1、1第第十二十二章章 布莱克布莱克-斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型11本章导读本章导读金融工程乃至现代金融学中最著名的模型无疑是布莱克-斯科尔斯期权定价模型。布莱克和斯科尔斯在1973年推导出的期权价格的偏微分方程以及开创的无套利定价方法被广泛应用于金融行业的各个领域，硕果累累，影响深远。期权定价是衍生产品设计和交易的核心问题，是衍生产品市场的健康发展的前提，而布莱克-斯科尔斯期权定价模型较为完善地从理论上解决了期权定价的难题。本章从回顾正态分布的特征开始，介绍股票收益率及价格分布的假设模型。在此基础上,利用风险中性定价方法推导出布莱克-斯科尔斯欧式期权定价公式,并讨论布莱克-斯科尔斯
2、价格的性质。然后,应用伊藤引理及无套利原理,给出布莱克-斯科尔斯偏微分方程的一种完整推导过程,并介绍动态对冲与动态复制的概念，最后进行一定的拓展。本章的学习,应着重掌握风险中性定价方法、布莱克-斯科尔斯期权价格公式及期权定价方法的实际应用。2知识结构图知识结构图布莱克-斯科尔斯期权定价模型前导知识正态分布与对数正态分布股票价格的分布特征布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式布莱克-斯科尔斯公式的推导布莱克-斯科尔斯期权价格的性质平价期权的近似公式存在股息的布莱克-斯科尔斯价格公式布莱克-斯科尔斯偏微分方程其他应用美式期权的定价历史波动率和隐含波动率期权定价的含义3第一节第一节 正态分布与对数正态分布
3、正态分布与对数正态分布4第一节第一节 正态分布与对数正态分布正态分布与对数正态分布5图图121121标准正态变量的密度曲线及累积分布函数标准正态变量的密度曲线及累积分布函数第一节第一节 正态分布与对数正态分布正态分布与对数正态分布6第第二二节节 股票价格的分布特征股票价格的分布特征7第第二二节节 股票价格的分布特征股票价格的分布特征8第第三三节节 布莱克布莱克-斯科尔斯偏微分方程斯科尔斯偏微分方程9第第三三节节 布莱克布莱克-斯科尔斯偏微分方程斯科尔斯偏微分方程10第第三三节节 布莱克布莱克-斯科尔斯偏微分方程斯科尔斯偏微分方程11第第三三节节 布莱克布莱克-斯科尔斯偏微分方程斯科尔斯偏微分方
4、程12第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式13第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式14第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式15第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式16第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式17第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式18第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式19第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔
5、斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式20第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式21第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式22第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式23第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式四、存在股息的布莱克四、存在股息的布莱克-斯科尔斯价格公式斯科尔斯价格公式前面讨论了无股息情况下的布莱克-斯科尔斯价格公式,现在接着讨论存在股息的布莱克-斯科尔斯公式。支付股息将导致股票价格下跌。在为期权定价时,通常可以假设股票价格下跌的
6、数量就等于股息的大小。下面我们分两种情况来讨论存在股息的欧式期权定价问题,分别为已知连续现金股息收益率及已知现金股息量。一般而言,期权的条款在标的支付股票股息(股息为附加股份数)之后会进行相应的调整,故股票股息不影响期权的价格。1.已知连续股息收益率2.已知股息量24第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式25第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式26第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式27图图123123存在股息存在股息(图中中上部的垂直粗虚线图中中上部的垂直粗虚线)的股票的股票
7、价格过程价格过程(实线实线)第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式28第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式29第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式30第第四四节节 布莱克布莱克-斯科尔斯欧式期权价格公式斯科尔斯欧式期权价格公式31第第五五节节 美式期权的定价美式期权的定价32第第五五节节 美式期权的定价美式期权的定价33第第五五节节 美式期权的定价美式期权的定价34第第六六节节 历史波动率与隐含波动率历史波动率与隐含波动率35第第六六节节 历史波动率与隐含波动率历史波动率与隐含
8、波动率36第第六六节节 历史波动率与隐含波动率历史波动率与隐含波动率二、隐含波动率二、隐含波动率布莱克 斯科尔斯公式和方程中出现了股票现价、行权价、到期期限、无风险利率、波动率等参数。除了波动率之外,其它的参数都可以在市场上直接观察到。根据波动率的定义,即在一段时间内标的资产连续收益率的标准差,似乎波动率参数也不难确定,实际上却并非如此,因为在衍生产品定价中,我们真正需要的是尚未发生的未来时间段的波动率。期权作为市场上交易的品种,其市场价格是可以观察到的。期权的市场价格可能与布莱克-斯科尔斯模型的价格一致,也可能相差较多，受各种市场因素决定的。无论如何,以欧式看涨期权的公式(12.15)为例,
9、如果知道了看涨期权的市场价格及其他可观察参数,剩下的唯一未知参数就是波动率。37第第六六节节 历史波动率与隐含波动率历史波动率与隐含波动率因为期权价格是波动率单增函数，因此波动率可以表示为期权价格的反函数。于是利用市场上交易的期权价格作为布莱克-斯科尔斯期权价格的近似,即可以反解出波动率。这样得到的波动率,隐含着期权市场对未来波动率的预期,称为隐含波动率(implied volatility)。学术研究发现，市场上越虚值的期权对应的隐含波动率越大，即期权的隐含波动率关于期权在值状态（标的价格比上敲定价格）的函数图像呈现两端翘起的微笑形状，故给该函数图像取名为“波动率的微笑”，图12-6展示了外
10、汇期权的波动率微笑。38图图126126外汇期权隐含的波动率微笑外汇期权隐含的波动率微笑第第七七节节 期权定价的含义期权定价的含义一、期权可被定价的逻辑与前提一、期权可被定价的逻辑与前提对股票而言,尽管学者们提出了股息贴现模型、资本资产定价模型等,但是一般来说，股票的市场价格与这样定出来的价格相差很远,并且大多数时候我们无法通过“套利”操作使价格回归“理性”。换言之,股票未来的涨跌是随机的,无法预测,故前面我们用几何布朗运动式(12.2)来模拟股票价格过程,在某种程度上也是基于这个原因。作为标的股票价格函数的期权价格,从式(12.11)看也是随机的,但我们却可以用布莱克-斯科尔斯公式或方程来定
11、价,当然前提是市场是完全的，且不存在套利机会。实质上,式(12.11)中的布朗运动与式(12.2)中的布朗运动相同,也就是说股票价格与期权价格的随机性源于同一个因素。于是,一定可以通过构造股票与期权的某种组合,使得随机性在特定的时点被对冲掉，不再具有任何不确定性,也就是说这个组合此时没有风险，其收益率必定是无风险利率。用数学语言表示,即前面给出的方程(12.15)。本质上，期权的定价在数学上是一个倒向问题，即已知未来某个时点的期权回报，求其当前价值。幸运的是，这个问题对应的倒向随机微分方程在一定的边界条件下刚巧存在唯一解。对应的离散情形为第10章二叉树模型的倒向求解。39第第七七节节 期权定价
12、的含义期权定价的含义二、布莱克二、布莱克-斯科尔斯价格的准确性斯科尔斯价格的准确性如前所述,期权可被定价。随之而来的问题是,通过布莱克-斯科尔斯方法定出的价格准确吗?在回答这个问题之前,我们有必要定义“准确”二字的含义。期权是市场上交易的金融产品,如果交易按布莱克 斯科尔斯价格进行,那么定价就是准确的,否则,就是不准确的。实证研究表明,布莱克-斯科尔斯期权价格在布莱克-斯科尔斯的理论发表之前是不准确的,在布莱克-斯科尔斯的理论发表之后到1987年这一阶段比较准确,1987年“黑色星期一”之后误差变得较大了。布莱克-斯科尔斯价格是在很多假设的基础上严格推算出来的，一开始给了市场参与人士公式般的指
13、导。但是公式成立的前提假设只是在一般情况下与实际比较符合,在极端条件下可能与实际相去甚远。比如，金融市场的收益率数据往往具有尖峰、肥尾、有偏、波动率聚集等特性，这就意味着假设标的股票收益率服从对数正态分布在尾部存在较大的偏差，特别是在极端情形的波动率远高于历史波动率，定价偏差更大。因此在1987“黑色星期一”之后，市场交易员都接受虚值看跌期权价格远比布莱克-斯科尔斯价格高得多的事实，在此之前，只有少数敏锐的交易员通过布莱克-斯科尔斯的这种尾部定价偏差交易来“套利”。40第第七七节节 期权定价的含义期权定价的含义当然,期权的定价相对来说比股票定价要精确。原因很多，期权有到期日，存在杠杆，是交易双
14、方的零和博弈，对信息反应更敏感，规律性更强。另外,波动率具有一定的范围,故我们有较高的把握估算出期权的价格范围。而且，期权的交易价格,不能违反第8章给出的无套利上、下界,而这不依赖于布莱克-斯科尔斯模型中的任何假设。41第第七七节节 期权定价的含义期权定价的含义三、期权定价在市场上的作用三、期权定价在市场上的作用首先,布莱克-斯科尔斯期权定价对实际交易具有指导作用。如果没有布莱克-斯科尔斯方法,交易员只能靠经验进行交易。有了布莱克-斯科尔斯模型,交易员至少有了一种相对精确的决策参考依据。这在布莱克-斯科尔斯公式发表之后,表现比较明显,相当长的一段时间,交易员都基本按照布莱克-斯科尔斯公式的指导价格从事交易。其次,布莱克-斯科尔斯期权模型是期权交易的风险管理工具。通过对衍生头寸的各种敏感性，即通常所说的 希腊字母(Greeks)进行分析，来判断风险的相对大小,是华尔街衍生交易的日常工作之一。最后,布莱克-斯科尔斯期权模型对更复杂的衍生产品的定价具有辅助作用。以美国为例,标准型简单期权的市场很成熟,流动性较好。通过隐含波动率,这些期权的市场价格提供了一种反映未来波动率预期的手段(如被媒体称为“恐慌指数”的波动率指数VIX)。利用简单期权的隐含波动率,交易员可以对复杂衍生产品进行定价,从而指导复杂衍生产品的交易。42 The ending The ending！43
