1、科目：数学（理工农医类） （试题卷） 注意事项： 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填 写清楚，并认真核对 2选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷 和草稿纸上作答无效考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框，修改时 用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡保持字体工整，笔迹清楚、卡面 清洁 3本试卷共 4 页如缺页，考生须及时报告监考老师， 否则后果自负 4考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回 姓 名 准考证号 祝 你 考 试 顺 利 ！ 数学
2、（理科）试题第 1 页 共 4 页 2020 年常德市高三年级模拟考试年常德市高三年级模拟考试 数学数学（理工农医类） 第第 I 卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 2 |+4120Ax xx， | 15Bxx ，则AB A( 1 2) ， B( 1 5) ， C2 5)， D 1 2 ， 2.已知复数z满足| 1zi，且| 2z ，则z A.1 i B.1 i C.
3、2i D.2i 3.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 7 28S ， 24 7aa，则 8 a A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的三个全 等的等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 2 3 B. 4 3 C. 8 3 D.4 5.如图所示，折线图和条形图分别为某位职员 2018 年与 2019 年的家庭总收入各种用途所占比例的统计图，已知 2018 年的家庭总收入为 10 万元，2019 年的储蓄总量比 2018 年的储蓄总量减少了 10，则下列说法： 2019 年家庭总收入比 2018 年增长了 8； 20
4、19 年衣食住的总费用与 2018 年衣食住的总费相同； 2019 年的旅行总费用比 2018 年增加了 2800 元； 2019 年的就医总费用比 2018 年增长了 5 其中正确的个数为： A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6.函数( )2 sin(),(0) 2 f xx ，的部分图 象如图所示，则下列说法正确的是 A.函数( )f x在区间(,0) 2 上单调递增 B.函数( )f x的最小正周期为2 C.函数( )f x的图象关于点(,0) 6 对称 第 4 题图 . . . . . . . . 某位职员 2018 年与 2019 年的家庭 总收入各种用途所占比例的统计图 第 5
5、 题图 第 6 题图 数学（理科）试题第 2 页 共 4 页 D.函数( )f x的图象可以由2sinyx的图象向右平移 5 6 个单位得到 7.设函数( )f x的定义域为(0,) ，满足(2)2 ( )f xf x，且当(0,2x时， 23 ( )log (2) log (1)f xxx，则(7)f A.1 B.2 C.6 D.8 8.双曲线 22 22 :1 xy E ab 的一条渐近线与圆:C 22 (3)4xy相交于,A B，若 ABC的面积为 2，则双曲线E的离心率为 A. 3 5 5 B. 7 5 5 C. 3 7 7 D. 11 7 7 9.在ABC中， 角 A， B， C 的
6、对边分别为 a， b， c， 面积为 S， 若c o sc o s2aB bAb c， 且 1 cos 4 ScA，则A A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 3 10. 河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案， 与自己的观察， 画出 的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组， 如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三 八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中。 “河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组， 在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土 克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木
7、生火，火生土， 土生金，金生水，水生木。现从这十个数中随机抽取 3 个数，则 这 3 个数字的属性互不相克的条件下， 取到属性为土的数字的概 率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 2 5 D. 1 2 11.抛物线 2 :(0)E yax a过点(2,1)，直线l过点(2,0)M且与抛物线E交于两点 ,A B，与y轴交于点C，则下列命题：抛物线E的焦点为 1 (0,) 16 F；抛物线E的 准线为1y ；2MAMBMC； 2 MCMAMB；其中正确命题有 A. B. C. D. 12.已知函数( )f x是定义域为 R 的偶函数，当0x时， 2 1 1 01 ( ) ln1 x f xx
8、xxx ， ， ，且 (0)=0f，则不等式(31)(21)(1)fxfxf x的解集为 A. 1 (0 ) 3 ， B. 2 (0 ) 5 ， C. 222 (0 )( ) 553 ， D. 112 (0 )( ) 335 ， 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第题第 21 题为必考题，第题为必考题，第 22 题第题第 23 题题 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 第 10 题图 数学（理科）试题第 3 页 共 4 页 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
9、每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在分把答案填在答题卡答题卡 中对应题号中对应题号 后的横线上后的横线上 13.设向量( 2,)m a，(3,4)b，且| |abb，则m_. 14.已知tan()2 4 ，(0)，则sincos_. 15.已知函数( )f x为偶函数，当0x时， 1 ( )ln x f xxe ，则函数( )f x在1x处 的切线方程为_. 16.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，ABBC，BC=2AB=4AD=4，将直角梯形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使点 A 到 P 点位置，则四面体 PBCD 的体积的最大值为_, 此 时 ， 其 外 接 球 的
10、表 面 积 为 _ _ _. 三、解答题：三、解答题： 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分)已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 455 nn SanN，. （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足： 5 1 (1)log n n b na ，设数列 n b的前n项和为 n T， 证明：1 n T 18 (本小题满分12分) 如图， 已知平面BCE 平面ABC， 直线DA平面ABC，且DAABAC. （）求证：/ /DA平面EBC； （）若 2 BAC ，DEBCE 平面，求二面角 ADCE的余弦值 A
11、B C D B C D P 第 16 题图 A B C E D 第 18 题图 数学（理科）试题第 4 页 共 4 页 19(本小题满分 12 分)已知椭圆C: 22 22 1 xy ab ，右顶点为A，右焦点为F，O为坐 标原点，2OAOF ，椭圆C过点 3 ( 1, ) 2 （）求椭圆C的方程； （）若过点(0,2)B的直线l与椭圆C交于不同的两点,D E（D在,B E之间） ，求 OBD与OBE面积之比的取值范围. 20(本小题满分 12 分)2020 年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼 吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命.随着疫情的发展，自 20
12、20 年 2 月 5 日起，武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众， 逐步建立起了 14 家方舱医院， 其中武汉体育中心方舱医院从 2 月 12 日开舱至 3 月 8 日 闭仓，累计收治轻症患者 1056 人.据部分统计该方舱医院 从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与 散点图如下： 根据散点图和表中数据， 某研究人员对出仓人数y与日期序号x进行了拟合分析.从散点 图观察可得，研究人员分别用两种函数 2 ymxp； tx yke分析其拟合效果.其 相关指数 2 R可以判断拟合效果， 2 R越大拟合效果越好.已知 2 ymxp的相关指数为 2=0.89 R. （）
13、试根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系 数r与相关指数 2 R满足 22 =Rr，参考数据表中 2 ln uy vx，） （）根据（）中结论，求拟合效果更好的函数解析式； （结果保留小数点后三位） 3 月 3 日实际总出仓人数为 216 人，按中的回归模型计算，差距有多少人？ (附：对于一组数据( ,) (1,2, ) ii x yin，其回归直线为 ybxa 相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 1 2 1 ()() , () n ii i n i i xxyy baybx xx 参考数据：
14、x y v u 6 2 1 () i i vv 6 2 1 () i i yy 6 2 1 () i i uu 6 1 ()() ii i xx uu 6 1 ()() ii i vvyy 3.5 49.17 15.17 3.13 894.83 19666.83 10.55 13.56 3957.83 17.54.18，10.553.25， 0.418 1.520e， 5.425 227e） 日期 2.26 2.27 2.28 2.29 3.1 3.2 序号x 1 2 3 4 5 6 出仓人数y 3 8 17 31 68 168 3 3 1010 2020 4242 8585 170170 6
15、 65 54 43 32 2 1 1 出仓人数出仓人数 日期日期 数学（理科）试题第 5 页 共 4 页 21(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )2cos (0)f xxx x. （）求函数( )f x的单调区间； （）当1a 时，对任意0)x，证明：2sincos ax xex. 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做， 则按做的第一个题目计分则按做的第一个题目计分 22(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
16、系，已知曲线 1 C的 参 数 方 程 为 2 4 ( 4 xat t yat 为 参 数 ，0)a ， 曲 线 2 C的 极 坐 标 方 程 为 ： 2 cos() 10 4 . 且两曲线 1 C与 2 C交于,M N两点. （）求曲线 1 C、 2 C的直角坐标方程； （）设( 1, 2)P ，若|,|,|PMMNPN成等比数列，求a的值. 23(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知实数, ,a b c满足1abc ，3 abc abc ； （）求证： 111 (1)(1)(1)8 abc ； 数学（理科）试题第 6 页 共 4 页 （）当（）中不等式取等号时，且关于x的不
17、等式 2 113 xxxxt abc 的 解集非空，求t的取值范围. 数学（理科）试题第 7 页 共 4 页 2020 年常德市高考模拟试题 理科数学试卷一理科数学试卷一 总分：150 分时量:120 分钟 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 P=65|xx，Q=065| 2 xxx，则 PQ=_（桃源县 第四中学） A、61|xx B、61|xx C、61|xx D、61|xx 答案：由已知得
18、Q=-1，6 P=（-5，6）故 PQ=-1，6故选 C 2.设复数z满足3(1)ziz+=-，则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中) A. z的虚部为2iB.z为纯虚数 C. 5z =D. 在复平面内，z对应的点位于第二象限 答 案 ：答 案 ： C由 3(1)ziz+=- 得 3( 3)(1) 12 12 iii zi i -+-+- = -+ + ， 22 ( 1)25z =-+= 3.设等差数列 n a的前n项的和为 n S， 若 53 47Sa=+， 1 1a =， 则 6 a = ( ) (桃 源一中) A. 37B.16 C. 13D. -9 答 案 ：答 案 ： B 设 等
19、差 数 列 n a的 公 差 为d ， 由 53 47Sa=+得 ： 11 5 (51) 54(2 )7 2 adad ? +=+， 将 1 1a =代入上式解得3d =，故 61 511516aad=+=+= （法二： 53 47Sa=+，又 53 5Sa=，所以 3 7a ，由 1 1a 得3d =， 故 61 511516aad=+=+= 4.如图是某市连续 16 日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示 空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气 重度污染则下列说法不正确的是 ( ) (桃 源一中) A这 16 日空气重度污染的频率为 0.5 B该市出
20、现过连续 4 天空气重度污染 C这 16 日的空气质量指数的中位数为 203 D 这 16 日的空气质量指数的平均值大于 200 数学（理科）试题第 8 页 共 4 页 答案：答案：D 这 16 日空气重度污染的频率为 8 0.5 16 =故 A 正确；12 日，13 日，14 日， 15 日连续 4 天空气重度污染，故 B 正确；中位数为 1 (192214)203 2 ，故 C 正确； 1 200(147543( 43) 6 x=+ -+ ( 120)( 48)60( 117)( 40)-+ -+ -+ -+ ( 21)( 62)14216323( 8)200-+ -+ -+- ，解得：
21、1 1 3 x- ， ， ，( )( )g xf xax=-（其中 a 为常数） ，则下列 说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中) 函数( )f x恰有 4 个零点； 对任意实数 a，函数( )g x至多有 3 个零点； 若 a0，则函数( )g x有且仅有 3 个零点； 若函数( )g x有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围为 11 ( 0 ) 62e ，(桃源一中) A. 1B. 2 C. 3D. 4 答案：答案：B 当0x时，( )f x的图像为抛物线 2 1 6 yxx的一部分 当0x时，当0x时， 2 1ln ( ) x fx x - = ，所以(0, )xe时，( )0fx，
22、( )f x单 调递增，( ,)xe?时，( )0fx，( )f x单调递减，画出( )f x的图像如图所示， 由图可知( )f x恰有 3 个零点，故不正确； 甲的三视图 乙的三视图 甲的三视图 乙的三视图 数学（理科）试题第 11 页 共 4 页 设( )f x的过原点的切线的斜率为 1 k，切点为 0 0 0 ln (,) x P x x ， 2 ln1ln () xx xx - = ，由 0 2 2 0 0 0 2 0 1ln ln x k x x x k x - = = ，解得 01 1 , 2 xe k e = ( )f x在0x=处 的 切 线 2 l的 斜 率 为 2 200
23、1111 () |(2)| 6662 xx kxxx e = =+=+= ， 因为( )( )g xf xax=-零点个数，即函数( )yf x=与yax=的交点个数， 由图可知： 1 2 a e 时，有 1 个交点； 1 2 a e 时，有 2 个交点； 11 ) 62 a e ，时，有 3 个交点； 1 (0 ) 6 a，时，有 4 个交点；(,0a 时，有 3 个交点.所以 不正确；正确. （说明：显然0x=是( )g x的零点，x0 时，也可转化为 ( )f x a x =零点的个数问题， 也可以画图得出答案） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题
24、 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在分把答案填在答题卡答题卡 中对应题号中对应题号 后的横线上）后的横线上） 13.已知函数( )ln(1) x f xxex=+，则曲线( )yf x=在0x=处的切线方程为 _2yx=_.(桃源一中) 14 已知实数 , x y 满足约束条件 10 330, 10 xy xy xy 则 =32zxy 的最小值为 -2 （鼎鼎 城一中）城一中） 15.已知数列 n a的各项为正， 记 n S为 n a的前n项和， 若 2 1 1 3 () 2 n n nn a anN aa * + + =? - ， 1 1a =， 则 5 S =_121_.(桃源一
25、中) 16.已知双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab ，O是坐标原点，F是C的右焦点， 过F的 P P 数学（理科）试题第 12 页 共 4 页 直线与C的两条渐近线的交点分别为 , ,A B 且 OAB 为直角， 记 OAF 和 OAB 的面 积分别为 OAF S 和 OAB S ，若 1 3 OAF OAB S S ，则双曲线C的离心率为（鼎城一中）鼎城一中） 答案：. 2 6 3 或 2 3 3 三、解答题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题 12 分）已知向量 m(sin 3)x=-，n=(1 c
26、os )x，且函数( )f x =mn. ()若 5 (0 ) 6 x，且 2 ( ) 3 f x =，求sinx的值； ()在锐角ABC中，角ABC， ，的对边分别为abc， ，若a，= 4ABC的面积为 4 3， 且 1 ()sin 32 f AcB+=，求ABC的周长. (桃源一中) 解： ()( )f x =mn(sin 3)x=-，(1 cos ) x ，sin3cosxx=-2sin() 3 x=- (2 分） Q 2 ( ) 3 f x = ， 1 sin() 33 x-= 又 5 (0 ) 6 x，( ) 332 x-?， 2 2 cos() 33 x-= (4 分） 所以 1
27、 12 2312 6 sinsin() 333 2326 xx + =-+=?(6 分） ()因为 1 ()sin 32 f AcB+=，所以 1 2sinsin 2 AcB=，即4sinsinAcB= 由正弦定理可知4abc=，又a= 4所以bc= 16 (8 分） 由已知ABC的面积 1 sin4 3 2 bcA=，可得 3 sin 2 A=，又(0) 2 A， 3 A=(10 分） 由余弦定理得 22 2cos1bcbcA+-= ，故 22 32bc+= ，从而 2 ()64bc+= 所以ABC的周长为12(12 分） 18 （本小题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平
28、面ABCD，底面 ABCD是直角梯形，ADBC，ABAD，22ADBCAB，O是AD的中 点 ()在线段PA上找一点E，使得BE平面PCD，并证明； 数学（理科）试题第 13 页 共 4 页 ()在(1)的条件下，若2PAPDAD，求平面OBE与平面POC所成的锐二面 角的余弦值(桃源一中) 解：()E是线段 PA 的中点，(1 分） 证明：连接 BE，OE，OB， O 是 AD 的中点，OEPD， 又OE平面PCD，PD 平面PCD，OE平面PCD，(3 分） 又底面ABCD是直角梯形，22ADBCAB，OBCD， 又OB平面PCD，CD平面PCD，OB平面PCD，(4 分） OE平面OBE
29、，OB平面OBE，OEOBO， 平面OBE平面PCD， 又BE 平面OBE，BE平面PCD(6 分） （也可通过线线平行来证明线面平行） ()平面PAD 平面ABCD，2PAPDAD ， POAD，PO平面ABCD，且1OC ， 3PO ， 以O为原点，如图建立空间直角坐标系Oxyz，(8 分） 得0,0,0O，1, 1,0B，0,0, 3P，1,0,0C， 13 0, 22 E ， 得 13 0, 22 OE ，1, 1,0OB ， 设, ,mx y z是平面OBE的一个法向量， 则 mOE mOB ，得 30 0 yz xy ，取 3x ， 得3, 3,1m ，(10 分） 又易知0,1,
30、0n 是平面POC的一个法向量，设平面OBE与平面POC所成的锐二 面角为， 则 321 coscos, 77 1 m n m n mn ， 数学（理科）试题第 14 页 共 4 页 即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为 21 7 (12 分） 19 （本小题 12 分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018 年中国快递量世 界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名某快递 公司收取费的标准是： 不超过 1kg 的包裹收费 8 元； 超过 1kg 的包裹， 在 8 元的基础上， 每超过 1kg(不足 1kg，按 1kg 计算)需再收 4 元 该公
31、司将最近承揽(接收并发送)的 100 件包裹的质量及件数统计如下(表 1)： 表 1： 公司对近 50 天每天承揽包裹的件数(在表 2 中的“件数范围”内取的一个近似数据)、 件数 范围及天数，列表如下(表 2)： 表 2： ()将频率视为概率，计算该公司未来 3 天内恰有 1 天揽件数在(100，300内的概率； () 根据表 1 中最近 100 件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递 费的平均值： 根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润， 其余用作其他费用目前，前台有工作人员 5 人，每人每天揽件数不超过 100 件，日工 资 80 元公司正
32、在考虑是否将前台人员裁减 1 人，试计算裁员前、后公司每天揽件数 的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台 工作人员 1 人? (桃源一中) 解：()将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300内的天数为102535， 频率为 357 5010 f ，故该公司 1 天揽件数在(100，300内的概率为 7 10 (2 分） 未来 3 天包裹件数在(100，300内的天数 X 服从二项分布，即 7 (3 ) 10 XB ， 所以未来 3 天内恰有 1 天揽件数在100，299内的概率为： 12 3 73189 ()() 10 101000 PC(5 分）
33、() 由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元） 、包裹件数如下表所示： 所 以每件包裹收取快递费的平均值为 包裹质量（kg) （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 包裹件数 43 30 15 8 4 件数范围 (0，100 (100，200 (200，300 (300，400 (400，500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数 50 150 250 350 450 包裹质量（kg) （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 快递费 （元） 8 12 16 20 24 包裹件数 43 30 15 8 4 数学（理科）试题第 15 页 共 4 页 1 4
34、3 830 12 15 168 204 2412 100 (7 分） 根据题意及，揽件数每增加 1，公司快递收入增加 12（元） 若不裁员，则每天可揽件的上限为 500件，公司每日揽件数情况如下： 每天承揽包裹的件数 Y 的期望 E(Y)=50 0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+450 0.1=240 公司每日利润的期望值为 1 240 125 80560 3 元(9 分） 若裁员 1人，则每天可揽件的上限为 400 件，公司每日揽件数情况如下： 每天承揽包裹的件数 Y 的期望 E(Y)=50 0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+400 0.1=235
35、 公司每日利润的期望值为 1 235 124 80620 3 元(11 分） 因为 560620 ，所以公司应将前台工作人员裁员 1人(12 分） 20.有一种曲线画图工具如图 1 所示 是滑槽的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 2 1 ONDN， 1DM当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动，M 处的笔尖画出的曲 线记为 C以 为原点，所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 （）求曲线 C 的轨迹方程； 件数范围 (0，100 (100,200 (200,300 (30
36、0，400 (400，500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数 Y 50 150 250 350 450 概率 P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 件数范围 (0，100 (100，200 (200，300 (300，400 (400，500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数 Y 50 150 250 350 400 概率 P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 数学（理科）试题第 16 页 共 4 页 （2)设 2 F为曲线 C 的右焦点，P为曲线 C 上一动点， 直线 2 PF斜率为)0( kk， 且 2 PF 与曲线 C 的另一个交点为 Q
37、， 是否存在点), 0(tT， 使得TQPTPQ,若存在， 求t的 取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题） 解（1）设),(yxM则）（0 , 2 x D，则 1) 2 ( 22 y x x及1 4 2 2 y x 5 （2）设直线PQ的方程为(3)yk x， 将(3)yk x代入 2 2 1 4 x y，得 2222 148 31240kxk xk； 设 1122 ,P x yQ x y，线段PQ的中点为 00 ,N x y， 2 1212 000 22 4 33 ,3 214214 xxyykk xyk x kk ， 即 2 22 4 33 , 1414 kk N kk
38、 8 因为TQPTPQ所以直线TN为线段PQ的垂直平分线， 所以TN PQ ，则 1 TNPQ kk ，即 ， 所以 2 3 33 3 1 41 4 k t k k k ， 0 1 当0k 时，因为 1 44k k ，所以 3 3 0, 4 t ， 当k0时，因为 1 44k k ，所以 3 3 ,0 4 t . 综上，存在点T，使得|TPTQ，且t的取值范围为 3 33 3 ,00, 44 2 1 2 2 2 3 41 1 4 3 41 k t k k k k 数学（理科）试题第 17 页 共 4 页 21 （本小题 12 分）已知函数( )(ln ) x f xxea xx，其中2.718
39、28e 为自然对数的 底数. （1）若( )1f x ，求实数a的值； （2）证明： 2 (2ln )2(1 sin ) x x exxx.（常德 市一中） 解： （1）法一： 当0a 时， 111 ( )(ln)ln1 2222222 eeee haa与( )1f x 恒成立矛盾，不 合题意； 当0a 时， (1)() ( ) x xxea fx x ，令( ) x xahex ，则( )(1)0 x h xxe， 所以( )h x在(0,)上递增，又(0)0ha ，( )(1)0 aa h aaeaa e 故存在 0 (0,)x ，使 0 ()0h x，且 0 0 x x ea， 00 l
40、nnl xxa 当 0 (0,)xx时，( )0h x ，( )0fx ，( )f x递减， 当 0 (,)xx时，( )0h x ，( )0fx ，( )f x递增 所以 0 min0000 ( )()nnl(l x eaaaf xf xxaxx 故( )1f x ，即ln10aaa ，令( )ln1aaaa， 则( )lnaa，知( )a在(0,1)上递增，在(1,)上递减， 所以 max ( )(1)0a，要使( )ln10aaaa ，当且仅当1a 综上，实数a的值为 1 法二： ln ( )(ln )(ln ) xx x f xxea xxea xx ，令ln ,txx tR 则( )
41、1f x 等价于10 t eat ，对任意tR恒成立，令( )1 t h teat， 当0a 时， 1 0 ( )220 a h tee与( )0h t 恒成立矛盾，不合题意； 当0a 时，( )1 t h te， 1 1 ( 1)110he e 与( )0h t 恒成立矛盾，不合题意； 当0a 时，( ) t ah te，( )h t在(,ln )a上递减，在(ln ,)a 上递增， 所以( )h t的最小值为(ln )ln1haaaa 令( )ln1aaaa，则( )lnaa，知( )a在(0,1)上递增，在(1,)上递减， 所以 max ( )(1)0a，要使( )ln10aaaa ，当
42、且仅当1a （2）由（1）知，当1a 时，ln1 x xexx，即ln1 x xexx， 所以 22 ln x x exxxx， 数学（理科）试题第 18 页 共 4 页 下面证明 2 ln(2ln )2(1 sin )xxxxxxx，即证： 2 22sin0xxx 令 2 ( )22sing xxxx，( )21 2cosg xxx 当01x时，显然( )g x单调递增，( )(1)1 2cos1 1 2cos0 3 g xg ， 所以( )g x在(0,1上单调递减，( )(1)22sin10g xg， 当1x 时，显然 2 ,22sin0xxx，即( )0g x 故对一切(0,)x，都有
43、( )0g x ，即 2 ln(2ln )2(1 sin )xxxxxxx 故原不等式 2 (2ln )2(1 sin ) x x exxx成立 22(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中，直线 1 C：10xy+-=，曲线 2 C： sin1 cos ay ax (为 参数,0a)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. ()说明 2 C是哪一种曲线，并将 2 C的方程化为极坐标方程. ()曲线 3 C的极坐标方程为 0 =(0)， 其中 0 tan2 =，0(0) 2 ， 且曲线 3 C分 别交 1 C， 2 C于点A，B两点，若3+ 5OBOA=，求a的值. (桃源一中) 解：() 由 sin1 cos ay ax 消去参数得： 2 C的普通方程为 222 ) 1(ayx，（2 分） 则 2 C是以) 10( ，为圆心，a为半径的圆. （3 分） sin,cosyx， 2 C的极坐标方程为 222 ) 1sin()cos(a， 即 2 C的极坐标方程为01sin2 22 a，（5 分） ()曲线 3 C极坐标方程为 0 =(0)， 0 tan2 =，且 0 2 sin 5 = 所以曲线 3 C的直角坐标方程为2yx=)0( x 由 10 2 xy
