 结束 1.高阶导数的求法内容小结内容小结 2.导数的物理含义作业作业 P60 习题2.5（B）3，6，7，8，9目录 上页 下页 返回 结束 2.6 微分 2.6.1 微
42、分的概念微分的概念 2.6.2 微分的基本公式与运算法则微分的基本公式与运算法则 2.6.3 微分在数值计算上的应用微分在数值计算上的应用 2.6.4 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差目录 上页 下页 返回 结束 2.6.12.6.1 微分的概念微分的概念引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?变到,0 xx边长由其设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 面积的增量为当 x 在得增量x时,1.微分的定义微分的定义0 xxxx 0 xx 02)(x20 xA 目录 上页 下页 返回 结束 220)(xxxA20)(2xxx关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为
43、故xxA02目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.3:2.3:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x(A 为不依赖于x 的常数)xAyxx0|d)()(00 xfxxfy)(xoxA0 x的微分微分,则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作0|dxxy即在点可微可微,目录 上页 下页 返回 结束 结论结论:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且即xxfyxx)(|d00故证证:“必要性必要性”已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxAAxf)(0)(xo
44、xA)(xfy 在点 的可导,0 x且目录 上页 下页 返回 结束“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则xxfyxx)(|d00目录 上页 下页 返回 结束 说明说明 (1)当0 xyydyyd很小时,有近似公式x与是等价无穷小,故当时)(xfy xdxxfdy)(故（2）如果函数在某区间内每一点处都可微，处的微分为函数在区间内则称函数在该区间内是可微函数可微函数，一点任dxdyxf)(（3）表明导数是函数的微分与自变量的的商，故导数也称为微商微商.
45、微分时，当xy xdydxxxfdy)(目录 上页 下页 返回 结束 2xy 1xxydy例例 2.34 求函数在处，对应于分别为0.1和0.01时的改变量及微分自变量的改变量.2)(,)(2)(2222xxxxdyxxxxxxy1x1.0 x解解 在处，当时21.01.01.0122y;2.01.012dy01.0 x0201.001.001.0122y02.001.012dy当时，目录 上页 下页 返回 结束 xxylnxxxyln1)ln(dxxdxxxdy)ln1()ln(例例2.35 求函数微分.，.解解目录 上页 下页 返回 结束 2.微分的几何意义微分的几何意义切线纵坐标的增量设
46、函数)(xfy 的图像如图2-7所示，点),(00yxM),(00yyxxN，NM,x在图像上，过分别作 轴，y轴的平行，线相交于点Q，则有向线段 yQNxMQ,过点 M再作图像曲线的切线MTQNP，设其倾斜角为交于点则有向线段 dyxf xMQQP)(tan0目录 上页 下页 返回 结束)(xfy 0 xdy),(00yxM函数在点处的微分在几何上表示函数图像在点处切线的纵坐标的相应改变量.微分的几何意义微分的几何意义目录 上页 下页 返回 结束 2.6.2 2.6.2 微分的基本公式与运算法则微分的基本公式与运算法则1.微分的基本公式微分的基本公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxx
47、dxdxxdxdxxddxxxdaxxddxeeddxaaaddxxxdCdaxxxxcotcsc)(csc)12(tansec)(sec)11(csc)(cot)10(sec)(tan)9(sin)(cos)8(cos)(sin)7(1)(ln)6(dx ln1)(log)5()()4(ln)()3()2(0)()1(221）（目录 上页 下页 返回 结束 dxxxarcddxxxddxxxddxxxd222211)cot()16(11)(arctan)15(11)(arccos)14(11)(arcsin)13()(d).1(vu)(d).2(uC(C 为常数)(d).3(vu)0()(d
48、).4(vvuvudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则目录 上页 下页 返回 结束 分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则则复合函数故目录 上页 下页 返回 结束.)2ln(sin xd.2cot2)2(2cos2sin1)2(sin2sin1)2ln(sinxdxxdxxxdxxd例例2.36 求解解 目录 上页 下页 返回 结束)ln1sin()(xxxf).(xdf例例2.37 已知函数，求)ln1()l
49、n1cos()ln1sin()(xxdxxxxdxdf2)ln1()ln1()ln1cos(xdxxxxdxx2)ln1(1)ln1cos(xdxxxdxxxx.)ln1cos(2ln2dxxxxx =解解:目录 上页 下页 返回 结束)(xyy)()(tytx)(),(tt例例2.38 证明参数式函数的求导公式。的参数方程形式为，其中可导，则：证明证明 设函数.)(,)(dttdydttdx0)(t.)()()()(ttdttdttdxdy当 时，目录 上页 下页 返回 结束 0422yxyx)(xyy 例例2.39 用求微分的方法，求由方程 所确定的隐函数的微分与导数。02)(8ydyxd
50、yydxxdx,)8()2(dxyxdyyx解解 对方程两端分别求微分，有 即02yx,28dxyxyxdy.28yxyxdxdyy当时，可得即 目录 上页 下页 返回 结束 2.6.32.6.3 微分在数值计算上的应用微分在数值计算上的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:目录 上页 下页 返回 结束 特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:xn11nx1
