1、第一篇数与代数第一章数与式第5讲二次根式及其运算(a0).1二次根式的有关概念a二次根式一般地，形如 的式子叫做二次根式 最简二次根式必须同时满足：(1 1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2 2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).2.二次根式的性质两个重要的性质 =a(a );(a0),(a0b0).2a aa2 ababbaba 0a-a3.二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为 ，然后合并被开方数的 二次根式 二次根式的乘法 _ _(a0a0，b b0 0)二次根式的除法 _ _(a0a0，b b0 0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，
2、再算 ，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).最简二次根式 相同 abba 乘除 abba基本方法1.1.整式运算法则也适用于二次根式的运算 2.2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可 3.绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：是常见的三种非负数形式，非负数具有以下两条重要性质：非负数形式有最小值为零；几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零.)0a(a 1(2013宜宾)二次根式 的值是 ()A3 B3或3 C9 D32(2015武汉)若代数式 在实数范
3、围内有意义，则x的取值范围是 ()Ax-2 Bx-2 Cx2 Dx23下列运算正确的是 ()A.5 B 1 C.9 D.6DCD232x 25218273423244一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在 ()A2与3之间 B3与4之间 C4与5之间 D5与6之间5(1)(2015黄冈)计算：(2)(2015长沙)把 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）B 218222 _2222【问题】下列各式已给出计算结果：；3；4(1)其中正确的是_；(2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【解析】(1)；(2)，3，2；(3)主要从二次
4、根式性质、运算法则方面去思考【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则28623326282282823类型一平方根、算术平方根、立方根类型一平方根、算术平方根、立方根例例1 1 (1)(2015黄冈)9的平方根是 ()A3 B C3 D3 (2)(2015湖州)4的算术平方根是 ()A2 B2 C2 D.(3)(2015荆门)64的立方根是 ()A4 B4 C8 D831 2【思路分析】(1)9的平方根是：3；(2)因224，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2；(3)因4的立方等于64，故64的立方根等于4.【答案】(1)A；(2)B；(3)A【解后感悟】一个正数有
5、两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键91(1)(2015南京)4的平方根是 ；4的算术平方根是 (2)如果一个正数的平方根为a1和2a7，则这个数为 .2 29类型二二次根式的有关概念与性质类型二二次根式的有关概念与性质例2(1)(2013娄底)式子 有意义的x的取值范围是 ()Ax 且x1 Bx1Cx Dx 且x1 112xx212121【答案】(1)根据题意得，2x10且x10，解得x 且x1.故选A.(2)，可得：k3，m2，n5，则mkn.故选D.(2)(2013台湾)k、m、n为三
6、整数，若 ，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确 ()Akmn Bmnk Cmnk Dmkn15135k215450 n6180【思路分析】(1)根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解(2)根据二次根式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断21153135 m15450 56180【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：二次根式的被开方数大于或等于零；分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键1(2013广东)的平方根是 是最简二次根 式，则最小的正整数a=2(2013广东)若实数a、b满足 ，则 3
7、(2013曲靖)若整数x满足|x|3，则使 为整数的x的值是 (只需填一个)【解析】|x|3，3x3，当x2时，x3时，故使 为整数的x的值是2或3(填写一个即可)5a3 21042baba2x72.3)2(77 x2377 xx7类型三二次根式的运算与求值类型三二次根式的运算与求值例3(1)(2013包头)计算：；(2)(2013泰安)化简：【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可(2)根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可【答案】(1)原式 ，故答案为：；=-6.故答案为：6.221383624)32(322322232222
8、3)63(62363624)32(3(2).5(2013泰州)下列计算正确的是 ()A B.6(2014台湾)算式 之值为()A B C D7(1)(计算)(3)2016(3)2015=.(2)(2015南京)计算 的结果是 .【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键CD133345322212CD 252233)15106(42251213122181010310 3155 5 类型四二次根式的大小比较例4 已知甲、乙、丙三数，甲5 ，乙3 ，丙1 ，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确()A丙乙
9、甲 B乙甲丙 C甲乙丙 D甲乙丙【思路分析】本题可利用“夹逼法”，先估算无理数 ，的整数部分，继而也可得出甲、乙、丙的取值范围，进而可以比较其大小【答案】3 4，85 9，8甲9.4 5，73 8，7乙8.4 5，51 6，5丙6.丙乙甲故选A.15171915191791516151617251716192519【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内8(1)(2015嘉兴)与无理数 最接近的是 ()A4 B5 C6 D7 (2)(2015杭州)若k k+1(k是整数)，则k=（）A6 B7 C8 D99 (填“”
10、、“”或“”)C312152190D类型五二次根式的综合型问题例5 已知实数x，y满足 0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A20或16 B20 C16 D以上答案均不对84yx【思路分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解【答案】由 0得，x40，y80，即x4，y8.(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为48820.故选B.84yx【解后感悟】(1)常见的非负数有三种形式：|a|，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这
11、几个数都为零10观察分析下列数据，寻找规律：0，3，2 ，那么第10个数据应是 11若y x3，则10 x2y的平方根为 ；12已知x 1，y 1，求下列各式的值：(1)x22xyy2；(2)x2y2.a363336xx366333【答案】因为x 1，y 1，所以xy ，xy2.则(1)x22xyy2(xy)2()212.(2)x2y2(xy)(xy)4 .3332323【探索规律题】(2014资阳)如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正 P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作 P2CP3，如此继续下去，则第六个正三角形 中，不
12、在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是_【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的 ，第六个正三角形的边长是 ，故顶点P6的横坐标是 ，P5纵坐标是 ，P6的纵坐标为 ，故答案为：()211613263835834333232132383532321,3263【方法与对策】根据O(0，0)A(2，0)为顶点作OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作P1BP2，再以P2和P2B的中C为顶点作P2CP3，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标本题由特殊到一般的规律解题是键，这 类题型是中考的热点【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是 ()A.3 B 3 C.3 D.3【分析】本题是算术平方根的计算，其实质就是对一个非负数进行开平方的运算本题是常见的易错题之一，解题的关键是明确其中的符号问题，可采用先计算被开方数，再进行开方23232323【正解】，选项A错误；，选项C错误；，选项D 错误故选B.339322339322332
