1、 2020 届江苏高三高考数学全真模拟试卷届江苏高三高考数学全真模拟试卷 01 数学试题 I 一、填空题（共 70 分） 1、已知集合 Axx22x0 ，B0，2，4 ，CAB，则集合 C 的子集共有个. 答案答案：4 解析解析：Ax0x2 ，所以，CAB0，2 ， 集合 C 的子集有：， 0 ， 2 ， 2，4 ，共 4 个。 2、已知复数 z 满足43 ( z i i i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数z. 答案答案：3 4i 解析解析：由43 z i i ，得 2 43zii，即3 4zi ，所以，z3 4i 3、已知双曲线 2 2 1(0) x ym m 的一条渐近线方程为 x3y
2、0，则 m. 答案答案：9 解析解析： 2 2 1(0) x ym m 的渐近线方程为： 1 yx m ， 又双曲线的一条渐近线方程为 x3y0，即 1 3 yx ， 所以，3m ，m9 4、随机抽取 100 名年龄在10,20） ， 20,30） ， 50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的 频率分布直方图如图所示，从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人，则在50,60）年 龄段抽取的人数为. 答案答案：2 解析解析：不小于 40 岁的人数为： （0.015+0.005） 10 10020， 不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人，比
3、例为： 82 205 ， 50,60）年龄段抽取的人数为：0.005 10 1002 5 2. 5、为强化环保意识，环保局每周从当地的 5 所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取 3 所进行污水合 格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是. 答案答案： 3 10 解析解析：5 所化工厂中随机抽取 3 所，所有可能为：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊， 甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，共 10 种， 甲，乙化工厂都被抽测的有：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，共 3 种， 所以，所求的概率为： 3 10 6、如图，若输入的 x 值为 3 ，则相应输出的值 y 为. 答案答案：
4、1 2 解析解析：x 3 时，sin 3 32 ，cos 1 32 ，所以，sin 3 cos 3 成立，执行“Y”， 即输出 ycos 1 32 。 7、已知一个圆锥的底面半径为3cm，侧面积为 6cm2，则该圆锥的体积是cm3. 答案答案：3 解析解析：圆锥的母线长为 l，则圆锥的侧面积为： 1 2 36 2 l ， 解得：2 3l ，圆锥的高 h 22 (2 3)( 3)3， 所以，圆锥的体积为：V 2 1 ( 3)33 3 8、已知实数 x，y 满足 0 30 40 xy xy xy ，则 1y z x 的取值范围是. 答案答案： 2 ,) 3 解析解析：不等式组表示的平面区域如下图，
5、 1y z x ( 1) 0 y x ，看成是平面区域内取一点 P（x，y）与点 Q（0，1）的连线的斜率， 由图可知，直线 AQ 的斜率最小，无最大值， 点 A 的坐标为（3,1） ，kAQ 1 ( 1)2 303 ， 所以， 1y z x 的取值范围是 2 ,) 3 。 9、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，b3，C2A，则 cosC 的值为. 答案答案： 1 4 解析解析：因为 C2A，所以，sinCsin2A，即 sinC2sinAcosA， 由正弦定理，得：c2acosA，所以，cosA 24 cc a ， 又由余弦定理，得：cosA 2222 94
6、264 bcacc bcc ，解得： 2 c10， cosC 222 49 101 2124 abc ab 10、已知 F1，F2分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，点 A，B 分别是椭圆 E 的右顶点和上 顶点，若直线 AB 上存在点 P，使得 PF1PF2，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是. 答案答案： 51 ,1) 2 解析解析：如下图，依题意，得 A（a，0） ，B（0，b） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 直线 AB 的方程为： b yxb a ， 点 P 在直线 AB 上，设 P 点坐标为（, b xxb a ） ， 由 PF1PF2
7、，得， 12 PF PF0，即 (,) b cxxb a (,) b cxxb a 0，即 22 2222 2 2bb xcxxb aa 163文库0， 化简，为： 22 222 2 2 (1)2 bb xxba aa 0 （1） 直线 AB 上存在点 P，使得 PF1PF2，即方程（1）有解， 所以， 42 22 22 4 4(1)(2)0 bb ba aa ， 化简，得： 4224 0ab ab，即 422222 2 ()()0aac aac， 化简，得： 4422 30aca c，即 2 4 2 3 ( )10 cc aa ，即 42 310ee ， 解得： 2 3535 22 e ，即
8、 2 62 562 5 44 e ，即 222 5151 ()() 22 e ， 即 5151 22 e ，又椭圆中 0e1， 所以， 51 1 2 e 11、已知an是等差数列，a515，a1010，记数列an的第 n 项到第 n5 项的和为 Tn，则|Tn|取得最小 值时 n 的值为_ 答案答案：5 或 6 解析解析：因为 a515，a1010，所以公差 da10a5 105 5，所以 a1a54d35，所以 ana1(n1)d 355(n1)5n40，an55n15，Tn6（anan 5） 2 15(112n)，当 112n 1，即 n5 或 6 时，|Tn|取得最小值 15. 12、
9、在平面四边形 OABC 中， 已知|3OA ， OAOC， ABBC， ACB60 ， 若O BA C6， 则|OC . 答案答案：3 解析解析：以 O 为原点建立平面直角坐标系，如下图，设 C（0，y） ， 因为 OAOC，所以，0OC OA， 因为 ABBC，ACB60 ，所以，cos60 | | BC AC ， OB AC()OCCB ACOCACCB AC() | |cos120OCOCOACBAC 2 | cos60 |cos120OCOC OAACAC 222 1 ( 3) 4 yy6， 解得：y3，所以，|OC 3 13、已知函数 f(x)ln(x x21)，若正实数 a，b 满
10、足 f(2a)f(b1)0，则1 a 1 b的最小值是_ 答案答案：32 2 解析解析：f(x)ln(x x21)的定义域为 R，且 f(x)f(x)ln(x x21)ln(x x21)ln(x21x2) 0，所以若 f(2a)f(b1)0，则一定有 2ab10，即 2ab1. 故1 a 1 b 2ab a 2ab b 2b a 2a b 1.又 a0，b0，所以b a 2a b 2 2，当且仅当 b 2a 时等号成立， 所以1 a 1 b的最小值为 32 2. 14、定义 mina，b , , a ab b ab ，已知函数 2 1 ( ), ( )(1)(21) x f xeg xxmxm
11、m m ，若 ( )min ( )( )h xf xg x恰好有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是. 答案答案： 122 ( ,)(,1) 22e 解析解析：当 m0 时， 1 ( ) x f xe m 的图象在 x 轴上方的增函数，无零点， 2 ( )(1)(21)g xxmxmm至多有 2 个零点，与题意不符，所以，m0。 当 m0 时， 1 ( ) x f xe m 的零点为： 1 lnxlnm m ， 2 ( )(1)(21)g xxmxmm的零点为： 1 1x ， 2 1 12xm m ， （1）若 1 12m m 1，则有 2 0 2 m，画出函数图象如下图， 由图可知，要有
12、3 个零点，须：lnm1，即 1 lnlne m ，即 1 m e ， 所以， 12 2 m e 。 （2）若 1 12m m 1，则有 2 2 m ，画出函数图象如下图， 由图可知，要有 3 个零点，须：lnm 1 12m m ，即 1 12lnmm m 0， 令：即 1 ( )12lnf mmm m ，求导，得： 2 22 1121 ( )2 mm fm mmm ， 对于函数 2 ( )21g mmm ，1870，所以，( )0g m 恒成立， 即( )fm0 恒成立，所以，函数- 1 ( )12lnf mmm m 是减函数， 又 f（1）0，所以，要 1 ( )12lnf mmm m 0
13、，须 m1 所以， 2 1 2 m。 综上可知，实数 m 的取值范围是 122 ( ,)(,1) 22e 二、解答题（共二、解答题（共 90 分）分） 15、 （本小题满分 14 分）在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 CC1的中点，N 为 AB 的中点，平面 ABC平 面 ABB1A1. (1) 求证：MN平面 A1BC1； (2) 若 ABBC，ABBB1，求证：AC1A1B. 证明：(1) 如图，连结 AB1交 A1B 于点 O，连结 ON，C1O， 在平行四边形 ABB1A1中，O，N 分别为 A1B，AB 的中点， 所以 ONAA1，ON1 2AA1. 在平行四边形 AA1C1
14、C 中，AA1CC1，AA1CC1， 又 M 为 CC1的中点， 所以 ONC1M，ONC1M， 所以四边形 ONMC1是平行四边形， 所以 MNOC1. 因为平面 A1BC1，OC1平面 A1BC1， 所以 MN平面 A1BC1. (2) 在平行四边形 ABB1A1中，ABBB1， 所以四边形 ABB1A1为菱形，所以 AB1A1B. 因为平面 ABC平面 ABB1A1，平面 ABC平面 ABB1A1AB，ABBC，所以 BC平面 ABB1A1， 所以 A1BBC，所以 A1BB1C1. 又 AB1B1C1B1， 所以 A1B平面 AB1C1.又 AC1平面 AB1C1，所以 A1BAC1.
15、 16、 （本小题满分 14 分） 已知 sin( 4) 2 10，( 2，) (1) 求 cos 的值； (2) 求 sin(2 4)的值 解：(1) (解法 1)因为 2， ，所以 4 3 4 ，5 4 . 又 sin 4 2 10，所以 cos 4 1sin2 4 1（ 2 10） 27 2 10 . 所以 cos cos 4 4 cos 4 cos 4sin 4 sin 4 7 2 10 2 2 2 10 2 2 3 5. (解法 2)由 sin 4 2 10，得 sincos 4cossin 4 2 10， 即 sin cos 1 5 . 又 sin2cos21 ， 由解得 cos
16、3 5或 cos 4 5. 因为 2， ，所以 cos 3 5. (2) 因为 2， ，cos 3 5， 所以 sin 1cos21 3 5 2 4 5. 所以 sin 22sincos2 4 5 3 5 24 25， cos 22cos212 3 5 2 1 7 25. 所以 sin 2 4 sin2cos 4cos2sin 4 24 25 2 2 7 25 2 2 17 2 50 . 17、 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 3 2 ，设椭圆的左顶点为 A， 下顶点为 B，原点到直线 AB 的距离为2 5
17、 5 ，过 x 轴正半轴上一点 F 作直线 l 交椭圆于 M，N 两点(其中 M 在 N 的上方)，直线 AM 交 y 轴于点 E. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当 N 点和 B 点重合时，求证：四边形 ANFE 的面积为定值 解：(1)由已知可知 A(a，0)，B(0，b)， 所以直线 AB 的方程为 bxayab0. 因为原点到直线 AB 的距离为2 5 5， 所以 |ab| a2b2 2 5 5. 由题意可知 a2b2c2，c a 3 2 ， 解得 a24， b21， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2) 证明：设 M(x0，y0)(x00，y00)， 且x 2
18、0 4y 2 01，即 x 2 04y 2 04. 则直线 AM 的方程为 y y0 x02(x2)， 令 x0，得 y 2y0 x02. 直线 MN 的方程为 y1y01 x0 x， 令 y0，得 x x0 y01. 所以四边形 ANFE 的面积 S1 2 x0 y012 2y0 x021 1 2 x02y02 y01 x02y02 x02 1 2 x204y202（2x0y02x04y0）4 x0y0x02y02 2x0y02x04y04 x0y0x02y02 2. 即四边形 ANFE 的面积为定值 2. 18、 （本小题满分 14 分） 如图，某机械厂欲从 AB2 米，AD2 2米的矩形
19、铁皮中裁剪出一个四边形 ABEF 加工成某仪器的零 件，裁剪要求如下：点 E，F 分别在边 BC，AD 上，且 EBEF，AFBE.设BEF，四边形 ABEF 的面 积为 f()(单位：平方米) (1) 求 f()关于 的函数关系式，并求出定义域； (2) 当 BE，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形 ABEF 的面积最小，并求出最小值 解：(1) 过点 F 作 FMBE，垂足为 M. 在 RtFME 中，MF2，EMF 2，FEM， 所以 EF 2 sin，ME 2 tan，故 AFBMEFEM 2 sin 2 tan， 所以 f()1 2(AFBE) AB 1 2 2 sin 2 tan
20、2 sin 2 4 sin 2 tan. 又 AFBE，所以 2，且当点 E 重合于点 C 时，EFEB2 2，FM2， 4， 所以函数 f() 4 sin 2 tan，定义域为 4， 2 . (2) 由(1) 可知，f() 4 sin 2 tan 4 sin2 2cos 2 2 2sin 2cos 2 2 2tan 2 1tan2 2 2 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 tan 23tan 2 1 tan 2 23tan 2 1 tan 2 2 3， 当且仅当 3tan 2 1 tan 2 时，不等式取等号 又 4， 2 ， 2 8， 4 ，故 tan 2 3 3 ， 2 6，
21、3，BE 2 sin 4 3 3 ，AF 2 sin 2 tan 2 3 3 . 所以当 BE，AF 的长度分别为4 3 3 米，2 3 3 米时，裁剪出的四边形 ABEF 的面积最小，最小值为 2 3平 方米 19、 （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)xln x，g(x)ax 2 2 . (1) 求函数 f(x)在 xe 处的切线方程； (2) 若至少存在一个 x01，e使 f(x0)g(x0)成立，求实数 a 的取值范围； (3) 设 kZ 且 f(x)(k3)xk2 在 x1 时恒成立，求整数 k 的最大值 解：(1) f(x)ln x1， f(e)2，由 f(e)e， 函数
22、f(x)在 xe 处的切线方程为 ye2(xe)，即 2xye0. (2) 若存在一个 x01，e使 f(x0)g(x0)成立，即 x0ln x0ax 2 0 2 ，则 a2ln x0 x0 . 令 h(x)2ln x x ，当 x1，e时，h(x)2（1ln x） x2 0 恒成立 因此，h(x)2ln x x 在1，e上单调递增，故当 x1 时，h(x)min0. 即实数 a 的取值范围是(0，) (3) 由题意得 xln x(k3)xk2 在 x1 时恒成立，即 kxln x3x2 x1 . 令 F(x)xln x3x2 x1 ，则 F(x)xln x2 （x1）2. 令 m(x)xln
23、 x2，则 m(x)11 x x1 x 0 在 x1 时恒成立 m(x)在(1，)上单调递增，且 m(3)1ln 30，m(4)2ln 40. 在(1，)上存在唯一实数 b(b(3，4)，使 m(x)0，即 m(b)0. 当 1xb 时，m(x)0，即 F(x)0. F(x)在(1，b)上单调递减，在(b，)上单调递增 F(x)minF(b)bln b3b2 b1 b（b2）3b2 b1 b2(5，6) 故 kb2，又 kZ， 整数 k 的最大值为 5. 20、 （本小题满分 14 分） 已知等比数列an的公比 q1，且 a1a320，a28. (1) 求数列an的通项公式； (2) 设 bn
24、 n an，Sn是数列bn的前 n 项和，对任意正整数 n，不等式 Sn n 2n 1(1)n a 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1) 由已知得 a1（1q2）20， a1q8， 2q25q20，解得 q1 2或 q2. q1， a14， q2， 数列an的通项公式为 an2n 1. (2) 由题意，得 bn n 2n 1， Sn 1 22 2 23 3 24 n 2n 1， 1 2Sn 1 23 2 24 n1 2n 1 n 2n 2， 两式相减，得1 2Sn 1 22 1 23 1 24 1 2n 1 n 2n 2， Sn1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n 1 1 2
25、1 1 2n 11 2 n 2n 11n2 2n 1， (1)n a1 1 2n对任意正整数 n 恒成立， 设 f(n)1 1 2n，易知 f(n)单调递增， 当 n 为奇数时，f(n)的最小值为1 2， a 1 2，即 a 1 2； 当 n 为偶数时，f(n)的最小值为3 4， a 3 4. 由可知1 2a 3 4，即实数 a 的取值范围是 1 2， 3 4 . 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题，请选定其中两小题请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答 ，若多做若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应
26、写出文字说明则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 A选修：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知 a，bR，向量 2 1 是矩阵 A 1a b4 的属于特征值 2 的一个特征向量，求矩阵 A 的另一个 特征值及 A 1. 解：由题意，A2，即 1a b4 2 1 2 2 1 ， 所以 2a4， 2b42，即 a2， b1，所以 A 12 14 ， 令 f() 12 14 (1)(4)20， 解得 12，23，所以矩阵 A 的另一个特征值为 3.由逆矩阵公式得，A 1 2 3 1 3 1 6 1 6 . B选修：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分
27、） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 6sin 1 0，直线 l 的参数方程为 x3 1 2t， y3 3 2 t (t 为参数) (1) 求曲线 C 的普通方程； (2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为(3，3)，求 PAPB 的值 解：(1) 由曲线 C 的极坐标方程为 2cos 6sin 1 0， 可得 22cos 6sin 10， 即 x2y22x6y10， 故曲线 C 的普通方程为 x2y22x6y10. (2) 由于直线 l 的参数方程为 x3 1 2t， y3 3 2 t (t 为
28、参数) 把它代入曲线 C 的普通方程，整理得 t22t50， t1t22，t1t25. 又 PA|t1|，PB|t2|，PAPB|t1|t2|（t1t2）24t1t22 6. PAPB 的值为 2 6. C选修：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 f(x)|x|x3|. (1) 解关于 x 的不等式 f(x)1； (2) 若存在 x0R，使得关于 x 的不等式 mf(x0)成立，求实数 m 的取值范围 解： (1) 原不等式等价于不等式组 x0， x（x3）1或 0x3， x（x3）1或 x3， xx31.不等式组 无解；解不等式组得 2x3；解不等式组得 x3，所以原不等式的解集为
29、2，) (2) 由题意知 mf (x)max，因为 f(x)|x|x3|xx3|3，所以 f(x)max3，所以 m3，即 m(， 3 【必做题】第【必做题】第22题题、第第23题，每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 甲、乙两位同学参加数学建模比赛在备选的 5 道题中，甲答对每道题的概率都是2 3；乙能答对其中的 3 道题甲、乙两人都从备选的 5 道题中随机抽出 3 道题独立进行测试规定至少答对 2 道题才能获奖 (1)
30、求甲答对的题数 X 的分布列和数学期望； (2) 求甲、乙至少有一人获奖的概率 解：(1) 根据题意，X 的所有可能取值分别为 0，1，2，3. 因为甲答对其中每道题的概率是2 3， 所以 XB 3，2 3 ，P(Xk)Ck3 2 3 k 12 3 3k ，k0，1，2，3. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 X 的数学期望 E(X)01 271 2 92 4 93 8 272. (2) 记“甲获奖”为事件 A，设乙答对的题数为 Y，“乙获奖”为事件 B. P(A)P(X2)P(X3)4 9 8 27 20 27； P(B)P(Y2)P(Y3)C
31、 2 3C 1 2 C35 C 3 3C 0 2 C35 7 10. 记“甲、乙至少有一人获奖”为事件 M，则 M 为“甲、乙两人都未获奖” P(M)1P(M)1P(AB)1P(A)P(B)1(1P(A)(1P(B) 1 120 27 1 7 10 83 90. 故甲、乙至少有一人获奖的概率为83 90. 23 （本小题满分 10 分） 已知抛物线C： 2 2xpy（0p ）过点(2,1)，直线l过点(0, 1)P与抛物线C交于A，B两点点A 关于y轴的对称点为 A ，连接A B （1）求抛物线C的标准方程； （2）问直线A B是否过定点？若是，求出 A A B x y O P 定点坐标；若不
32、是，请说明理由 解析： （1）将点(2,1)代入抛物线C： 2 2xpy的方程得2p ， 所以，抛物线C的标准方程为 2 4xy （2）设直线l的方程为1ykx，又设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则 11 (,)Ax y 由 1 , 4 1 2 kxy xy 得 2 440xkx，则01616 2 k，kxx4 21 ，4 21 xx， 所以 22 21 2121 2112 44 ()4 A B xx yyxx k xxxx ， 于是直线A B的方程为 2 221 2 () 44 xxx yxx ， 即 2 21221 2 ()1 444 xxxxx yxxx ， 当0x 时，1y ，所以直线A B过定点(0,1)
