1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例
2、例1.求由方程03275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy0确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinl
3、n两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)对幂指函数vuy 可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 又
4、如又如,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,机动 目录
5、上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty练习练习:P111 题8(1),1221tytxxydd;1t22
6、ddxy21tt31t解解:注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则yxo2212tgtvy机动 目录 上页 下页 返回 结束 抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出(即
7、 t=0)时,倾角为12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、相关变化率)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间
8、也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h=500m 时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114.0)minrad/(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思
9、考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水Rhxhr例例8.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,
10、ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx体积为 V,则R机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程sincosryrxcossinxy
11、ddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M 切线方程为22xy2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设)(xyy 由方程eyxey确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0yxyyey再求导,得2yey yxey)(02 y当0 x时,1y故由 得ey1)0(再代入 得21
12、)0(ey 求.)0(y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P110 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数.,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd备用题备用题xe111.设机动 目录 上页 下页 返回 结束,求01sin232ytettxy.dd0txy解解：txddyetydd0ddtxy2.设方程组两边同时对 t 求导,得26 ttyddtsin0ddtyt
13、eycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1(costyyttete2e0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)(x
14、关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,定义定义:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且)(xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知)(
15、xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点
16、 的可导,0 x)0)(0时 xf则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,3xy
17、yd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctan xy ydxxd112基本初等函数的微分公式(见 P115表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvu分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.,)1(ln2xey求.dy解解:211d
18、xey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设,0)cos(sinyxxy求.dy解解:利用一阶微分形式不变性,有0)d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(tt dcos)d()2(221xtsin1说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意:数学中的反问题往往出现多值性.)(22 4
19、4)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性,例如注意 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1()1(x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4()1l
20、n()5(x证明证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 180dx29sin的近似值.解解:设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175.0(485.0)180(例例4.求29sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848.029sin5245的近似值.解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048.3例例5.计算xx1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解解:
21、已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01.0,1RR时体积的增量,VVVd01.01RRRR 2401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.)cmg9.8:(3铜的密度估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式
22、误差传递公式:已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设测得圆钢截面的直径 mm,0.60D测量D 的 绝对误差限,mm05.0D欲利用公式24DA圆钢截面积,解解:计算 A 的绝对误差限约为DAADD205.00.602715.4 A 的相对误差限约为242DDADADD20.6005.02%17.0试估计面积的误差.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束(mm)内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义
23、 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设函数)(xfy 的图形如下,试在图中标出的点0 x处的yy,d及,dyy 并说明其正负.yd0 xx00 xxyoy00yyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand.3x3secxxd2sin)(d.4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解:方程两边求微
24、分,得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6.设,0a且,nab 则nnba1nanba机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P122 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 1.已知,)1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd备用题备用题22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分,得已知,yxexy求.d y解解：xyyxdd
25、yd2.)d(dyxeyxxexeyyxyxd习题课 目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数:xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分:xxfxfd)()(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 关系关系:可导可微(思考 P124 题1)应用应用:(1)利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数
26、定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解:原式=xxfxxxfx )()(lim02002)(xx2)(xx)(0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.若0)1(f且)1(f 存在,求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx解解:1)cos(sinlim20 xx
27、x原式=220)cos(sinlimxxxfx且0)1(f联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考:P124 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.设1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf试确定常数 a,b 使 f(x
28、)处处可导,并求.)(xf 解解:)(xf1x,bxa 1x,)1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf)1()1()1(fff)1()1(ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1)1(21ba2a机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,2ba2)1(f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数?判别判别:机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xf1x,bxa 1x,)1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)()(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例5.所以 )(xf0 x在处连续.即)(xf
29、0 x在处可导.xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性.xxxx120sinlim0)0(f机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6.设,)(arct
30、ansin1sinxxxfeey其中)(xf可微,.y求解解:yd)d(sinsin xxee)d(sinsinxxee)d(arctan)(arctan11xxf)d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee)d(11)(arctan1112xxxfxexexxd)sin(cossinxfxxd)(arctan1112xyyddxxee cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.，有定义时设)(0 xgx 且)(xg 存在,问怎样选择cba,可使下述函数在0 x处有二阶导数.)(xf解解:由题设)0(f 存在,因此1)利用)(xf在0 x连续,即,)0()0()
31、0(fff得)0(gc 2)利用,)0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0(g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0(gb得0,2xcbxax0,)(xxg机动 目录 上页 下页 返回 结束)0(gb3)利用,)0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0(g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc)(xf0,2xcbxax0,)(xxg机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.8.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.dd22xy解解:方程组两边对 t 求导,得txddt 2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0)1(2ttyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ddxy)(ddddxyttxdd )()cos1)(1(ddyttt)1(2t yttysin)1()cos1(23)cos1()1(2yttydd yttysin)1(2)cos1(2233)cos1()1(2yt机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P124 4;5(1);6;7(3),(4),(5);8(2);10;11(2);12;13;15机动 目录 上页 下页 返回 结束
