1、线性代数习题课吉林大学术洪亮第一讲 行 列 式 前面我们已经学习了关于行列式的概念和一些基本理论，其主要内容可概括为：行列式概 念性 质 展开定理计 算应 用概 念排列，逆序数，奇排列与偶排列行列式的定义 121211121212221212(1)nnnntppnpp ppnnnnaaaaaaaaaaaa性 质 1行列式与它的转置行列式相等；2互换行列式的两行（列），行列式变号；3某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面；4若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行列式可写成两个行列式的和；5行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。展开定理计 算就是运用行列式的定义、
2、性质、定理求行列式的值，常用的方法有定义法、性质法、递推法、数学归纳法、加边法、公式法等。齐次线性方程组有非零解的充分必要条件应 用克拉默法则10nikjkkDija Aij按行展开10nkikjkDija Aij按列展开下面我们通过例题演示来进一步巩固所学内容，并更好地掌握解题方法与技巧，本章常见题型有填空题、计算题、证明题。例1：问当i、j如何取值时，排列 2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？l解：令i=4，j=8，得排列为2 1 4 3 7 6 8 9 5 214376895 为奇排列与题矛盾。应取i=8，j=4 此时排列 218376495为偶排列。J（214376895）=1
3、+0+1+0+2+1+1+1=7例2：求排列 的逆序数。l解：1.3.,(21)24(2)nnJ(1.3.,(21)24(2)nn=0+1+2+(1)n(1)=2n n l解：行标按自然排列，列标排列的逆序数为 的项前带正号。行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成，1 12 334ijaaaai、j为2、4的取值两项1 12 33 24 4aaaa1 12 33 44 2aaaa，J（1 3 2 4）=1 J（1 3 4 2）=2的项带负号,1 12 33 24 4aaaa11233442aaaa 含有因子 的项为-1123a a1 12 33 24 4aaaa11233442aaaa1123
4、a al 例3：写出四阶行列式中含有因子 的项。例4：在n阶行列式中，如果 等于零的元素比 n2-n还多,试证明此行列式的值为零。元素比 n2-n还多，这说明非零元素的个数比n2-（n2-n）=n还少。由于行列式的每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积，因此，每一项中至少含有一个零元素，即所有项都为零，所以，行列式的值为零。l证：n阶行列式中有n2个 元素，等于零的例5：的充分必要条件？l解：展开即有 -10的充分必要条件是 2a2a 11010411aa0例6：已知四阶行列式D的第2行 元素分别为：-1，0，2，4；第四行元素 的余子式依次为：由行列式某行元素与另一行元素的代数余 子式乘积之
5、和为零，2,4,4;?aa求 而A41=-2 A42=4 A43=-A44=4a解：(-1)(-2)+04+2(-)+4 4=0a =9a例7：计算行列式12413635104Dl解：4830603048600 12(6)43 10 1(4)3(5)D 1(6)(5)(4)3 43 102 20112110212102110D011211020112031442(2)rr 32rr31rr413rr011 21102002 4002 212rr1102011200240022110201120024000243(1)rr 4例8：nxaaaxaDaaxl解：第2列、第3列直到第n列，依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：(1)xna111aaxaax(1)(1)(1)nxna aaxna xaDxna ax (1)xna 10aaxaxa1(1)()nxnaxa
