1、微分方程第七章 微分方程的基本概念第一节 例例 1 1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程求这曲线的方程.一、问题的提出)(xyy 解：设所求曲线为xdxdy2 2,1 yx时时其中其中1 xdxy2,2Cxy 即即,1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为2微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,32xeyyy ,yxxz 实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函
2、数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义3微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数.,0),(yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶(n)微分方程微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy4微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy .0)(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的
3、解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.5(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.,yy 例例;xcey 通解通解,0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.6xdxdy2解：cxyxdxdy22处的切线们在点例：求一切曲线，使它x.2x的斜率都等
4、于已知函数的解是微分方程抛物线族xycxy22程的积分曲线。条曲线是这微分方这曲线族中任意一是任意常数，其中c7这条件叫做时的特解有特殊意义，当00yyxx微分方程的初始条件。,00,00yyyynxxxx为阶微分方程的初始条件)1(0)1(0nxxnyy初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.8第二节 可分离变量的微分方程),(yxfdxdyydxyxfdy),(0),(dxyxfdy其一般形式0),(),(dyyxQdxyxP又如其方程可分解成为0)()()()(2121dyyNxNdxyMxM(1)0)()()()(2211dyyMyNdxxN
5、xM称为可分离变量的微分方程9(2)()()()(2211cdyyMyNdxxNxMcdyyydxxx221)1(1(2)是(1)的通解0)1()1 22ydyxxdxy（解：01)1(122dyyydxxxcdyyydxxxxdx2211cyxx)1ln(21)1ln(21ln22的通解：求例xyxydxdy)1(112210的特解当试求例4,2 0 :2yxxdyydx0 ydyxdx解：cyx22212110cc82 4,2代入yx20 22yx特解为11例3:一曲线通过点(2,3).他在两坐标轴间 的任意切线段均被切点平分，求这曲线。)(xfy 解：设曲线方程为),ykyx处的切线斜率
6、为它在一点（化为截距式切线方程为)(xXyyY1yxyyXxyyYxyyyxyy ,截距为1213平分切线段由于),(yx21 21xyyyyxyyx0 0ydyxdxxyycxycyx lnln16)3,2(c由于曲线经过为所求的曲线。6xy14第三节：齐次方程齐次方程一.成若一阶微分方程可以写)(xydxdy方程这种方程叫做齐次微分15cxvvdvln)(dxdvxvdxdyvxyvxy 令)(vdxdvxvvvdxdvx)(xdxvvdv)(的通解，便得到已给微分方程代替在用vxy1601dvvvxdxcxyyln通解为dxdyxydxdyxy22 1：解方程例1)(222xyxyxxy
7、ydxdy解：vxy令cvvx lnlnvcxvlndxdvxvdxdy 1 2vvvdxdvx17022xyyyx例：解方程01)(2xyxydxdy解：vxy令 xvy dxdvxvdxdy 01 2vvdxdvxvxdxvdv1 218xdxvdv1 2cxvvlnln1ln 2xcvv1 2xcvv121 xcxyxy121)(2122 xcxyy19)(10cybxacbyaxfdxdy0baba)(ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY二.可化为齐次的方程为常数令khykYxhX,dXdxdYdy 200baba00,ckbhacbkahkh使适当选取)()(XYbaXYb
8、afYbXabYaXfdXdY可求出代入得kh,代入得到原方程的解再令令hxXkyYvXY,2103)(3)(77)(7)(3hXkYhXkYdXdY0)337()773(3dyxydxxy：解方程例0337773:xyxydxdy解ykYxhX,令03373777373hkXYhkXYdXdY2203370773hkhk令10hk03773XYXYdXdY03773XYXYdXdY23XvY 令dXdvXvdXdY37073dvvvXdXv077372XdXdvvv2412ln11ln143)1ln(21cXvvv214372)11()1(cXvvv11437214ln)11ln()1ln(
9、cXvvv214410)1()1(cXvv2410)1()1(cxyyx.就是方程的通解25 0 20baba)(cbyaxmcbyaxfdxdydxdybadxdv)(1adxdvbdxdy)()(1cmvcvfadxdvbmbbaa1则byaxv令这是变量可分离的方程260)433()(4dyyxdxyx：解方程例vyx令dxdvdxdy10)1)(43(dxdvvv04343vdxdvdxdvvv解：27042)43(vdxdvv4342vvdxdvdxdvvv4243dxdvvv)421(dxdvv)42223(cxvv2ln2312ln23cyxyx28 叫做对应于(1)的一阶齐次线
10、性微分方程第四节 一阶线性微分方程一.线性方程(1)()(xQyxpdxdy方程叫做一阶线性微分方程(2)0)(0)(yxpdxdyxQ则如果291)(|lncdxxpy分离变量后dxxpydy)()(1)(cdxxpeccey）的解（就是齐次线性微分方程230将C换为X的函数v(x)dxxpexvy)()(而令利用常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解)()()()()()()()()(xQexvxpxpexvedxdvyxpdxdydxxpdxxpdxxpdxexQdvdxxp)()(）的通解就是方程（1)()()(cdxexQeydxxpdxxpcdxexQxvdxxp)()()(31
11、25)1(121xxydxdy：解方程例12)(xxp解：25)1()(xxQ227)1()1(32xcx)1(32()1(232cxx)1(122512cdxexeydxxdxx)1(1)1()1(2252cdxxxx32)1,0()()(nnyxQyxpdxdyn形如)()(1xQyxpdxdyyynnn两边同除以二.伯努利方程称为伯努利方程)()(1111xQyxpdxdynnn33)()1()()1(xQnzxpndxdzzyn1令)()1()()1()()1(cdxexQnezdxxpndxxpn通解，便得到柏努利方程的代以zyn134的通解求方程例)0,0(42.yxyxxydxd
12、yxxydxdyyn21221 21解；xxydxyd212zy 令xxzdxdz21235)21(22cdxxeezdxxdxx242)|ln21()|ln21(cxxycxxy)|ln21(2cxx)121(22cdxxxx36)0(02)6(:32yydxdyxy解方程例026:2dydxyxy解yxydydx213)21(3cyy)121(33cdyyyy)21(33cdyyeexdyydyy37型的微分方程一)(.)(xfyn)()(xfyn逐项积分可降阶高阶微分方程第五节 1)1()(cdxxfyn21)2()(cxcdxxfdxyn38的通解：求例xxysin 112cos21c
13、xxy解：213sin61cxcxxy型的微分方程二),(.yxfy dxdpdxdyypy)(令),(pxfdxdp39),(1cxp设是原方程的通解21),(cdxcxy),(1cxy40的特解满足初始条件求微分方程例3|,1|12:1002xxyyxxyypy:令解pxxdxdp122cxp)1ln(|ln2dxxxpdp122)(1(121cecxcp33|10cyxdxxdy)1(32)1(32xdxdy)1(32xy41为所求的特解133xxy233cxxy1120cyx42型的微分方程三),(.yyfy py 令dydppdxdydydpdxdpy 一阶微分方程关于pypyfdy
14、dpp,),(43)0(0 2:12yyyy求解方程例dydppypy :设解022pdydppycypydypdpln21|ln 244ycdxdyecycpc111 )(2123132 cxcydxcdyy4323cxcy为原方程的通解3243)(cxcy45第七节第七节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程(1)()()(xfyxQyxpy形如微分方程的方程，称为二阶线性成为时，方程当)1(0)(xf (2)0)()(yxQyxpy方程称为二阶齐次线性微分46时我们称分别为常数当qpxQxp,)(),(3)0 qypyy微分方程为二阶常系数齐次线性 (4)(xfqypyy
15、称性微分方程为二阶常系数非齐次线470)()()(),(:121 yxQyxpyxyxy是方程如果函数定理也是方程的两个解，则)()(2211xycxycy33121,pcc是任意常数。其中的解，0)()(yxQyxpy48kyyyy212,1:1当数线性相关，若有两个函定义线性相关，则称常数2,1)(yyk线性无关常数时，称当2,121yyyy4933221221121 0)()()()(0)()()(),(2pyxQyxPyccxycxycyyxQyxPyxyxy的通解是方程为任意常数则，的两个线性无关的特解是方程：如果定理系数齐次线性那么对于一般的二阶常特解呢？微分方程如何求出它的50我
16、们来试一下,(3)0 qypyy微分方程为设二阶常系数齐次线性是不是方程的解rxey rxrxeryrey2 02rxrxrxeqerper510)(e2qprrrx0erx(5)02qprr）的特征方程）叫做（35）的解是方程（）的一个根，则是（若35rxer52xrxrxrxrxrxrececyeeeyeyrr2121212121213 3 3,13）的通解（线性无关，且）的特解即是（）满足（则是两个不相等的实根种情况有53）的通解为（）通过化简整理得（详见的通解）是（则3)sincos(,3 221340)(2)(121xcxceypececyirirxxixi54xrxrexccyey
17、rr11)(3 3 32121）的通解为通过计算可得（）的特解是（55的两个特征根为其特征方程其中时时当当时当的通解为方程0)()sincos(0 221212112212121121qprrrrrrexccirxcxcerrececyqypyyxrxxrxr56032:2 rr其特征方程解的通解求微分方程例032:1yyy0)3)(1(rr3,121rrxxececy321其通解为57的通解求微分方程例052:2yyy)2sin2cos(21 05221122xcxceyirrrx通解为为一对共轭复根解：其特征方程为5802:322sdtdsdtsd求微分方程例满足初始条件，012 2 rr
18、解：其特征方程为)(1 0)1(21212tccesrrrt通解为的特解。当2,4,0dtdsst5911221220,4,24()22(42)ttttsscsecc teccccset 又当所求的特解为60第八节第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程所对应的齐次线性方程为非齐次线性方程我们称为常数其中微分方程的一般形式为二阶常系数非齐次线性)1(2)0 ,(1)(qypyyqpxfqypyy61 0)()()()()(1*yYyyxqyxpyYxfyxqyxpyy 则的通解是对应的齐次方程一个特解，的是二阶非齐次线性方程：设定理)()()(xfyxqyxpy 是非齐
19、次方程 333p的通解：62334*2*121*2*121)()()()()()()()()()()()()()(.2pxyxyxfyxqyxpyxfyxqyxpyxyxyxfxfyxqyxpy就是原方程的特解那么的特解与分别是方程和而如几个函数之和设非齐次方程的右端是定理63次多项式次，的分别是是常数其中次多项式的一个是是常数其中常见的形式为在实际问题中，解关键是求出它的一个特的通解性方程从上所见，求非齐次线nlxxpxpwwxxpwxxpexfmxxpexpxfxfnlnlxmxm )(),(,sin)(cos)()(2)()()(1)()1(64的求法式时下面介绍为上述两种形y.)()(
20、函数求导后仍是同一类型的乘积，而多项式与指数函数的函数的乘积是多项式与指数方程的右端xpexpeqypyymxmx型一)()(.xpexfmx65xxxxxxxxexQxQxQxQxQeexQxQyexQxQxQeexQyexQyxQexQy)()(2)()()()()()()()(.)()()()(2*把是某个多项式）（其中解为因此我们设想方程的特66xmxxxexpexqQexQxQpexQxQxQ).()()()()()(2)(2代入得3)()()()().2()(2xpxQqpxQpxQmxexQyxQ)(*)(3那么就得到特解的多项式只要能找到满足67讨论下面我们分几种情形来的根不是
21、特征方程如果0.12qprr把式个待定系数为其中设次多项式为另一个恒等，那么可令的两端次多项式要使是一个由于即.1.,.)()()(3)(01011102mbbbbxbxbxbxQxQmxQmxpqpmmmmmmmm68xmmmexQyxQbbbmbbb).(*)(,.1.,31010方程的一个特解为即确定，联立方程组，从而求出个线性方程的为未知数就得到幂的系数式，比较等式两边同次代入69是特征方程的单根如果.2个系数的可计算出式后将它代入不妨取次多项式是一个须要使得上式两边相等必式为那么而即1)(3)()()()()()2()(30202mxQxQxxQmxQxpxQpxQpqpmmm70是
22、特征方程的重根如果.3个系数式后可定出代入次多项式，不妨取为式为那么且即13)()()()()(302022mxQxxQmxQxpxQpqpmm71xmexpqypyy)(是特征方程的重根若是特征方程的单根若不是特征方程的根若其中的特解具有形如 2 1 0)(*kexQxyxmk微分方程二阶常系数非齐次线性如下结论综上所述我们可以得出72的一个特解：求方程例xexyyy2)2(32 1)(*2BAxeyx设0322 rr解：2,1m而不是特征方程的根2AeBAxeyxx22)(2*73xxxAeAeBAxey22222)(4*代入原方程将*,*,yyyxexyyy2)2(32 xxxxxxex
23、eBAxAeBAxeAeBAxe222222)2()(3)(2 24)(42332xAxBA74983123213BABAA比较系数xexy2)9831(*75的一个特解：求方程例32 22xyyCxBxAxCBxAxxxQxyrrrrm232222 )()(*0000,2设的单根是特征方程解：76BAxyCBxAxy26*23*2 代入原方程将*,*,yyy32 2xyy322)62(33223262222xCBxABAxxCBxAxBAx得7712323206223CBACBABA)232(*23xxxy78312()xycc x e 096:2 rr解321 rr是二重特征根3的通解为0
24、96 yyy通解：求方程例xexyyy3)1(96 37923332*()()xxyx eaxbeaxbx33232*3()(32)xxyeaxbxeaxbx 332323*9()6(32)(62)xxxyeaxbxeaxbxeaxb 代入原方程将*,*,yyyxexyyy3)1(96 8016a 12b xxxxxxxexbxaxebxaxebxaxebaxebxaxebxaxe323323233323233)1()(9)23()(3 6)26()23(6)(9)1(26xbax得81xxexxxexy32332)2161()2161(*)2161()2161()(*)1(96 121233
25、3233213xccxxeexxexccyyyexyyyxxxx的通解为，得由定理82通解求方程xeyyy2 21012:2rr解21,121rr通解为0 2yyyxxececy212183不是特征方程的根1xAey*设xAey*xAey *代入原方程将*,*,yyyxeyyy2 284xxxxeAeAeAe221 Axey *通解为方程xeyyy2 2xxxeececyyy2121*85通解求方程1255 2.32xxyy052:2 rr解25,021rr通解为05 2 yyxeccy252186的单根是05202rr)(*2CBxAxxy设)(23CxBxAxCBxAxy23*2BAxy2
26、6*代入方程将*,*,yyy1255 22xxyy87125)23(5)26(222xxCBxAxBAx125)54()1012(1522xxCBxBAAx15421012515CBBAA31A53B257C88xxxy2575331*23的通解为1255 22xxyyxxxeccyyyx2575331*23252189型二sin)(cos)()(.wxxpwxxpexfnlx是特征方程的根当不是特征方程的根当次多项式是其中可设为的特解性微分方程则二阶常系数非齐次线如果)(1)(0,max)(),(sin)(cos)(*1sin)(cos)()()2()1()2()1(iwiwiwiwknlm
27、mxRxRwxxRwxxRexywxxpwxxpexfmmmmxknlx90代入原方程把设不是特征方程的根而解：xdcxxcxbaxayxdcxxbaxyxdcxxbaxyiiiwxpxxpwrnl2sin)(42cos42cos)(42sin4*2sin)(2cos)(*2sin)(2cos)(*2200)()(,2,0012的一个特解求微分方程例xxyy2cos 4xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos433）得（xxyy2cos 91xxxydcbaadccba2sin942cos31*9400310430304313原方程的一个特解是比较系数得92的通解求微分方程x
28、eyyxcos:9012r解：irxcxcysincos21xaey*11设不是特征方程的根xaey*1xaey *1代入xeyy 得2*1xey的特解，先求方程xeyy 93)sincos(*2xbxaxy设是特征方程的根ii*2y*2 y代入xyycos 并比较系数得21,0baxxysin21*2xxexcxcyxsin2121sincos21的特解，下面求方程xyycos 94的通解求微分方程xeyyyx2sin52:50522 rr解：ir2112)2sin2cos(21xcxceYx1)(,0)(,2,1xpxpnl是特征方程的根ii21xexbxaxy)2sin2cos(*设的通
29、解为052 yyy95*y*y y*代入xeyyyx2sin52 并比较系数得0,41baxxeyx2cos41*yYyxxexcxcexx2cos41)2sin2cos(21的通解为原方程xeyyyx2sin52 96的通解求微分方程xeyay2.2022ar解：iar12的通解为0 2yayxacxacysincos2197不是特征方程的根1xAey*设xAey*xAey *代入原方程将*,*,yyyxeyay2 xxxeAeaAe2981)1(2aA211aAxeay211*xxeaxacxacyyyeyay221211sincos*1的通解为，得由定理99的通解求微分方程xxeyyy3
30、23.40)2)(1(232rrrr解：2,121rr的通解为023 yyyxxececy221100 xxebxaxbaxxey)()(*2设xxebxaxebaxy)()2(*2是特征方程的单根1xxxxebxaxebaxebaxaey)()2()2(2*2101代入原方程将*,*,yyyxxeyyy323 xxxxxxxxxeebxaxebxaxebaxebxaxebaxebaxae3)(2)()2(3)()2()2(2222并比较系数得3,23ba102xxexxebxaxy)323()(*22xxxxexxececyyyxeyyy)323(*323 12221的通解为，得由定理103
31、的通解求微分方程xxyycos4:8042r解：ir212的通解为04 yyxcxcy2sin2cos21不是特征方程的根ii0)(,)(,1,0 xpxxpnl104xdcxxbaxysin)(cos)(*设xdcxxcxbaxxaycos)(sinsin)(cos*xdcxxcxcxbaxxaxaysin)(coscos cos)(sinsin*代入原方程将*,yyxxyycos4 105xdcxxcxbaxxasin)(cos2cos)(sin2xdcxxbaxsin)(4cos)(4xxcos并比较系数得92,0,0,31dcbaxxxysin92cos31*106的通解为，得由定理x
32、xyycos4 1xxxxcxcyyysin92cos312sin2cos*21107的通解求微分方程xyy2sin:10012r解：1,121rr的通解为0 yyxxececy21xxxf2cos2121sin)(2108的特解，下面求方程21 yy,0ay*1设0*1y0*1 y代入方程将*,yy21 yy21*1y并比较系数得21a得109的特解，下面求方程xyy2cos21 不是特征方程的根ii2xcxby2sin2cos*2设xcxby2cos22sin2*2xcxby2sin42cos4*2 代入方程将*,yyxyy2cos21 110 xcxb2sin42cos4)2sin2cos(xcxbx2cos210,101cb得并比较系数得xy2cos101*2xyyy2cos10121*21111的通解为，得由定理xyy2sin 1xececyyyxx2cos10121*21112
