1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”12 17某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收 费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次第 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次 收费比率 1 0.95 0.90 0.85 0.80 该公司注册的会员中没有消费超过 5 次的，从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统 计，得到统计数据如下： 消费次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 人数 60 20 10 5 5 假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题： （1）某会员仅消费两次
2、，求这两次消费中，公司获得的平均利润； （2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利 润为X元，求X的分布列和数学期望E X 18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 2 3 sin()cos 22 B AC . （1）求sinB； （2）若ABC的周长为 8，求ABC的面积的取值范围. 19如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，且 60ADC， 11 5AACD， 1 7AD . （1）证明：平面 1 CDD 平面ABCD； （2）求二面角 1 DADC的余弦值. 20 设椭圆 22 :1 82 xy C
3、， 过点 2,1A的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P、 Q，直线PQ恒过点4,0B （1）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值； （2）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使 得GMGN为定值?若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由. 21设函数 2 sinf xxx ，0, 2 x ， 2 2 cos 22 xm g xxx ， mR. （1）证明： 0f x ； （2）当0, 2 x 时，不等式 4 g x 恒成立，求m的取值范围. 22在直角坐标系xOy中，直线 3cos : sin xt l yt （t为参数）与曲线 2 2 : 2 xm C y
4、m （m为参数）相交于不同的两点A，B. （1）当 4 时，求直线l与曲线C的普通方程； （2）若2MA MBMAMB，其中3,0M，求直线l的倾斜角. 23已知函数 11f xxax （1）当1a 时，求不等式 4f x 的解集； （2）当1x 时，不等式 3f xxb成立，证明：0ab 2020 届高三数学（理） “大题精练”12（答案解析） 17某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收 费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次第 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次 收费比率 1 0.95 0.90 0.8
5、5 0.80 该公司注册的会员中没有消费超过 5 次的，从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统 计，得到统计数据如下： 消费次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 人数 60 20 10 5 5 假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题： （1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润； （2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利 润为X元，求X的分布列和数学期望E X 【解】 （1）第一次消费为 200 元，利润为 50 元：第二次消费 190 元，利润为 40 元 两次消费的平均利润为 45 元 （2）若
6、该会员消费 1 次，则50X 500.6P X 若该会员消费 2 次，则 5040 45 2 X 450.2P X 若该会员消费 3 次，则 504030 40 3 X (40)0.1P X 若该会员消费 4 次，则 50403020 35 4 X (35)0.05P X 若该会员消费 5 次，则 50403020 10 30 5 X (30)0.05P X 故 X 的分布列为： X 50 45 40 35 30 P 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05 X的期望为50 0.6 45 0.2 40 0.1 35 0.05 30 0.0546.25EX （元） 18ABC的内角A，B，C的
7、对边分别为a，b，c，设 2 3 sin()cos 22 B AC . （1）求sinB； （2）若ABC的周长为 8，求ABC的面积的取值范围. 【解】 （1） 2 3 sin()cos 22 B ACQ且sin( )sinACB 2 33 sin2sincoscos 22222 BBB B， 又0 22 B Q，sin03sincos 222 BBB 33 tansin 232632 BB BB （2）由题意知：8()bac 222 64 16()21 cos 222 acbacac B acac 364 16()6432acacac ， 332640(38)(8)0acacacac 8
8、3 ac或 8ac （舍） 64 9 ac 1316 3 sin 249 ABC SacBac （当 ac 时取“”） 综上，ABC的面积的取值范围为 16 3 0, 9 19如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，且 60ADC， 11 5AACD， 1 7AD . （1）证明：平面 1 CDD 平面ABCD； （2）求二面角 1 DADC的余弦值. 【解】 （1）令CD的中点为O，连接OA， 1 OD，AC 11 5,2AACDDCQ， 1 DODC且 22 11 2DODDDO 又底面ABCD为边长为 2 的菱形， 且603ADCAO 又 1 7
9、AD Q 222 111 ADDOAODOOA 又 ,OA DC Q 平面ABCD， 1 OADCODO平面ABCD 又 1 DOQ平面 1 CDD，平面 1 CDD 平面ABCD， （2）过O作直线OHAD于H，连接 1 D H 1 DO 平面ABCD， 1 DOAD AD面 1 OHD， 1 ADHD 1 D HO为二面角 1 DADC所成的平面角 又1,60ODODAQ 3 2 OH， 1 19 2 D H 1 57 cos 19 OHD 20 设椭圆 22 :1 82 xy C， 过点 2,1A的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P、 Q，直线PQ恒过点4,0B （1）证明：直线AP，
10、AQ的斜率之和为定值； （2）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使 得GMGN为定值?若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由. 【解】 （1）设 112234 ,0 ,0P x yQ x yM xN x，直线PQAPAQ、的斜率 分别为 12 ,k k k，由 22 4 48 yk x xy 得 2222 14326480kxk xk ，可得： 22 2 1212 22 132648 , 41 41 4 kk kxxx x kk ， 121212 12 12 12121212 41412(61)16411 222224 k xk xkx xkxxkyy k
11、k xxxxx xxx 22 2 22 222 22 64832 2(61)164 164 1 481 4 1 64832164 24 1 41 4 kk kkk k kk kkk kk （2）由 1 12ykx ，令0y ，得 3 1 1 2x k ，即 1 1 2,0M k 同理 4 2 1 2x k ，即 2 1 2,0N k ，设x轴上存在定点 0,0 G x则 2 0000 121212 11111 2222GMGNxxxx kkkkk k 2 12 00 1212 1 22 kk xx k kk k 2 00 1212 11 22xx k kk k ，要使 GMGN为定值，即 00
12、 21,3xx 故x轴上存在定点3,0G使GMGN为定值，该定值为 1 21设函数 2 sinf xxx ，0, 2 x ， 2 2 cos 22 xm g xxx ， mR. （1）证明： 0f x ； （2）当0, 2 x 时，不等式 4 g x 恒成立，求m的取值范围. 【解】 （1） 2 ( )cosfxx 在0, 2 x 上单调递增， 22 ( )1,fx ， 所以存在唯一 0 0, 2 x ， 0 0fx .当 0 0,( )0xxf x， f x递减； 当 0, ,( )0 2 xxfx ， f x递增. 所以 max ( )max(0),0 2 f xff ，( )0,0 2
13、f xx （2） 2 ( )sin 2 x g xxm x ， 2 ( )cosgxxm 当0m 时， 0g x， g x在0, 2 x 上单调递减， min ( ) 24 g xg ，满足题意 当 2 0m 时， gx在0, 2 x 上单调递增， 2 (0)10gm ， 2 0 2 gm ， 所以存在唯一 1 0, 2 x ， 1 0gx. 当 1 0,0xxgx， g x递减；当 1, ,0 2 xxgx ， g x 递增 而(0)0 2 gm ，0 2 g .所以存在唯一 22 0,0 2 xgx . 当 2 0,( )0xxg x， g x递增；当 2, ,( )0, ( ) 2 xx
14、g xg x 递减. 要0 2 x 时，( ) 4 g x 恒成立， 即 2 (0) 428 24 g m g 所以 2 28 0m 当 2 m 时，( )0gx ，当0, 2 x ， g x 递减，0,( )0 2 gg x ( )g x 在0, 2 x 递增，( ) 24 g xg 与题意矛盾 综上：m的取值范围为 2 28 , 22在直角坐标系xOy中，直线 3cos : sin xt l yt （t为参数）与曲线 2 2 : 2 xm C ym （m为参数）相交于不同的两点A，B. （1）当 4 时，求直线l与曲线C的普通方程； （2）若2MA MBMAMB，其中3,0M，求直线l的倾
15、斜角. 【解】（1） 当 4 时直线l的普通方程为：yx3 ； 曲线C的普通方程为 2 2yx； （2）将直线 3cos : sin xt l yt 代入 2 2yx得 22 sin2cos2 30tt 22 121 2 22 2cos2 3 4cos8 3sin0, sinsin ttt t 1 212 22 2 32cos3 | 2|22, |cos| sinsin2 MA MBMAMBt ttt 所以直线l的倾斜角为 6 或 5 6 23已知函数 11f xxax （1）当1a 时，求不等式 4f x 的解集； （2）当1x 时，不等式 3f xxb成立，证明：0ab 【解】 （1）解：当1a 时( ) |1|1|f xxx 若1x 则( )2412f xxx 若11x 则( )24f x 成立 若1x则( )242f xxx 21x 综上，不等式的解集为22xx （2）当1x 时1 |1| 3xaxxb |1| 2121121axxbxbaxxb (2)2 (2) axb ab 20 2222 22 000 20 222 20 a aa ab ababab a ababa ab
