1、 2020 届江苏高三高考数学全真模拟试卷届江苏高三高考数学全真模拟试卷 04 数学试题 I 一、 填空题（共 70 分） 1. 已知集合 A(x，y)|yln x，B(x，y)|xa若 AB，则实数 a 的取值范围是_ 答案：(，0 解析：由于集合 A 中 yln x，所以 x0，要使 AB，则 a0. 2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为 120 件，90 件，60 件为了解它们的产品质 量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取 了 4 件，则 n_ 答案：18 解析：条件中丙车间共有 60 件产品，抽取了 4 件产
2、品，抽取的比例为 1 15，而甲、乙车间分别有 120 件和 90 件，所以应该分别抽取120 15 8 件与90 156 件，所以容量 n86418(件) 3. “实数 a1”是“复数(1ai)i(aR，i 为虚数单位)的模为 2”的_条件(选填“充分不必要”“必要 不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 解析：由复数(1ai)iai(aR，i 为虚数单位)的模为 2，可得 a21 2，所以 a 1，所以“实数 a1”是“复数(1ai)i(aR，i 为虚数单位)的模为 2”的充分不必要条件 4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 s_ 答案：46 解析：由条件
3、得 i2 时，s4；i3 时，s10；i4 时，s22；i5 时，s46.因为此时 i4， 所以输出 s 为 46. 5.已知一个圆锥的底面积为 2，侧面积为 4，则该圆锥的体积为_. 答案：2 6 3 解析：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由条件得 r22， rl4，解得 r 2， l2 2，所以圆锥的高 h l2r2 6，所以其体积为1 3r 2h1 32 6 2 6 3 . 6. 函数 f(x)x23x4，则任取一点 x03，7，使得 f(x0)0 的概率为_. 答案：1 2 解析：由 f(x)0 可得x 23x40，解得1x4，所以任取一点 x 03，7，使得 f(x0)0 的
4、概率为 5 10 1 2. 7. 若曲线 f(x)xcos x1 在 x0 处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a_. 答案：2 解析：由 f(x)xcos x1 可得 f(x)cos xxsin x，f(0)1，由条件得a 21，所以 a2. 8. 已知点P(1， 0)到双曲线C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的一条渐近线的距离为 1 2， 则双曲线C的离心率为_ 答案：2 3 3 解析：由条件得双曲线的渐近线的方程为 bx ay0，则 b a2b2 1 2，即 a 23b2，所以双曲线 的离心率 ec a a2b2 a 2 3 3 . 9. 已知 sin()2sin
5、()0，且 tan 3.若 (0，)，则 _. 答案： 4 解析：由 sin()2sin()0 得 3sin cos cos sin 0.因为 tan 3，所以 tan 1.因 为 (0，)，所以 4. 10. 设数列lg an是公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 S1155，则 a2的值为_ 答案：10 解析：由已知条件得 11 lg a111 10 2 155，所以 lg a10，所以 lg a21，即 a210. 11. 已知关于 x 的一元二次不等式 ax22xb0 的解集为 x|x1 a ， 且 ab， 则 ab a2b2的最大值为_. 答案： 2 4 解析： 由题意
6、得 224ab0， 且 a0， 即 ab1.因为 ab， 所以 ab0， 所以 ab a2b2 ab （ab）22ab ab （ab）22 1 （ab） 2 （ab） 1 2 2 2 4 ，当且仅当 ab 2时，等号成立 12. 已知圆 C：(x4)2(y4)24，且 A(a，0)，B(0，a)(a0)若对于圆 C 上任意一点 P，APB 均为锐 角，则 a 的取值范围是_. 答案：(0，4 2) 解析：设 P(m，n)，其中 m0，n0，且(m4)2(n4)24，即 m2n28(mn)28 0，所以（mn） 2 2 m2n28(mn)28，所以 82 2mn82 2.而PA (am，n)，P
7、B(m， an). 因为APB 均为锐角，所以PA PB(am，n) (m，an)m2n2a(mn)0 恒成立，即 a0， 20)的离心率为 3 2 ，点 A，B 分别为椭圆 C 的 上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆 C 于 D，E 两点，交 AB 于 M 点，其中点 E 在第一象限，设直 线 DE 的斜率为 k. (1) 当 k1 2时，求证：直线 DE 平分线段 AB； (2) 已知点 A(0，1)， 若 SADM6SAEM，求 k 的值； 求四边形 ADBE 面积的最大值 (1) 证明： e 3 2 ， c 3 2 a，ba 2，故 A 0，a 2 ，B(a，0)，(2 分) 则
8、AB 中点 M a 2， a 4 . 而 kOM a 4 a 2 1 2，即 AB 中点 M在直线 DE 上， 直线 DE 平分线段 AB.(4 分) (2) 解： 点 A(0，1)， 椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. 设 E(x1，y1), M(x0，y0)，则 D(x1，y1)，AB 的直线方程为x 2y1. 设点 A 到直线 DE 的距离为 d, SADM6SAEM，则1 2DM d6 1 2ME d， DM6ME.(6 分) DM ME x0（x1） x1x0 6，即 7x05x1， 由 ykx， x2 4y 21，解得 x1 4 14k2. 由 ykx， x 2y1， 解得 x
9、0 2 2k1.(8 分) 7 2 2k15 4 14k2，即 24k 225k60， k2 3或 k 3 8.(10 分) 点 E 到直线 AB 的距离 d1|x12y12| 5 ，点 D 到直线 AB 的距离 d2|x12y12| 5 . SADBE1 2AB(d1d2) 1 2 5 |x12y12| 5 |x12y12| 5 (12 分) 1 2(x12y12x12y12)x12y1(14 分) x214y214x1y1 x214y21（x214y21） 82 2. 当且仅当 x12y1时取等号. 四边形 ADBE 面积的最大值为 2 2 .(16 分) 19. (本小题满分 16 分)
10、 已知单调递增数列an满足 a2n4Sn2an15，nN*，且 a10，极大值 g(1)1, 函数 g(x)的值域是(0，1. (3 分) (2) f(x)2a2 x，x(0，e 当 2a0 即 a2 时，f(x)0 即 a2 时，令 f(x)0，得 x 2 2a. x 0， 2 2a 2 2a 2 2a， f(x) 0 f(x) 极小值 对任意给定的 x0(0，e，在区间(0，e上总存在两个不同的 xi(i1，2)，使得 f(xi)g(x0)成立， 0 2 2ae, 解得 a2 2 e.(6 分) f(1)0， 极小值 f 2 2a f(1)0. 对于函数 f(x)，当 x0 时，f(x)；
11、 f(e)(2a)(e1)2. 由(1)知，函数 g(x)的值域是(0，1, 则有 a22 e， （2a）（e1）21， 解得 a2 3 e1， a 的取值范围是(，2 3 e1(9 分) (3) 设函数 f(x)具备性质“L”，即在点 M 处的切线斜率等于直线 AB 的斜率 不妨设 0x1x2， kABy1y2 x1x2 （2a）（x1x2）2（ln x1ln x2） x1x2 2a2ln x1ln x2 x1x2 ， f(x0)2a 2 x0， 2ln x1ln x2 x1x2 2 x0 4 x1x2，即 ln x1 x2 2（x1x2） x1x2 2 x1 x21 x1 x21 .(12
12、 分) 令 tx1 x2，则 0t1，上式化为 ln t 2（t1） t1 2 4 t1，即 ln t 4 t120. 令 h(t)ln t 4 t12，0t0， h(t)在(0，1)上是增函数 h(t)0， a2b2b2c2c2a2 abc abc.(10 分) 【必做题】第【必做题】第22题题、第第23题，每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA4，CB4，CC12 2，ACB
13、90 ，点 M 在线段 A1B1上 (1) 若 A1M3MB1，求异面直线 AM 与 A1C 所成角的余弦值； (2) 若直线 AM 与平面 ABC1所成角为 30 ，试确定点 M 的位置 解：(1) 分别以 CA，CB，CC1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C(0，0，0)，A(4，0，0)，A1(4，0，2 2)，B1(0，4，2 2) 因为 A1M3MB1，所以 M(1，3，2 2) 所以CA1 (4，0，2 2)，AM (3，3，2 2)(2 分) 由CA1 AM |CA1 |AM |cosCA1 ，AM ， 得 cosCA1 ，AM CA1 AM |CA
14、1 |AM | 4 24 26 39 39 . 所以异面直线 A1C 与 AM 所成角的余弦值为 39 39 .(4 分) (2) 由 B(0，4，0)，C1(0，0，2 2)知，AB (4，4，0)，AC1 (4，0，2 2) 设平面 ABC1的法向量为 n(a，b，c)， 由 n AB 0， n AC1 0， 得 4a4b0， 4a2 2c0， 所以平面 ABC1的一个法向量为 n(1，1， 2)(6 分) 因为点 M 在线段 A1B1上，所以可设 M(x，4x，2 2)， 所以AM (x4，4x，2 2) 因为直线 AM 与平面 ABC1所成角为 30 ， 所以向量 n 与AM 的夹角的
15、余弦值的绝对值为1 2.(8 分) 由|n AM |n|AM |cosn，AM |， 得|1 (x4)1 (4x) 2 2 2|2 （x4）2（4x）28 1 2， 解得 x2 或 x6. 因为点 M 在线段 A1B1上，所以 x2，即点 M 是线段 AB 的中点(10 分) 23 （本小题满分 10 分） 已知函数 f0(x)eaxsin(bxc)，设 fn(x)为 fn1(x)的导数，nN*. (1) 求 f1(x)，f2(x)，f3(x)； (2) 求 fn(x)的表达式，并证明你的结论 解：(1) f1(x)f0(x)aeaxsin(bxc)beaxcos(bxc) eaxasin(b
16、xc)bcos(bxc) a2b2eaxsin(bxc) (a2b2) 1 2eaxsin(bxc)， 其中 sin b a2b2，cos a a2b2. f2(x)f1(x)a2b2aeaxsin(bxc)beaxcos(bxc) a2b2eaxasin(bxc)bcos(bxc) (a2b2)eaxsin(bxc2) f3(x)f2(x)(a2b2)aeaxsin(bxc2)beaxcos(bxc2) (a2b2) 3 2eaxsin(bxc3)(3 分) (2) 猜想 fn(x)(a2b2) n 2eaxsin(bxcn)，nN*.证明过程如下： 当 n1 时，f1(x)(a2b2) 1 2eaxsin(bxc)成立， 假设 nk 时，猜想成立，即 fk(x)(a2b2) k 2eaxsin(bxck)(5 分) 当 nk1 时，fk1(x)fk(x)(a2b2) k 2aeaxsin(bxck)beaxcos(bxck) (a2b2) k1 2 eax a a2b2sin(bxck) b a2b2cos(bxck) (a2b2) k1 2 eaxsinbxc(k1) 当 nk1 时，猜想成立 由，fn(x)(a2b2) n 2eaxsin(bxcn)对 nN*成立(10 分)
