1、 引入：引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。和应用问题。问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用据加法原理，可用分类法分类法；当问题考虑先后次序时，；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用根据乘法原理
2、，可用位置法位置法；上述两种称；上述两种称“直接直接法法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法,采用采用“间接法间接法”；另外，排列中；另外，排列中“相邻相邻”问题可采问题可采用用捆绑法捆绑法；“分离分离”问题可用问题可用插空法插空法等。等。解排列组合问题，一定要做到解排列组合问题，一定要做到“不重不重”、“不漏不漏”。分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人，人，丙组丙组3人；人；分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一
3、组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。例例1：有有12 人。按照下列要求分配，求不同的人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。答案答案C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33 小结小结：练习练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。均分
4、配问题。1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上基础上乘以乘以组数的全排列数。组数的全排列数。2.平均分配问题中，平均分配问题中，给出组名的分步求；给出组名的分步求；若没给出组名的，若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上一定要在给出组名的基础上除以除以组数的全排列数。组数的全排列数。3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配
5、，剩下的就是部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。平均分配。这样分配问题就解决了。结论结论：给出组名：给出组名(非平均中未指明非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。数的基础上，乘以组数的阶乘。例例2：求不同的排法种数。求不同的排法种数。6男男2女排成一排，女排成一排，2女相邻；女相邻；6男男2女排成一排，女排成一排，2女不能相邻；女不能相邻；4男男4女排成一排，同性者相邻；女排成一排，同性者相邻；4男男4女排成一排，同性者不能相邻。女排成一排，同性者不能相邻。分析：分析：由由2女捆绑成一
6、人与女捆绑成一人与6男全排列男全排列,再把再把2女全排列，女全排列，有有A77.A22种种 “捆绑法捆绑法”把把6男男2女女8人全排列，扣去人全排列，扣去 2 女女“相邻相邻”就是就是2女女“不相邻不相邻”，所以有，所以有A88-A77.A22种。种。“排除法排除法”还可用还可用“插空法插空法”直接求解：先把直接求解：先把6男全排列，男全排列，再在再在6男相邻的男相邻的7个空位中排个空位中排2女，所以共有女，所以共有A66.A72种种.分分 离离 排排 列列 问问 题题思考思考:对于不相邻的分离排列能否都用对于不相邻的分离排列能否都用“排除法排除法”?若改若改5男男3女女排成一列排成一列,3女
7、不相邻女不相邻,用排除法得用排除法得 对吗对吗?22553388AAAA 4男男4女排成一列，同性者相邻，把女排成一列，同性者相邻，把4男、男、4女女捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所在地共有在地共有A22.A44.A44种。种。“捆绑法捆绑法”同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调。女偶数位，或者对调。总排列数为总排列数为A22.A44.A44种种。例例3：某乒乓球队有某乒乓球队有8男男7女共女共15名队员，现进名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要行混合双打训练，两边都必须要1男男1
8、女，共有多女，共有多少种不同的搭配方法。少种不同的搭配方法。分析：每一种搭配都需要分析：每一种搭配都需要2男男2女，所以先要选出女，所以先要选出2男男2女，有女，有C82.C72种；种；然后考虑然后考虑2男男2女搭配，有多少种方法？女搭配，有多少种方法？男女男女-男女男女 Aa-Bb Ab-Ba Bb-Aa Ba-Ab 显然：显然：与与；与与在在搭配上是一样的。所以搭配上是一样的。所以只有只有2种方法，种方法，所以总的搭配方法所以总的搭配方法有有2 C82.C72种。种。搭搭 配配 问问 题题先组后排先组后排1.高二要从全级高二要从全级10名独唱选手中选出名独唱选手中选出6名在歌咏会名在歌咏会
9、上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？安排方法有多少种？611524824848(AC A AA A种）（一）（一）.有条件限制的排列问题有条件限制的排列问题 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。每次取全排列。a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？必须排在首位或末位，有多少种排法？a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？既不在首位也不在末位，有多少种排法？a,e排在一起多少种排法？排在一起多少种排法？a,e不相邻有多少种排法？不相邻有多少种排法？a在在e的左边（可不相邻）有多少种排法？的左边（可不
10、相邻）有多少种排法？解：解：（解题思路）分两步完成，把（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两排在首末两端有端有A22种，再把其余种，再把其余3个元素排在中间个元素排在中间3个位置有个位置有A33种。种。由乘法共有由乘法共有A22.A33=12(种种)排法。排法。优优先先法法 解：解：先从先从b,c,d三个选其中两个三个选其中两个排在首末两位，有排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有排在中间三个位置有A33种，由乘法原理种，由乘法原理:共有共有A32.A33=36种排列种排列.间接法：间接法：A55-4A44+2A33（种）排法。（种）排法
11、。解：解：捆绑法：捆绑法：a,e排在一起，可以将排在一起，可以将a,e看成看成一个整体一个整体,作为一个元素与其它作为一个元素与其它3个元素全排列，有个元素全排列，有A44种；种；a,e两个元素的全排列数为两个元素的全排列数为A22种，由乘法原种，由乘法原理共有理共有A44.A22(种种)排列。排列。解：解：排除法：排除法：即用即用5个元素的全排列数个元素的全排列数A55，扣除，扣除a,e排在一起排列数排在一起排列数A44.A22，则，则a,e不相邻的排列总数不相邻的排列总数为为A55-A44.A22（种）（种）插空法插空法：即把：即把a,e以外的三个元素全排列有以外的三个元素全排列有A33种
12、，种，再把再把a,e插入三个元素排定后形成的插入三个元素排定后形成的4个空位上有个空位上有A42种，由乘法原理共有种，由乘法原理共有A33.A42(种种)解解:a在在e的左边的左边(可不相邻可不相邻)，这表明，这表明a,e只有一种顺只有一种顺序，但序，但a,e间的排列数为间的排列数为A22，所以，可把，所以，可把5个元素全排个元素全排列得排列数列得排列数A55，然后再除以，然后再除以a,e的排列数的排列数A22。所以共。所以共有排列总数为有排列总数为A55/A22（种）（种）注意：若是注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数个元素按一定顺序，则必须除以排列数 P33。例例2：已知集合已知
13、集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。集的个数。（二）有条件限制的组合问题：（二）有条件限制的组合问题：解法解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：个元素中至少有两个是偶数可分成三类：2个偶数，个偶数，3个奇数；个奇数；3个偶数，个偶数，2个奇数；个奇数；4个偶数，个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105 解法解法2：从反面考虑，全部子集个数为从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件，而不符合条件的有两类：的有
14、两类：5 个都是奇数；个都是奇数；4个奇数，个奇数，1个偶数。所以个偶数。所以共有子集个数为共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105下面解法错在哪里下面解法错在哪里?例例2：已知集合已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。集的个数。至少有两个偶数，可先由至少有两个偶数，可先由4个偶数中取个偶数中取2个偶数，个偶数，然后再由剩下的然后再由剩下的7个数中选个数中选3个组成个组成5个元素集合且满足至个元素集合且满足至少有少有2个是偶数。成以共有子集个是偶数。成以共有子集C42.C73=210
15、(个个)用用“具体排具体排”来看一看是否重复，如来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选中的一种选法是：选4个偶数中的个偶数中的2，4，又，又C73中选剩下的中选剩下的3个元素不个元素不6，1，3组成集组成集合合2，4，6，1，3，；再看另一种选法：由；再看另一种选法：由C42 中选中选4个偶数中个偶数中的的4，6，又，又C73中选剩下的中选剩下的3个元素不个元素不2，1，3组成集合组成集合4，6，2，1，3。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原因是分类不独立。因是分类不独立。（三）排列组合混合问题：（三）排列组合混合问题：例例3：从从
16、6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同名男同学和学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。项工作。一共有多少种分配方案。一共有多少种分配方案。解解1：分三步完成，分三步完成，1.选选3名男同学有名男同学有C63种，种，2.选选2名女同学有名女同学有C42种，种，3.对选出的对选出的5人分配人分配5种不同的种不同的工作有工作有A55种，根据乘法原理种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种种).例例3：从从6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同名男同学和学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E
17、5项工作。项工作。一共有多少种分配方案。一共有多少种分配方案。解解2：把把工作当作元素，同学看作位置工作当作元素，同学看作位置，1.从从5种种工作中任选工作中任选3种（组合问题）分给种（组合问题）分给6个男同学中的个男同学中的3人人（排列问题）有（排列问题）有C53.A63种种,第二步第二步,将余下的将余下的2个工作分给个工作分给4个女同学中的个女同学中的2人有人有A42种种.根据乘法原理共有根据乘法原理共有C53.A63.A42=14400(种种).亦可先分配给女同学工作亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作再给男同学分配工作,分配分配方案有方案有C52.A42.A63=14400(种种
18、).2 21 11 11 18 82 27 77 72 2(A A+C C C C C C)1 12 27 77 7C C A A2 21 11 11 18 82 27 77 72 2(A A+C C C C C C)1 12 27 77 7C C A A 排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象。考起来又比较抽象。“具体排具体排”是抽象转化为是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。“具体排具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗可以帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的
19、方漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法是法是“想透，排够不重不漏想透，排够不重不漏”是很有道理的。是很有道理的。解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。广泛运用。典型例题典型例题 1.4名优等生被保送到名优等生被保送到3所学校，每所学校，每所学校至少所学校至少得得1名，则不同的保送方案总数为（名，则不同的保送方案总数为（）。）。（A)36 (B)24
20、 (C)12 (D)6 2.若把英语单词若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（出现的错误的种数是（）（A)20 (B)19 (C)10 (D)69 3.小于小于50000且含有两个且含有两个5，而其它数字不重复的五位数，而其它数字不重复的五位数有（有（）个。）个。（A)(B)(C)(D)282414CCC282414ACC442814ACC282414AAAABB2343C A3252C1A 练练 习习 3.15 人按照下列要求分配，求不同的人按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。(1)分为三组，每组分为三组，每组5人
21、人,共有共有_ 种不同的分法。种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各人，另两组各4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组人，一组5人，一组人，一组4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。4.8名同学选出名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有不站中间两位的排法有_种。种。5.某班有某班有27名男生名男生13女生，要各选女生，要各选3人组成人组成班委会和团支部每队班委会和团支部每队3人，人，3人中人中2男男1女，共有女，共有_ 种不同的选法。种不同的选法。3355510515/ACCC22334448715/AACCC334459615ACCC222226331237124446AACAACCAC221224213427ACCCC
