1、第一章第一章 整式的乘除整式的乘除1.5 1.5 平方差公式平方差公式北师大版数学七年级下册1.1.平方差公式的推导和应用平方差公式的推导和应用.2.2.理解平方差公式的结构特征，灵活应理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式用平方差公式.学习目标学习目标复习回顾：复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn导入新知导入新知1知识点知识点平方差公式平方差公式计算下列各题：计算下列各题：(1)(x+2)(x2)；(2)(1+3a)(13a)；(3)(x+5y)(x5y)；(4)(2y+z)(2yz).观察以上算式及其运算结果，
2、你有什么发现？观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现再举两例验证你的发现.合作探究合作探究平方差公式：平方差公式：(1)平方差公式的推导平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=.(2)文字语言文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于：两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的这两个数的 .(3)符号语言符号语言：(a+b)(a-b)=.a2-ab+ab-b2a2-b2平方差平方差a2-b2新知归纳新知归纳如图如图，从边长为，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长的正方形纸片中剪去一个边长为为b的小正方形，再沿着线段的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的剪开，把剪成
3、的两张纸片拼成如图两张纸片拼成如图的等腰梯形的等腰梯形(1)设图设图中阴影部分面积为中阴影部分面积为S1，图，图中阴影部分面中阴影部分面积为积为S2，请直接用含，请直接用含a，b的代数式表示的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式请写出上述过程所揭示的乘法公式例例1 合作探究合作探究导引：导引：直直先计算图先计算图中阴影部分面积为中阴影部分面积为S1a2b2，再计算图再计算图中阴影部分面积为中阴影部分面积为S2 (2b2a)(ab)，然后根据面积相等得到乘法公式，然后根据面积相等得到乘法公式解：解：(1)S1a2b2，S2 (2b2a)(ab)(ab)(ab)(2)(ab)
4、(ab)a2b2.1212本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错(3)(x 1)(1x)；2 0142 0151，2 0162 0151；解：(1)原式(2 0151)(2 0151)2 015210.D(ab2)(a2b)(2)(1+3a)(13a)；10.本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错例5 运用平方差公式计算：A14 B14解：(1)S1a2b2，(4)(4k+3)(4k3).(10021)10 0013 600 3 599 .(4)(4k+3)(4k3).(2)(1+3a)(13a)；x2xx2 x .数的项的平方平方差公式
5、：平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2两数两数和和与这两数与这两数差差的积，的积，等于等于这两个数的这两个数的平方差平方差.公式变形公式变形:1、(a b)(a+b)=a2b22、(b+a)(b+a)=a2b2(a+b)(ab)=(a)2(b)2 相同为相同为a 相反为相反为b注：注：这里的两数可以是两个这里的两数可以是两个也可以是两个也可以是两个 等等等等适当交换适当交换合理加括号合理加括号例例2 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(56x)；(2)(x2y)(x+2y)；(3)(m+n)(mn).解：解：(1)(5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2
6、；(2)(x2y)(x+2y)=x2(2y)2=x24y2；(3)(m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2.例例3 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)；(2)(ab+8)(ab8).解：解：(2)(ab+8)(ab8)=(ab)264=a2b264.11()()44xyxy 22221111(1)()()();4446 1xyxyxyxy 1计算：计算：(1)(a+2)(a2)；(2)(3a+2b)(3a2b)；(3)(x 1)(1x)；(4)(4k+3)(4k3).(1)(a2)(a2)a222a24.(2)(3a2b)(3a2b)(3a)2(2b)29a24b2.(3)(x1
7、)(1x)(x1)(x1)(x)212x21.(4)(4k3)(4k3)(4k)23216k29.解：解：巩固新知巩固新知下列计算能运用平方差公式的是下列计算能运用平方差公式的是()A(mn)(mn)B(2x3)(3x2)C(5a2b2c)(bc25a2)D.(m2 n3)(m2 n3)223342334D下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是是()A(2ab)(2ab)B(a2)(2a)C(ab)(ab)D(ab2)(a2b)3A4【中考中考衡阳衡阳】已知】已知ab3，ab1，则，则a2b2的值为的值为_【中考中考沈阳沈阳】下列运算正确的是】下列运算正
8、确的是()Ax3x5x8 Bx3x5x15C(x1)(x1)x21 D(2x)52x553C(3)40 39 .(2)原式(10.1、(a b)(a+b)=a2b2Am2，n3例5 运用平方差公式计算：(3)(x 1)(1x)；(1)499501；【中考枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a2)的小正方形(a2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错例4 用平方差公式进行计算：C(ab)(ab)(2)60 59 ；=a2(a2-b2)+a2b2B(2x3)(3x2)(2)(x2y)(x2y)(x1)
9、(x1)x24y2x21(3)9910110 001(1001)(1001)10 001(1)2 0142 0162 0152；(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?【中考南平】下列运算正确的是()6【中考中考南平南平】下列运算正确的是】下列运算正确的是()A3x2y5xy B(m2)3m5C(a1)(a1)a21 D.22bb C7若若(2x3y)(mxny)9y24x2，则，则()Am2，n3 Bm2，n3Cm2，n3 Dm2，n3B8若若x，y满足满足|xy5|(xy9)20，则，则x2y2的值为的值为()A14 B14 C45 D45D9如图如图，在边长为，在边长为a的正方
10、形中剪去一个边长为的正方形中剪去一个边长为b的小的小正方形正方形(ab)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形梯形(如图如图)，利用这两个图形的面积，可以验证，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是的公式是()Aa2b2(ab)(ab)Ba2b2(ab)(ab)C(ab)2a22abb2 D(ab)2a22abb2B10【中考中考枣庄枣庄】如图，在边长为】如图，在边长为2a的正方形中央剪的正方形中央剪去一边长为去一边长为(a2)的小正方形的小正方形(a2)，将剩余部分，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的
11、面积为边形的面积为()Aa24B2a24aC3a24a4 D4a2a2C2知识点知识点平方差公式的应用平方差公式的应用(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?79=88=1113=1212=7981=8080=合作探究合作探究例例4 用平方差公式进行计算：用平方差公式进行计算：(1)10397；(2)118122.解：解：(1)10397=(100+3)(1003)=100232=9 9
12、91；(2)118122=(1202)(100+2)=120222=14 396.例例5 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(1)2 0142 0162 0152；(2)1.030.97；(3)40 39 .导引：导引：在在(1)中，中，2 014与与2 016都与都与2 015相差相差1，即即2 0142 0151，2 0162 0151；在；在(2)中中1.03与与0.97都与都与1相差相差0.03，即，即1.0310.03，0.9710.03；在在(3)中中40 与与39 都与都与40相差相差 ，即，即40 40 ，39 40 ，因此可运用平方差公式进行计，因此可运用平方差公式进行
13、计算算132323132323231323解：解：(1)原式原式(2 0151)(2 0151)2 0152 2 015212 01521；(2)原式原式(10.03)(10.03)120.032 10.000 90.999 1；(3)原式原式22222(40)(40)40()333 4516001599.99 本题运用了本题运用了转化思想转化思想求解运用平方差公式计算两数求解运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式
14、，再用平方差公式可求解的差的积的形式，再用平方差公式可求解新知小结新知小结C45 D45本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错(1)499501；(2)118122.C(x1)(x1)x21(1)499501；C(x1)(x1)x21(a+b)(m+n)D(ab)2a22abb210.(3)9910110 001(1001)(1001)10 001(2)(ab+8)(ab8)=(ab)264=a2b264.C(ab)(ab)(10 0001)(10 0001)且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相(x)212x21.乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两
15、例3 利用平方差公式计算：=(1202)(100+2)例例6 计算：计算：(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2；(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).解：解：(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2；=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+a2b2=a4；(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).=(2x)2-25-(4x2 -6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25合作探究合作探究1(1)704696(7004)(7004)700242489 984.(2)(x2y)(x2y)(x1)(x1)x24y2x21 2x24y21.(3)x(x1)x2x x2
16、xx2 x .解：解：(1)704696；(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)(x1)；(3)x(x1)(x )(x+).13131133xx 219x 1919巩固新知巩固新知2计算计算2 01622 0152 017的结果是的结果是()A1 B1C2 D2A3(1)499501(5001)(5001)500212 250 0001249 999.(2)60 59 (60 )602 3 600 3 599 .解：解：23计算：计算：(1)499501；(2)60 59 ；1323132603 223 234959(3)9910110 001(1001)(1001)10 001 (1002
17、1)10 001 9 99910 001 (10 0001)(10 0001)10 00021 99 999 999.解：解：(3)9910110 001.1.平方差公式的特征：平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并左边是两个二项式相乘，并 且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相 反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反 数的项的平方数的项的平方2.公式公式(ab)(ab)a2b2中的中的字母字母a，b可以是单可以是单 项式，也可以是多项式项式，也可以是多项式3.平方差公式可以逆用：平方差公式可以逆用
18、：a2b2(ab)(ab)1知识小结知识小结归纳新知归纳新知下列运算正确的是下列运算正确的是()易错点：易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错对平方差公式的特征理解不透而出错2易错小结易错小结22222222A224B224C(2)()()()()()()()24D224ab ababab abababababababab D本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错征没有认识清楚从而导致选错a2b2和和差差平方差平方差课后练习课后练习CDBCC24119 999BDDC【答案】【答案】B二二去括号时没有变号去括号时没有变号a2b2(ab)(ab)【答案】【答案】a2 024b2 024anbn再见再见
