1、第65讲 UNIT 9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 课前双基巩固课堂考点探究教师备用例题 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.2.借助实际问题的直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考试说明 1.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量 X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn(1)均值 称 E(X)=为随机变量 X的均值或 .它反映了离散型随机变量取值的 .(2)方差 称 D(X)=?=1?(xi-?(?)2pi为随机变量?的方差
2、,它刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的 ,并称其算术平方根?(?)为随机变量 X的 .知识聚焦 课前双基巩固 x1p1+x2p2+xipi+xnpn 平均水平 平均偏离程度 数学期望 标准差 2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=.(a,b 为常数)(2)D(aX+b)=.(a,b 为常数)(3)若随机变量X服从两点分布,则 E(X)=,D(X)=.(4)若 XB(n,p),则 E(X)=,D(X)=.3.正态分布 (1)正态曲线:函数,(x)=1 2?e-(?-?)22?2,x(-,+),其中实数和(0)为参数,我们称函数,(x)的图像为 ,简称正态曲线.课前双基巩固 aE(X)+b
3、 正态分布密度曲线 p(1-p)np(1-p)a2D(X)p np(2)正态曲线的特点 曲线位于 x轴 ,与 x轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线 对称;曲线在 处达到峰值1?2;曲线与 x轴之间的面积为 ;当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x轴平移,如图 9-65-1所示;当 一定时,曲线的形状由 确定,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.(如图 9-65-1所示)课前双基巩固 x=上方 1 越小 越大 x=图 9-65-1(3)正态分布的定义及表示 一般地,如果对于任何实数 a,b(ab),随机变量 X满足 P(aXb)=?,?
4、(?)d?,则称随机变量 X服从正态分布,记作 .正态分布的三个常用数据:P(-X+)=;P(-2X+2)=;P(-32c-1)=P(X2c-1)=P(Xc+3),2c-1+c+3=3 2,c=43.课前双基巩固 2.教材改编 已知随机变量 X的分布列为 X-1 0 1 P 12 13 16 若 Y=2X+3,则 E(Y)的值为 .答案 73 解析 E(X)=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.课前双基巩固 3.教材改编 若随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P x 0.2 0.3 0.4 则随机变量 的方差 D()=.答案 1 解析 由 x+0
5、.2+0.3+0.4=1 得x=0.1,所以E()=0 0.1+1 0.2+2 0.3+3 0.4=2,D()=(0-2)2 0.1+(1-2)2 0.2+(2-2)2 0.3+(3-2)2 0.4=1.课前双基巩固 4.教材改编 在如图 9-65-2 所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为 .附:若 XN(,2),则 P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4.图 9-65-2 答案 3413 解析 由 XN(0,1)知,P(-1120)=121-2P(110X120)=0.16,故估
6、计该班学生数学成绩在 120 分以上的有 0.16 50=8(人).课前双基巩固 6.某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中,取得甲等级的概率分别为45,35,25,且三门课程的成绩是否取得甲等级相互独立.记 为该学生取得甲等级的课程数,则 的数学期望 E()的值为 .答案 95 解析 的所有可能取值为0,1,2,3.P(=0)=152535=6125,P(=1)=452535+153535+152525=37125,P(=2)=453535+452525+153525=58125,P(=3)=453525=24125,E()=06125+137125+258125+324125
7、=95.课前双基巩固 7.已知离散型随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 P a 12 14 则随机变量 X的数学期望 E(X)=,方差D(X)=.答案 1 12 解析 由 a+12+14=1,得 a=14,所以E(X)=014+112+214=1,D(X)=(0-1)214+(1-1)212+(2-1)214=12.探究点一 离散型随机变量的均值与方差 课堂考点探究 例 1 2018安庆一中月考 为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标 x)、推理(能力指标 y)、建模(能力指标 z)的相关性,并将它们各自量化为 1,2,3 三个等级,再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素
8、养.若 w7,则数学核心素养等级为一级;若 5w6,则数学核心素养等级为二级;若 3w4,则数学核心素养等级为三级.为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了该校的 10 名学生,得到如下结果:课堂考点探究 学生编号 A1 A2 A3 A4 A5(x,y,z)(2,2,3)(3,2,2)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)学生编号 A6 A7 A8 A9 A10(x,y,z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)(1)在这 10 名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为 a,从
9、数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a-b,求随机变量X的分布列及数学期望.思路点拨(1)利用互斥事件与古典概型的概率计算公式即可得出;(2)由题可知,数学核心素养等级是一级的有 A1,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养等级不是一级的有 A4,A7,A9,A10,X的所有可能取值为 1,2,3,4,5,利用相互独立事件、互斥事件及古典概型的概率计算公式即可得到 P(X=k)(k=1,2,3,4,5),进而得到 X的分布列与数学期望.课堂考点探究 解:(1)由题可知,建模能力指标为 1 的学生是 A9;建模能力指标为 2 的学生是 A2,A4,A5,A
10、7,A10;建模能力指标为 3 的学生是 A1,A3,A6,A8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 A,则 P(A)=C52+C42C102=1645.(2)由题可知,数学核心素养等级是一级的有 A1,A2,A3,A5,A6,A8,且 A1,A2,A4的综合指标为7,A6,A8的综合指标为 8,A3的综合指标为 9.数学核心素养等级不是一级的有 A4,A7,A9,A10,且A9的综合指标为 4,A4的综合指标为 5,A7,A10的综合指标为 6,故 X的所有可能取值为1,2,3,4,5.课堂考点探究 P(X=1)=C31C21C61C41=14,P(X=2)=C31C11+C21C21
11、C61C41=724,P(X=3)=C31C11+C21C11+C11C21C61C41=724,P(X=4)=C21C11+C11C11C61C41=18,P(X=5)=C11C11C61C41=124,随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 14 724 724 18 124 E(X)=114+2724+3724+418+5124=2912.课堂考点探究 总结反思 求离散型随机变量数学期望与方差的一般步骤:(1)理解随机变量 X的意义,写出 X可能取得的全部值;(2)求 X取每个值的概率;(3)写出 X的分布列;(4)由均值与方差的定义求出 E(X)与 D(X).课堂考点探究
12、课堂考点探究 变式题 已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分互不影响,甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于 6 环,且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.记甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为,.(1)求随机变量,的分布列;(2)求随机变量,的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.解:(1)依题意得 0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中 7 环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.故 的分布列为 10
13、9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的分布列为 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 课堂考点探究 变式题 已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分互不影响,甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于 6 环,且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.记甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为,.(1)求随机变量,的分布列;(2)求随机变量,的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.(2)E()=10 0.5+9 0.3+8 0.1+7 0.1=9.2,E()=10 0.3+9 0.3
14、+8 0.2+7 0.2=8.7,D()=0.5(10-9.2)2+0.3(9-9.2)2+0.1(8-9.2)2+0.1(7-9.2)2=0.96,D()=0.3(10-8.7)2+0.3(9-8.7)2+0.2(8-8.7)2+0.2(7-8.7)2=1.21,因为 E()E(),D()D(),所以甲选手的平均成绩比乙高且成绩更稳定,故甲的射击技术更好.探究点二 均值与方差在决策中的应用 课堂考点探究 例 2 有 120 粒试验种子需要播种,现有两种方案:方案一:将 120 粒种子分种在 40 个坑内,每坑 3粒;方案二:将 120 粒种子分种在 60 个坑内,每坑 2 粒.已知每粒种子发
15、芽的概率均为12,每粒种子发芽与否互不影响,并且若一个坑内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没有发芽,则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次,且第二次补种的种子数与第一次相同).假定每个坑第一次播种需要 2 元,补种 1 个坑需要 1 元;每个成活的坑可收获 100 粒试验种子,每粒试验种子收益 1 元.(1)用 1,2分别表示方案一、方案二的播种费用,求 1,2的数学期望;(2)用 1,2分别表示方案一、方案二的收益,求 1,2的数学期望;(3)如果在某块试验田对该种子进行试验,你认为应该选择哪种方案?思路点拨(1)先求一个坑的播种费用的数学期望再求两种方案的播种费
16、用 1,2的数学期望;(2)先求一个坑的收益的数学期望,再求两种方案的收益 1,2的数学期望;(3)根据(1)(2)计算所得的数学期望进行决策判断.课堂考点探究 解:(1)设采用方案一时,一个坑的播种费用为 X1元,则 X1可取 2,3,X1的分布列为 X1 2 3 P 78 18 E(X1)=278+318=178,E(1)=40E(X1)=85(元).设采用方案二时,一个坑的播种费用为 X2元,则 X2可取 2,3,X2的分布列为 X2 2 3 P 34 14 E(X2)=234+314=94,E(2)=60E(X2)=135(元).课堂考点探究(2)设采用方案一时,一个坑的收益为 Y1元
17、,则 Y1可取 0,100,Y1的分布列为 Y1 0 100 P 164 6364 E(Y1)=1006364=157516,E(1)=40E(Y1)=3937.5(元).设采用方案二时,一个坑的收益为 Y2元,则 Y2可取 0,100,Y2的分布列为 Y2 0 100 P 116 1516 E(Y2)=1001516=3754,E(2)=60E(Y2)=5625(元).(3)方案二所需的播种费用的期望比方案一多 135-85=50(元),但是收益的期望比方案一多5625-3937.5=1687.5(元),故应选择方案二.课堂考点探究 总结反思 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差
18、反映了随机变量偏离均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要依据.一般先比较均值,若均值相同,再由方差来决定.课堂考点探究 课堂考点探究 变式题 2018贵州调研 某投资公司在2018年年初准备将 1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目可供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,若投资该项目,则到年底可能获利 30%,也可能亏损 15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29.项目二:通信设备.据市场调研,若投资该项目,则到年底可能获利 50%,可能损失 30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为
19、投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.解:若按项目一投资,设获利为 X1万元,则 X1的分布列为 X1 300-150 P 79 29 E(X1)=30079+(-150)29=200.若按项目二投资,设获利为 X2万元,则 X2的分布列为 X2 500-300 0 P 35 13 115 E(X2)=50035+(-300)13+0115=200.D(X1)=(300-200)279+(-150-200)229=35 000,D(X2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140 000.E(X1)=E(X2),D(X1)x1)=1-?1-?表示
20、xx1的概率,?1-?用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即 XN(0,1),从而利用标准正态分布表中(x0),求 xx1时的概率 P(xx1),这里 x0=?1-?.相应于 x0的值(x0)是指总体取值小于 x0的概率,即(x0)=P(xx1)=1-?1-?0?=1-?1-10319.3=0.46,即?1-10319.3=0.54,又由(0.705 4)=0.54,可求得x1的值.根据所给的转换公式计算出 P(x107)0.416 8,依此估计出排名.课堂考点探究 解:(1)该市此次检测理科学生的数学的平均成绩约为u0=65 0.05+75 0.08+85 0.12+95 0.15+105
21、 0.24+115 0.18+125 0.1+135 0.05+145 0.03=103.2103.(2)设本次检测成绩达到升一本要求的理科学生的数学成绩约为 x1,根据题意,P(xx1)=1-?1-?0?=1-?1-10319.3=0.46,即?1-10319.3=0.54.由(0.705 4)=0.54 得,?1-10319.3=0.705 4,可得 x1117,所以,本次考试成绩达到升一本要求的理科学生的数学成绩约为 117 分.P(x107)=1-107-10319.3 1-(0.21)=1-0.583 2=0.416 8,10 000 0.416 8=4168,所以,理科数学成绩为
22、107 分,大约排在 4169 名.课堂考点探究 总结反思 关于正态分布在某个区间内取值概率的求法:(1)熟记 P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值.(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1.正态曲线关于直线 x=对称,从而在关于 x=对称的区间上概率相等;P(Xa)=1-P(Xa),P(X+a).课堂考点探究 变式题 已知参加 2018 年自治区第一次诊断性测试的 10 万名理科考生的数学成绩 近似地服从正态分布 N(70,25),估计这些考生中,成绩落在(75,80内的人数为()(附:ZN(,2),则 P(-Z+)=0.682 6,P(-2Z+2)=0
23、.954 4)A.31 740 B.27 180 C.13 590 D.4560 答案 C 解析 由题意可知 10 万名理科考生的成绩 近似地服从正态分布 N(70,25),即=70,=5,所以+=75,+2=80,则P(7580)=?(60?80)-?(65?75)2=0.954 4-0.682 62=0.135 9,所以可估计考生成绩落在(75,80内的人数约为 100 000 0.135 9=13 590,故选 C.教师备用例题【备选理由】例1考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差;例2侧重考查数学期望的计算以及数学期望的统计意义的应用;例3考查正态分布的相关知识以及简单应用.教师备
24、用例题 例 1 配合例 1 使用 为迎接 2022 年冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过 1 小时免费,超过 1 小时的部分每小时收费 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙的滑雪时间不超过 1小时的概率分别为14,16;超过 1 小时但不超过 2 小时的概率分别为12,23;两人的滑雪时间都不会超过 3 小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求 的分布列与均值 E(),方差 D().教师备用例题 解:(1)若两人所付费用相同,则
25、相同的费用可能为 0 元、40 元、80 元.甲、乙两人的滑雪时间超过 2 小时但不超过 3 小时的概率分别为 1-14-12=14,1-16-23=16.两人都付 0 元的概率 P1=1416=124,两人都付 40 元的概率 P2=1223=13,两人都付 80 元的概率 P3=1416=124,则两人所付费用相同的概率 P=P1+P2+P3=124+13+124=512.教师备用例题(2)的所有可能取值为 0,40,80,120,160,P(=0)=1416=124,P(=40)=1423+1216=14,P(=80)=1416+1223+1416=512,P(=120)=1216+14
26、23=14,P(=160)=1416=124.所以 的分布列为 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14 124 E()=0124+4014+80512+12014+160124=80,D()=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=40003.教师备用例题 例 2 配合例 2 使用 某大学为调研学生在 A,B 两家餐厅用餐的满意度,从在 A,B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了 100 人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为 60 分.整理评分数据,将分数分成 6 组:0,10),10,
27、20),20,30),30,40),40,50),50,60,得到 A 餐厅分数的频率分布直方图和 B 餐厅分数的频数分布表.分数区间 频数 0,10)2 10,20)3 20,30)5 30,40)15 40,50)40 50,60 35 教师备用例题 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下表:分数 0,30)30,50)50,60 满意度指数 0 1 2 注:将频率视为概率.(1)在抽取的 100 人中,求对 A 餐厅评价的“满意度指数”为 0 的人数.(2)从该校在 A,B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1 人进行调查,试估计其对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对 B 餐厅评价的“满意
28、度指数”高的概率.(3)如果从 A,B 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?并说明理由.教师备用例题 解:(1)由 A 餐厅分数的频率分布直方图,得对 A 餐厅评价的“满意度指数”为 0 的频率为(0.003+0.005+0.012)10=0.2,所以,对 A 餐厅评价的“满意度指数”为 0 的人数为 100 0.2=20.(2)设“对 A 餐厅评价的 满意度指数 比对 B 餐厅评价的 满意度指数 高”为事件 C.记“对 A 餐厅评价的 满意度指数 为 1”为事件 A1,“对 A 餐厅评价的 满意度指数 为 2”为事件 A2,“对 B 餐厅评价的 满意度指数 为 0”为事件 B0,“对 B
29、 餐厅评价的 满意度指数 为 1”为事件 B1,则 P(A1)=(0.02+0.02)10=0.4,P(A2)=0.4,P(B0)=2+3+5100=0.1,P(B1)=15+40100=0.55.因为事件 Ai与 Bj相互独立,其中 i=1,2,j=0,1,教师备用例题 所以 P(C)=P(A1B0+A2B0+A2B1)=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B0)+P(A2)P(B1)=0.4 0.1+0.4 0.1+0.4 0.55=0.3,所以该学生对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对 B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为 0.3.(3)选择 B 餐厅用餐.理由如下:对 A 餐厅评价的
30、“满意度指数”X的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4 对 B 餐厅评价的“满意度指数”Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.1 0.55 0.35 因为 E(X)=0 0.2+1 0.4+2 0.4=1.2,E(Y)=0 0.1+1 0.55+2 0.35=1.25,E(X)E(Y),所以会选择 B 餐厅用餐.教师备用例题 例 3 配合例3 使用 2018江西师大附中三模 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布,从中随机地抽取了一批考生的成绩,将其分成6 组:第一组40,50),第二组50,60),第六组90,100,作出频率分布直方图,如图所示:(1)用每组区间的中点值代表
31、该组的数据,估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位);(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差,设成绩超过93 分的为“优”,现在从总体中随机抽取50名考生,记其中“优”的人数为Y,试估算Y的数学期望.教师备用例题 解:(1)根据题意,平均成绩 x =(45 0.01+55 0.02+65 0.03+75 0.025+85 0.01+95 0.005)10=67;s2=(45-67)2 0.01 10+(55-67)2 0.02 10+(65-67)2 0.03 10+(75-67)2 0.025 10+(85-67)20.01 10+(95-67)2 0.005 10=166,标准差 s=16613.(2)依题意考生的成绩 XN(67,13),P(-2x+2)=P(4193)=1-0.954 42=0.022 8,故 YB(50,0.022 8),E(Y)=50 0.022 8=1.14.
