1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”6 17.已知数列 n a的前n项和为 n S，且21 nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 1 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T. 18.已知多面体 ABCDEF中，四边形 ABFE 为正方形，90CFEDEF，22DECFEF，G为 AB 的中点，3GD. （1）求证：AE平面 CDEF； （2）求平面 ACD与平面 BCF所成锐二面角的余弦值. 19.美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪 70 元，每单抽成 1 元；百度外 卖规定底薪 100 元
2、，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单抽成 6 元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数 相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其 100 天的送餐单数，得到如下条形图： （）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系； （）若将频率视为概率，回答下列问题： 记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元） ，求X的分布列和数学期望； 小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为 他作出选择，并说明理由. 20.已知矩形 EFMN，| 2 2EF ，| | 1FM ，以 EF的中点 O 为原点，建立如图
3、的平面直角坐标系，若椭圆 以 E，F 为焦点，且经过 M，N 两点. （1）求椭圆方程； （2）直线: l yxm与相交于 A，B两点，在 y 轴上是否存在点 C，使得 ABC为正三角形，若存在，求出 l的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数 2 ( ) x mxxm f x e ，mR （1）当2m时，求函数 ( )f x的单调区间； （2）记函数 ( )f x的导函数为 ( )fx ，若函数 ( )f x存在两个小于零的零点 1212 ,x xxx，证明： 12 12 2 xx fxfxf . 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，曲线2:cosC
4、，直角坐标系中，直线 l： 3 3 2 1 2 xt yt （t 为参数） （直角坐标系 xOy 与 极坐标系有相同的长度单位，且以极点 O为原点，极轴所在直线为 x轴）. （1）求曲线 C 和直线 l的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （2）若 A，B 为曲线 C上两点，且 3 AOB ，求|OAOB的最大值. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数( )1 2f xxx . （1）求不等式2( )0f x 的解集A； （2）若,m nA，证明：1 42mnmn. 2020 届高三数学（理） “大题精练”6（答案解析） 17.已知数列 n a的前n项和为 n S，且21
5、 nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 1 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T. 【解解】 （1）当1n 时， 111 21aSa，得 1 1a， 当2n时，有 11 21 nn Sa ， 所以 11 22 nnnnn aSSaa ， 即 1 2 nn aa ，满足2n时， 1 2 n n a a ， 所以 n a是公比为 2，首项为 1 的等比数列， 故通项公式为 1 2n n a （2） 1 1 1 2211 2 1121212121 n n n nn nn nn a b aa ， 123 011223 111111 222
6、 212121212121 nn Tbbbb 1 11 2 2121 nn 21 21 n n 18.已知多面体 ABCDEF中，四边形 ABFE 为正方形，90CFEDEF，22DECFEF，G为 AB 的中点，3GD. （1）求证：AE平面 CDEF； （2）求平面 ACD与平面 BCF所成锐二面角的余弦值. 【解解】(1)证明：取EF中点N,连接,GN DN,根据题意可知,四边形ABFE是边长为 2 的正方形,所以GNEF, 易求得 22 5DNENED ,所以 222 459GNNDGD , 于是GNDN ； 而EFDNN,所以GN 平面CDEF,又因为/GNAE,所以AE平面CDEF
7、； (2)因为AE平面CDEF,且90DEF ,故以E为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系. 由题意可知0,0,2 ,0,2,0 ,2,1,0ADC,故0,2, 2 ,2,1,0ADCD . 设平面ACD的法向量, ,mx y z,则 0 0 m AD m CD ,即 220 20 yz xy , 不妨设1x ,则易得2,2yz.故1,2,2m . 又,EFFC EFBF,故可设平面BCF的法向量1,0,0n r . 设平面ACD与平面BCF所成锐二面角为,故 222 11 cos 3 1221 m n mn . 19.美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底
8、薪 70 元，每单抽成 1 元；百度外 卖规定底薪 100 元，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单抽成 6 元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数 相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其 100 天的送餐单数，得到如下条形图： （）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系； （）若将频率视为概率，回答下列问题： 记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元） ，求X的分布列和数学期望； 小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为 他作出选择，并说明理由. 【解解】 （I） * * 10045
9、, 6170(45,) nnN y nnnN （II） X 100 106 118 130 P 0.2 0.3 0.4 0.1 100 0.2 106 0.3 118 0.4 130 0.1 112E X （元）美团外卖“骑手”日平均送餐单数为： 42 0.2 44 0.4 46 0.2 48 0.1 50 0.145 所以美团外卖“骑手”日平均工资为：7045 1 115 （元） 由知，百度外卖“骑手”日平均工资为 112 元. 故推荐小明去美团外卖应聘. 20.已知矩形 EFMN，| 2 2EF ，| | 1FM ，以 EF的中点 O 为原点，建立如图的平面直角坐标系，若椭圆 以 E，F
10、为焦点，且经过 M，N 两点. （1）求椭圆方程； （2）直线: l yxm与相交于 A，B两点，在 y 轴上是否存在点 C，使得 ABC为正三角形，若存在，求出 l的方程；若不存在，说明理由. 【解解】(1)设椭圆的方程为 22 22 1,0 xy ab ab , 222 0abcc, 则根据题意有1 83ME ,由椭圆的定义有23 14aMEMF , 22 2cEF,故 2,2ac ,所以 2 422b . 故椭圆的方程为 22 1 42 xy . (2) 假设y轴上存在点C使得ABC为等边三角形,设 1122 ,A x yB x y. AB中点为 , pp P xy,则PC AB, 3
11、2 PCAB . 联立 22 1 42 xy yxm ,整理得 22 34240xmxm . 则 22 164 3 240mm ,解得 66m . 由韦达定理得 12 4 3 m xx , 2 12 24 3 m x x , 故 2 22 2 4244 6 1 14 333 mmm AB , 又 12 2 23 p xxm x , 2 33 p mm ym ,即 2 , 33 m m P ,则直线PC的方程为 3 m yx ,令0x,可得 3 m y ,即0, 3 m C . 又因为 3 2 PCAB ,故 2 2 2 234 6 0 33323 mmmm , 即 2 2 22 36 33 m
12、m .解得 3 10 5 m ,满足66m . 故y轴上存在点C使得ABC为等边三角形,此时 0 : 3 1 5 l yx或 0 : 3 1 5 l yx 21.已知函数 2 ( ) x mxxm f x e ，mR （1）当2m时，求函数 ( )f x的单调区间； （2）记函数 ( )f x的导函数为 ( )fx ，若函数 ( )f x存在两个小于零的零点 1212 ,x xxx，证明： 12 12 2 xx fxfxf . 【解解】(1) 当2m时, 2 22 ( ) x xx f x e ,此时 2 1 21231 ( ) xx xxxx fx ee . 令( )0fx 解得 1 1 2
13、 x,令( )0fx 解得 1 2 x 或1x , 故 ( )f x的单调增区间为 1 ,1 2 ,单调减区间为 1 , 2 与 1, (2) 由题, 2 ( )0 x mxxm f x e 有两个小于零的零点,故 2 1 0 2 140 m m ,解得 1 0 2 m. 由题, 1212 ,x xxx为 2 0mxxm的两根,故 1212 1 ,1 m xxx x 又 2 211 ( 11 ) xx mxmxmxm f m ee x x . 故 1 11 1 ( ) 11 x mxm fx x e , 2 22 2 () 11 x mxm fx x e . 所以 12 1 2 2 21212
14、12 12 ( )( 1 ) 11 xx m x xm mxxmxx fxf xx x e , 代入韦达定理可得 12 2 2 1 ( )( 1 ) 1 12 m mm fxfx m m e , 化简得 12 2 2 1 ( )( 1 ) 1 12 m mm fxfx m m e 2 1 41 = m e m . 又 2 12 11 22 11 1 122 4 22 mm mm m xxmm m ff m ee 2 1 2 41 4 m m me . 因为 1 0 2 m,故 2 410m . 故欲证 12 12 2 xx fxfxf ,即证11 22 2 41 4 41 mm m eme m
15、 ,即证 1 2 1 4 m e m . 设 1 1, 2m t.即证 1 2 t et. 设函数 1 ,1, 2 t tet t . 故 1 0 2 t te,故 1 ,1, 2 t tet t为增函数. 故 11 10 22 t tete,即 1 2 t et. 故 12 12 2 xx fxfxf 成立. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，曲线2:cosC，直角坐标系中，直线 l： 3 3 2 1 2 xt yt （t 为参数） （直角坐标系 xOy 与 极坐标系有相同的长度单位，且以极点 O为原点，极轴所在直线为 x轴）. （1）求曲线 C 和直
16、线 l的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （2）若 A，B 为曲线 C上两点，且 3 AOB ，求|OAOB的最大值. 【解解】(1)由2:cosC可得 2 2222 2 cos211xyxxy. 又 3 3 3 3 2 2 1 3 3 2 2 xt xt yt yt 330xy. 故 2 2 :11Cxy,:330l xy.又圆心1,0到:330l xy的距离 1 3 1 1 3 d ,故圆C与直 线:330l xy相切. (2) 不妨设 1, A , 2, 3 B ,则12| |2cos2cos 3 OAOB 3cos3sin2 3cos 6 . 当0 6 ,即 6 时|OAOB取最大值2 3. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数( )1 2f xxx . （1）求不等式2( )0f x 的解集A； （2）若,m nA，证明：1 42mnmn. 【解解】 （）依题意， 3,2, 12 21, 21, 3,1, x f xxxxx x 由221 0x ，解得 11 22 x，故 1 1 , 2 2 A （）由（）可知， 22 11 , 44 mn； 因为 22 144mnmn 222222 1 8164241410mnm nmmnnmn ， 故 22 144mnmn，故1 42mnmn
