1、文科数学试题 A 第 1 页 共 6 页 秘密 启用前 试卷类型： A 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学 本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡 相应位置上 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在 试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
2、目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1已知集合1,2,3,4,5,6,7U ，3,4,5M ，1,3,6N ，则集合7 , 2等于 AMN B U MN C U MN DNM 2某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4
3、000 人，2400 人现采用 分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人 数为 70 人，则该样本的高中学生人数为 A42 人 B84 人 C126 人 D196 人 3直线10kxy 与圆 22 2410xyxy 的位置关系是 A相交 B相切 C相离 D不确定 4已知函数 ln ,0, ( ) e ,0, x xx f x x 则 1 4 ff 的值为 A4 B2 C 2 1 D 4 1 文科数学试题 A 第 2 页 共 6 页 5已知向量a2, 1，b,2x，若ab2 ab，则实数x的值等于 A 4 9 B 1 2 C 9 4 D2 6如图所示，给出的
4、是计算 1111 24622 的值 的程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A9i B10i C11i D12i 7设函数 1 ( )2cos 23 f xx ，若对任意xR都有)()()( 21 xfxfxf成立，则 21 xx 的最小值为 A4 B2 C D 2 8刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国最宝贵的 数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其 加减运算的规则提出了“割圆术” ，并用“割圆术”求出圆周率为3.14刘徽在割圆 术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被 视为中国古代极限观念
5、的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积， 第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依次类推若在圆内随机取一点，则该点取 自该圆内接正十二边形的概率为 A 3 3 B 362 C 3 D 362 是 否 1 ss n 输出s 结束 开始 2nn 0s ，2n ，1i 1ii 文科数学试题 A 第 3 页 共 6 页 9已知 1 sincos 5 ，0 ，则cos2 A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 10 已知点 00 ,P xy在曲线C： 32 1yxx上移动， 曲线C在点P处的切线的斜率为k， 若 1 ,21 3 k ，则 0 x的取值范围是 A 7 5
6、, 3 7 B 7 ,3 3 C 7 , 3 D7,9 11 已知O为坐标原点， 设双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左， 右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P是双曲线C上位于第一象限内的点， 过点 2 F作 12 FPF的平分线的垂线， 垂足为A， 若 12 2bFFOA，则双曲线C的离心率为 A 5 4 B 4 3 C 5 3 D2 12在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角 ABDC的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为 A7 B C 3 D 3 二、填空题：二、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分
7、分，共共 2020 分分 13已知复数 22 i 22 z ，则 24 zz 14已知函数 k f xx x 在区间0,上有最小值4，则实数k 15已知直线a 平面，直线b 平面，给出下列五个命题： 若，则ab；若，则ab；若，则/ /ab； 若/ /ab，则；若ab，则， 其中正确命题的序号是 文科数学试题 A 第 4 页 共 6 页 16 如图， 在平面四边形ABCD中， 2 BACADC ， 6 ABC ， 12 ADB ，则tanACD 三、三、解答题：共解答题：共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 17172121 题为必
8、考题，题为必考题， 每个试题考生都必须做答第每个试题考生都必须做答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题（一）必考题：共：共 60 分分 17 （12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 nn Sna，设1 nn ab （1）求 1 a， 2 a， 3 a； （2）判断数列 n b是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列 n a的前n项和 n S 18 （12 分） 如图 1，在边长为2的等边ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点将ADE 沿DE折起，使得ABAD，得到如图 2 的四棱锥ABCDE，连结BD，CE，且B
9、D与 CE交于点H （1）证明：AHBD； （2）设点B到平面AED的距离为 1 h，点E到平面ABD的距离为 2 h，求 1 2 h h 的值 D C B A 图2图1 B C DE H A B C D E A 文科数学试题 A 第 5 页 共 6 页 19 （12 分） 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 天到第 5 天的日产卵数据： 第 x 天 1 2 3 4 5 日产卵数 y（个） 6 12 25 49 95 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值 5 1 i i x 5 2 1 i i x 5 1 ln i i y 5 1 ln ii i xy
10、15 55 15.94 54.75 （1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为e a bx y （其中e为自然对数的底数） ，求实数a，b的值（精确到 0.1） ； （2）根据某项指标测定，若产卵数在区间 68 e ,e上的时段为优质产卵期，利用（1）的 结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率 附：对于一组数据 11 ,v， 22 ,v，, nn v，其回归直线= + v 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 1 22 1 = n ii i n i i vnv vnv ， . v y x 文科数学试题 A 第 6 页 共 6
11、 页 20 （12 分） 已知M过点A 3,0，且与N： 2 2 316xy内切，设M的圆心M的 轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）设直线l不经过点0,1B且与曲线C相交于P，Q两点若直线PB与直线QB的 斜率之积为 1 4 ，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明 理由 21 （12 分） 已知函数( )()e (0) bx f xxab的最大值为 1 e ，且曲线)(xfy 在0x处的切线与 直线2 xy平行（其中e为自然对数的底数） （1）求实数a，b的值； （2）如果 12 0xx，且)()( 21 xfxf，求证： 12 33xx （二）选考题（
12、二）选考题：共共10分请考生在第分请考生在第22、23题中任选题中任选一题作答如果一题作答如果多多做，则按所做的第一做，则按所做的第一 题计分题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3, 12 xt yt （t为参数） ，曲线 2 C的 参数方程为 3 , cos 3tan x y (为参数，且, 22 ) （1）求曲线 1 C和 2 C的普通方程； （2）若A，B分别为曲线 1 C， 2 C上的动点，求AB的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 36f xxxa，aR （1）当1a时，解不等式3)(xf；
13、（2）若不等式( )11 4f xx对任意 3 4, 2 x 恒成立，求实数a的取值范围 文科数学试题 A 第 1 页 共 12 页 绝密 启用前 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学试题答案 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答
14、右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一一、选择题、选择题 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A A D C C B C A B C D 二二、填空题、填空题 131 i 144 15 16 33 4 说明：第说明：第15题填给题填给5分，若只填分，若只填1个序号且正确（即只填或）给个序号且正确（即只填或）给3分，但填有错误序号分，但填有错误序号 （如填或等）均不给分。（如填或等）均不给分。 三、三、解答题解答题 17解： （解： （1）因为 nn Sna， 所以 111 11aSa，得 2 1 1 a
15、由 22122 2 3 22aaaSa，得 4 3 2 a 由 331233 7 33 4 aSaaaa，得 8 7 3 a （2）因为 nn Sna， 所以 11 ) 1( nn Sna2n -得12 1 nn aa 因为1 nn ab，即1 nn ba， 文科数学试题 A 第 2 页 共 12 页 所以 1 2 nn bb ，即 2 1 1 n n b b 因为 2 1 1 11 ab 所以数列 n b是以 2 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列 （3）由（2）知 1 111 222 nn n b ， 则1 nn ba= 1 1 2 n 所以 1 1 2 n nn Snan 18 （1
16、）证明证明 1：在图1中，因为ABC为等边三角形，且D为边AC的中点， 所以BDAC 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD，所以3BD 因为,D E分别为边,AC AB的中点，所以/EDBC 在图2中，有 1 2 DHED HBBC ，所以 13 33 DHBD 因为ABAD，所以ABD为直角三角形 因为1AD ，3BD ，所以 3 cos 3 AD ADB BD 在ADH中，由余弦定理得 222 2cosAHADDHAD DHADB 1332 12 1 3333 ， 所以 6 3 AH 在ADH中，因为 222 21 1 33 AHDHAD ， 所以AHBD 文科数学试题 A 第 3 页
17、共 12 页 证明证明 2：在图1中，因为ABC为等边三角形，且D为边AC的中点， 所以BDAC 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD，所以3BD 因为,D E分别为边,AC AB的中点，所以/EDBC 在图 2 中，有 1 2 DHED HBBC ，所以 13 33 DHBD 在Rt BAD中，3BD ，1AD ， 在BAD和AHD中，因为3 DBDA DADH ,BDAADH, 所以BADAHD 所以 0 90AHDBAD 所以AHBD （2）解法解法 1：因为 B AEDE ABD VV ， 所以 12 11 33 AEDABD ShSh 所以 1 2 ABD AED hS hS 因为
18、AED是边长为 1 的等边三角形，所以 3 4 AED S 在RtABD中，3BD ，1AD ,则2AB , 【或利用 （【或利用 （1 1） 证明） 证明 1 1 中中 6 3 AH 】 所以 2 2 ABD S. 所以 1 2 h h 2 6 3 所以 1 2 h h 的值为 2 6 3 文科数学试题 A 第 4 页 共 12 页 解法解法 2：因为 B AEDA BDE VV ， 所以 1 11 33 AEDBDE ShSAH 所以 1 BDE AED SAH h S 因为AED是边长为 1 的等边三角形，所以 3 4 AED S 因为BDE是腰长为 1，顶角为120的等腰三角形，所以
19、3 4 BDE S 由（1）证明 1 中求得 6 3 AH ，所以 1 6 3 h 由 E ABDA BDE VV ，同理求得 2 1 2 h 所以 1 2 h h 2 6 3 所以 1 2 h h 的值为 2 6 3 19解：解： （1）因为e a bx y，两边取自然对数，得ln yabx 令vx，ln y，得abv 因为 2 15 15.94 54.755 6.93 55 =0.693 555 310 b ， 所以0.7b 因为 15.94 0.7 31.088 5 abv ， 【或【或 15.94 0.693 31.109 5 abv 】 所以1.1a 所以1.1a ，0.7b 文科数
20、学试题 A 第 5 页 共 12 页 （2）根据（1）得 1.1+0.7 e x y 由 61.1+0.78 ee e x 得 69 7 7 x 所以在第6天到第10天中，第8，9天为优质产卵期 从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天的所有可能事件有：67，68 ，69 ，610， 78 ，79 ，710，89 ，810，910，共 10 种 其中恰有 1 天为优质产卵期的有：68 ，69 ，78 ，79 ，810，910，共 6 种 设从未来第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的事件为A， 则 63 105 P A 所以从未来第 6 天到第 10 天中任取两
21、天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率为 3 5 20 （ （1）解：）解：设M的半径为R，因为M过点A 3,0，且与N相切， 所以 , 4, RMA MNR 即4MNMA 因为4NA ，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆 设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab 0ab， 则24a，且 22 3cab，所以2a ，1b 所以曲线C的方程为 2 2 1 4 x y （2）解法解法 1：依题意，直线,BP BQ的斜率均存在且不为 0， 设直线BP斜率为k0k ，则直线BP的方程为1ykx， 文科数学试题 A 第 6 页 共 12 页 由 2 2 1, 1, 4 ykx x y 得 22 14
22、80kxkx 解之得 1 0x ， 2 2 8 14 k x k 因此点P的坐标为 2 22 81 4 , 1 41 4 kk kk 因为直线BQ斜率为 1 4k ， 所以同理可得点Q的坐标为 2 22 81 , 1 41 4 kk kk 4 因为P，Q两点关于原点对称 【或求出直线【或求出直线l的方程为的方程为 2 41 8 k yx k 】 所以直线l过定点,00 解法解法 2：当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为： 1 xx 设点 11 ,P x y，则点 11 ,Q xy，依题意 1 0x ， 因为 2 111 2 111 1111 4 BPBQ yyy k k xxx ， 所以
23、2 2 1 1 1 4 x y 因为 2 2 1 1 1 4 x y，且 1 0x ，无解， 此时直线l不存在 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxm 由 2 2 , 1 4 ykxm x y 得 222 418410kxkmxm 文科数学试题 A 第 7 页 共 12 页 需要满足 2 22 816 4110kmkm ，即 22 41mk 设点 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 则有 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 41 41 m x x k 因为 11 ykxm， 22 ykxm， 所以 1212 2 2 2 41 m yyk xxm k ， 22
24、 1212 2 4 41 mk y ykxmkxm k 因为 1212 12 1212 1111 4 BPBQ y yyyyy k k xxx x ， 所以 121212 1 1 4 y yyyx x 即 2 22 222 41 421 1 4141441 m mkm kkk ， 即 2 0mm所以0m或1m 当0m时，满足 22 41mk，直线l的方程为ykx，恒过定点0,0 当1m时， 满足 22 41mk， 直线l的方程为1ykx， 恒过定点0,1， 不合题意 综上所述，直线l过定点,00 21 （1）解：）解：因为 ebxf xxa，所以( )(1)ebxfxbxab 由条件可知 01
25、 1fab ，得0ab 因为0b ，所以0a 此时( )e0 bx f xxb ，( )1 ebxfxbx 若0b，则当 b x 1 时，( )0fx ，当 b x 1 时，( )0fx ， 所以函数)(xf在 1 , b 上单调递减，在 1 , b 上单调递增 文科数学试题 A 第 8 页 共 12 页 此时函数有最小值，无最大值不合题意 若0b，则当 b x 1 时，( )0fx ，当 b x 1 时，( )0fx ， 所以函数)(xf在 1 , b 上单调递增，在 1 , b 上单调递减 此时当 b x 1 时，函数有最大值 1 max 111 ( )e e f xf bb 解得1b 所
26、以01ab， （2）证明）证明 1：因为 12 0xx，且 12 f xf x，得 12 12 ee xx xx ， 所以 2 21 1 1 21 e e e x xx x x xx 设 21 txx0t ，则 11 e tx xt，得 1 e1 t t x， 2 e e1 t t t x 要证 12 33xx，即证 3e 3 e1e1 t tt tt 因为0t，所以e10 t ， 即证3 e330 t tt 设 3 e330 t g tttt， 则 2 e3 t g tt， 设 2 e3 t h tt，则( )1 e . t h tt 当01t 时， 0h t，当1t 时， 0h t， 所以
27、函数 h t在0,1上单调递减，在1,上单调递增 所以 ( )13 e0h th ，即 0g t， 所以 g t在0,上单调递增 所以 00g tg 所以 12 33xx 证明证明 2：因为 12 0xx，由 12 f xf x，得 12 12 ee xx xx 所以 1122 lnlnxxxx 文科数学试题 A 第 9 页 共 12 页 设，则 1 ln 1 t x t ， 2 ln 1 tt x t 要证 12 33xx，即证 3lnln 3 11 ttt tt 因为1t ，所以即证3 ln31ttt， 即证 31 ln0 3 t t t 设 31 gln 3 t tt t ， 则 2 1
28、12 g 3 t t t 2 2 69 3 tt t t 2 2 3 0 3 t t t 所以 g t在1,上单调递增 所以 10g tg 所以 12 33xx 证明证明 3：因为 21 xx ，由 12 f xf x，得 12 12 ee xx xx 所以 1122 lnlnxxxx 设，则 1 ln 1 t x t ， 2 ln 1 tt x t 所以 12 3 ln 3 1 tt xx t 设 3 ln 1 tt g t t ，则 2 3 24ln 1 tt t g t t 设 3 24lnh ttt t ，则 22 1334 1+ tt h t ttt 当13t 时， 0h t，当3t
29、 时， 0h t， 2 1 1 x t x 2 1 1 x t x 文科数学试题 A 第 10 页 共 12 页 所以函数 h t在1,3上单调递减，在3,上单调递增 因为 10h， 344ln30h， 22 2 3 ee60 e h 所以存在 0 3t ，使得 000 0 3 24ln=0h ttt t ， 即 2 00 0 0 23 ln= 4 tt t t 当 0 1tt 时， 0h t ，即 0g t，当 0 tt时， 0h t ，即 0g t， 所以 g t在 0 1,t上单调递减，在 0, t 上单调递增 所以 2 000 00 00 0000 323 3 ln19 6 1414
30、ttt tt g tg tt tttt 因为 0 3t ，且 0 0 9 yt t 在3,上单调递增， 所以 00 0 19 =63 4 g tt t ， 所以 12 33xx 22解解： （1）因为曲线 1 C的参数方程为 3, 1 2 xt yt （t为参数） ， 消去参数t，得250xy 所以曲线 1 C的方程为250xy 因为曲线 2 C的参数方程为 3 , cos 3tan x y （为参数） ， 则由 3 cos x ，得 3 cos x ，代入3tany得sin y x ， 消去参数，得 22 3xy 文科数学试题 A 第 11 页 共 12 页 因为, 22 ，所以0x 所以曲
31、线 2 C的方程为 22 3xy0x （2）因为点A，B分别为曲线 1 C， 2 C上的动点， 设直线20xyb与曲线 2 C相切， 由 22 20, 3, xyb xy 消去y得 22 3430xbxb 所以 2 2 44 330bb ，解得3b 因为0x，所以3b 因为直线250xy与230xy间的距离为： 2 2 35 21 d 8 5 5 所以AB的最小值 8 5 5 23 （1）解：解：因为1a，所以( )321f xxx 当1x时，由347)(xxf，解得1x ，此时x 当21 x时，325)(xxf，解得1x ，此时12x 当2x时，374)( xxf，解得 5 2 x ，此时
32、5 2 2 x 综上可知， 5 1 2 x 所以不等式的解集为 5 1, 2 （2）解法解法 1：由( )11 4f xx，得3211 4xxax， 因为 3 4, 2 x ，所以5xax 文科数学试题 A 第 12 页 共 12 页 问题转化为5xax 对任意的 3 4, 2 x 恒成立， 所以55xxax 【或【或 22 5xax】 所以255xa 因为当 3 4, 2 x 时，max258x 所以实数a的取值范围为8,5 解法解法 2：由( )11 4f xx，得3211 4xxax， 因为 3 4, 2 x ，所以| 5xax 问题转化为5xax 对任意的 3 4, 2 x 恒成立， 分别作出函数5yx与函数yxa 的图像，如图所示， 要使5xax对任意的 3 4, 2 x 恒成立， 则当 3 4, 2 x 时，函数5yx的图 像在函数yxa的图像的上方 所以当 3 4, 2 x 时，需要满足5axx 且5xax 因为当 3 4, 2 x 时，max258x 所以实数a的取值范围为8,5
