1、1 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设5.2.1、二次型的变量替换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形2AxxfT 证明证明于于是是即即有有为为对对称称矩矩阵阵,TAAA TTTACCB 有有将将其其代代入入,AxxfT .yACCyTT CyACyT .,1ARBRBAACCBCT 且且也也为为对
2、对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵定定理理CACTT,BACCT ,ACCBT ,ARACRBR ,11 BCCAT又又 .1BRBCRAR .BRAR 即即 为对称矩阵为对称矩阵.B3说明说明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型,2 Cyxf.,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT;,1 ACCBAfCyx.T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换4定义定义 设A
3、,B都是n 阶方阵,如果存在可逆阵C，使CTAC=B，则称A与B合同合同,记成AB.此时也称矩阵A经过合同变换化为矩阵B.合同关系具有以下性质：(证明见P217)（1）自反性：A A.（2）对称性：若 A B则 B A.（3）传递性：若 A B，B C则 A C.（4）A与B合同，则r(A)=r(B).合同等价，合同等秩，反之都不成立但不等秩，则一定不合同.矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似，也是n阶方阵之间的一种等价关系.即55.2.2、用配方法化二次型为标准型问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有
4、问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法用线性变换化二次型为标准形，等价于二次用线性变换化二次型为标准形，等价于二次型的矩阵经合同变换化为对角阵由上一章可知型的矩阵经合同变换化为对角阵由上一章可知对称矩阵可经正交变换化为对角阵对称矩阵可经正交变换化为对角阵61.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;ixix kkjijj
5、iiyxyyxyyx jiknk,2,1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.7解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方
6、项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项8 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx932312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC10,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.
7、,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即11再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即12所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C13 对A交替作初等行变换和相应的初等列变换
8、，对A作列变换时，同时对E作相同的列变换，当A 化作标准形时，E就化作了C.这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵.即 .TAC ACEC5.2.3、用初等变换法化二次型为标准形AE 矩阵的初等变换法是对二次型矩阵A，构造一个2nn的矩阵 ，14分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列交换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0.T010111011fXX例例3 用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换。15解：10001000111011101010000101010100111110011101001011000110001111010001
9、000116011,110001XCYC222123fyyy由此得标准形所用的可逆线性变换为17有有型型把把此此结结论论应应用用于于二二次次即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij,21,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 5.2.4、用正交变换法化二次型为标准形18用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求
10、求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 19化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面曲面.323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 例例 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型20,333351315 A二二次次型型的的矩
11、矩阵阵为为解解),9)(4()det(AE可求得,9,4,0321 的的特特征征值值为为于于是是A.111,011,211 321 ppp对应特征向量为对应特征向量为21将其单位化得将其单位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq22故正交变换为故正交变换为,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化化二二次次型型为为.1),(321表示椭圆柱面表示椭圆柱面可知可知 xxxf232222211nnydydyd，或，的值是如果系数011,21nddd5.2.5、二次型的规范型有标准型 则称这个标准型是
12、原二次型的规范型规范型。AXXxxxfTn),(21定义 设n元二次型2422112222211rrppppydydydydyd)();,2,1(,0Arrridi其中AXXxxxfTn),(21定理定理 任一个二次型都可以经过非退化线性变换化为规范型。或者说，任一个对称矩阵都合同于一个对角阵，并且这个对角阵的对角线元素是1，-1或0。化为标准型AXXxxxfTn),(21证明：设n元二次型25nnrrrrzyzydyzdy,1,111111221221rppzzzz则化为作非退化线性变换26，；经非退化现行变换CZXBYX)1(22122221rppyyyyy)2(22122221rqqzz
13、zzz现考虑方程组不妨设,qp AXXxxxfTn),(21定理定理 任一个二次型它的规范型是唯一规范型是唯一的。即规范型中正项的个数和负项的个数是由原二次型唯一确定的。AXXxxxfTn),(21证明：设n元二次型分别化为如下的规范型27)3(0,0,0,011nqpzzyy),2,1(),2,1(nkzniyki和因为每个的线性组合，都是nxxx,21个方程的方程组。的)(,21npqnxxxn),()3(21nxxx必有非零解因此)4(0221rpyyf)5(022221qzzzf个未知量式是含有所以n)3(有将其分别代入)2(),1(28,0f所以有),2,1(,0),5();3(nk
14、zk可得又由0),(,21nxxxXCZX所以因为.qpX非零矛盾，故应有这与.qp 同理可证定义定义 二次型的规范型中正项的个数叫二次型的正惯性指标；负项的个数叫二次型的负惯性指标；它们的差叫二次型的符号差符号差。295.2.6、小结将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法和和初等变换法初等变换法，这取决于问题的要求这取决于问题的要求如果如果要求找出一个正交矩要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；阵，无疑应使用正交变换法；如果如果只需要找出一只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆
15、的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的得到的标准形可能不相同标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩30解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 14
16、4241422217A144241422217AE 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 231从而得特征值从而得特征值.18,9321 得基础解系代入将,091xAE2 2求特征向量求特征向量得基础解系代入将,01832xAE,)0,1,2(2 T.)1,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1,54,52(3 T,)0,1,2(2 T,)1,1,21(1T 32 ,3,2,1,iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P33于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有
