1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”13 17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据 其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2 ,2 )xs xs之外， 则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件. 18如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 1,2,1,ACBCABBCBC平面 ABC. （1）证明：平面 11 AACC 平面
2、11 BCC B （2）求二面角 1 AB BC的余弦值. 19, ,a b c分别为ABC 的内角, ,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA. （1）若1, 6 bA ，求sinB； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长. 20已知函数 32 ( )21f xxmxm. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若函数 ( )f x在区间0,)上的最小值为 3，求 m 的值. 21如图,已知抛物线 E:y2=4x 与圆 M:(x3)2+y2=r2(r0)相交于 A,B,C,D 四个点. (1)求 r 的取值范围; (2)设四边形 ABCD 的面积为
3、 S,当 S 最大时,求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标. 22在直角坐标系中，已知圆 222 :()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin2 4 平分圆 M 的周长. （1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 12 ,l l，其中 1 l与圆 M 交于 O，A 两点， 2 l与圆 M 交 于 O，B 两点，求OAB面积的最大值. 23已知正实数ab，满足4ab . （1）求 14 ab 的最小值. （2）证明： 22 1125 2 ab ab 2020 届高三数学（理） “大题精练”13（答案解析
4、） 17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据 其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2 ,2 )xs xs之外， 则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件. 【解】 （1）35 10 0.005 45 10 0.010 55 10 0.015 65 10 0.030x 75 10 0.02085 0.015 95 10 0.00566.5
5、（2）266.53096.5,266.53036.5,10096.5xsxs 所以该零件属于“不合格”的零件 18如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 1,2,1,ACBCABBCBC平面 ABC. （1）证明：平面 11 AACC 平面 11 BCC B （2）求二面角 1 AB BC的余弦值. 【解】 （1）证明：因为 1 BC 平面 ABC，所以 1 BCAC 因为1,2ACBCAB.所以 222 ACBCAB .即AC BC 又 1 BCBCC.所以AC 平面 11 BCC B 因为AC 平面 11 A ACC.所以平面 11 AACC 平面 11 BCC B （2）解：由题
6、可得 1 ,BC CA CB两两垂直，所以分别以 1 ,CA CB BC所在直线为 x 轴， y 轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，则 1 (1,0,0), (0,0,0), (0,1,0),(0,0,1)ACBB，所以 1 (0, 1,1),( 1,1,0)BBAB 设平面 1 ABB的一个法向量为 ( , , )mx y z， 由 1 0,0m BBm AB.得 0 0 yz xy 令1x ，得(1,1,1)m 又CA平面 1 CBB，所以平面 1 CBB的一个法向量为CA (1,0,0). 13 cos, 33 m CA 所以二面角 1 AB BC的余弦值为 3 3 .
7、19, ,a b c分别为ABC 的内角, ,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA. （1）若1, 6 bA ，求sinB； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长. 【解】 （1）由sin4sin8sinaABA，得48a aba， 即48ab. 因为1b，所以4a. 由 41 sin sin 6 B ，得 1 sin 8 B . （2）因为482 44ababab， 所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立. 因为ABC的面积 11 sin4 sin3 223 SabC . 所以当44ab时，ABC的面积取得最大值， 此时 222 412 4 1
8、cos13 3 c ，则 13c ， 所以ABC的周长为513. 20已知函数 32 ( )21f xxmxm. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若函数 ( )f x在区间0,)上的最小值为 3，求 m 的值. 【解】 （1） 2 ( )622 (3)fxxmxxxm 若0m，当(,0), 3 m x 时，( )0fx ； 当0, 3 m x 时.( )0fx ， 所以 ( )f x在(,0), 3 m 上单调递增，在0, 3 m 上单调递减 若0,( ) 0mfx . ( )f x在 R 上单调递增 若0m，当,(0,) 3 m x 时，( )0fx ； 当,0 3 m x 时.(
9、 )0fx ， 所以 ( )f x在,(0,) 3 m 上单调递增，在,0 3 m 上单调递减 （2）由（1）可知，当0m 时， ( )f x在0,)上单调递增，则 min ( )(0)13f xfm .则-4m不合题意 当0m时， ( )f x在0, 3 m 上单调递减，在, 3 m 上单调递增. 则 33 min 2 ( )13 3279 mmm f xfm ，即 3 40 27 m m 又因为 3 ( )4 27 m g mm单调递增，且 ( 3)0g ，故3m 综上，3m 21如图,已知抛物线 E:y2=4x 与圆 M:(x3)2+y2=r2(r0)相交于 A,B,C,D 四个点. (
10、1)求 r 的取值范围; (2)设四边形 ABCD 的面积为 S,当 S 最大时,求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标. 【解】(1)联立抛物线与圆的方程 2 222 4 , (3), yx xyr 消去 y,得 x22x+9r2=0. 由题意可知 x22x+9r2=0 在(0,+)上有两个不等的实数根, 所以 2 2 44(9)0, 90, r r 解得 2 2r3,即 r(22,3). (2)根据(1)可设方程 x22x+9r2=0 的两个根分别为 x1,x2(0x1x2), 则 A(x1,2 1 x),B(x1, 2 1 x),C(x2, 2 2 x),D(x2,2 2 x),
11、且 x1+x2=2,x1x2=9r2, 所以 S= 1 2 (AB+CD) (x2x1)= 1 2 (4 1 x+4 2 x)(x2x1) =2 1212 2xxx x 2 121 2 ()4xxx x =2 2 22 9r 2 44(9)r . 令 t= 2 9r (0,1),f(t)=S2=4(2+2t)(44t2)= 32(t3+t2t1), f(t)= 32(3t2+2t1)= 32(t+1)(3t1),可得 f(t)在(0, 1 3 )上单调递增,在( 1 3 ,1)上单调递 减,即当 t= 1 3 时,四边形 ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P点坐标为(m
12、,0),由P,A,D三点共线,可得 21 21 22xx xx = 1 1 2 m x x ,整理得 m= 12 x x=t= 1 3 , 所以点 P 的坐标为( 1 3 ,0). 22在直角坐标系中，已知圆 222 :()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin2 4 平分圆 M 的周长. （1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 12 ,l l，其中 1 l与圆 M 交于 O，A 两点， 2 l与圆 M 交 于 O，B 两点，求OAB面积的最大值. 【解】 （1）将sin2 4 化成直角坐标方程，得2xy 则
13、12a ，故1a ， 则圆 22 :(1)(1)2Mxy，即 22 220xyxy， 所以圆 M 的半径为 2. 将圆 M 的方程化成极坐标方程，得 2 2 (sincos )0. 即圆 M 的极坐标方程为2(sincos ). （2）设 1 :212 ,:,|,| 2 llOAOB ， 则 1 2(sincos ), 用 2 代替.可得 2 2(cossin), 22 12 1 ,| | 2 cossin2cos22 2 OHB llSOAOB max2 OAB S 23已知正实数ab，满足4ab . （1）求 14 ab 的最小值. （2）证明： 22 1125 2 ab ab 【解】 （1）因为4ab ，所以 141414 5 44 abba ababab 因为00ab， ，所以 4 4 ba ab （当且仅当 4ba ab ，即 48 , 33 ab 时等号 成立） ， 所以 1419 5(54) 444 ba ab （2）证明： 22 22 1111 4 11 22 ab abab ab ab 因为4ab ，所以 1111111 ()2(22)1 444 ab ab ababba 故 22 1125 2 ab ab （当且仅当2ab 时，等号成立）
