1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 45 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（ ） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 2 （5 分）下列说法错误的是（ ） A命题 p： “x0R，x02+x0+10” ，则p： “xR，x2+x+10” B命题“若 x24x+30，则 x3”的否命题是真命题 C若 pq 为假命题，则 pq 为假命题 D若 p 是 q 的充分不必要条件，
2、则 q 是 p 的必要不充分条件 3 （5 分）已知 alg0.3，b20.2，c0.80.6，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bcba Cbac Dabc 4 （5 分）在等比数列an中，已知 a36，a3a5+a778，则 a5（ ） A12 B18 C24 D36 5 （5 分）已知抛物线 y242x 的准线与双曲线 2 2 y21（a0）相交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数 a（ ） A1 9 B2 9 C1 3 D 2 3 6 （5 分）将函数() = (3 + 6)的图象向右平移 m（m0）个单位长度，再将图象上 各点的横坐标伸长到
3、原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）为 奇函数，则 m 的最小值为（ ） A 9 B2 9 C 18 D 24 7 （5 分）将 3 本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A1 9 B2 9 C1 3 D4 9 8（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） 第 2 页（共 15 页） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 9 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且 f（x）在（，0）上是减函数，f （
4、2）0，则不等式 xf（x+2）0 的解集是（ ） A （，22，+） B4，20，+） C （，42，+） D （，40，+） 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 10 （5 分）若 a，bN，且 a+b6，复数 a+bi 共有 个 11 （5 分） 已知 （1x） 6a0+a1x+a2x2+a6x6， 则 a2 ， a0a1+a2a3+a4a5+a6 12 （5 分）已知函数 f（x）e2x，则过原点且与曲线 yf（x）相切的直线方程为 13 （5 分）在底面是边长为23的正方形的四棱锥 PABCD 中，顶点 P 在底面的射影 H
5、为正方形 ABCD 的中心，异面直线 PB 与 AD 所成角的正切值为 2，若四棱锥 PABCD 的内切球半径为 r，外接球的半径为 R，则 Rr 14 （5 分）要制作一个容积为 9m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总价是 元 15 （5 分）若 f（x）= 6 ( 0) 1 2(0) ，则 ff（3） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 16已知函数() = ( + 3) 1 4 ( ) （1）求( 3)的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A
6、，B，C，且( 2) = 1 4，a2，求 b+c 的取值范围 17如图，三棱柱 ABCA1BlC1中，BCBB1，BC1B1CO，AO平面 BB1C1C （1）求证：ABB1C； 第 3 页（共 15 页） （2）若B1BC60，直线 A1B1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，求二面角 ABlC1 B 的余弦值 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a10，Sn+nan+1，nN* （）求证：数列an+1是等比数列， （） 设数列bn的首项b11， 其前n项和为Tn， 且点 （Tn+1， Tn） 在直线 :1 = 1 2上， 求 数列 :1的前 n 项和 Rn 19如图，已知圆 G：
7、x2+y22x2y0，经过椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点 F 及 上顶点 B，过圆外一点 M（m，0） （ma）倾斜角为5 6 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点， （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部，求 m 的取值范围 20已知函数 f（x）exxlnx+ax，f（x）为 f（x）的导数，函数 f（x）在 xx0处取得最 小值 （1）求证：lnx0+x00； （2）若 xx0时，f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（6） 参考答案与试题解
8、析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 45 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（ ） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 【解答】解：全集为 R，集合 Ax|log2x1x|0x2， Bx|x21x|x1 或 x1， RBx|1x1， A（RB）x|0x1（0，1） 故选：C 2 （5 分）下列说法错误的是（ ） A命题 p： “x0R，x02+x0+10” ，则p： “xR，x2+x+10” B命题“若 x24x+30，则 x3”的否命题是真命题
9、 C若 pq 为假命题，则 pq 为假命题 D若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的必要不充分条件 【解答】解：命题 p： “x0R，x02+x0+10” ，则p： “xR，x2+x+10”满足命题的 否定形式，所以 A 正确； 命题“若 x24x+30，则 x3”的否命题是 x3，则 x24x+30，否命题的真命题， 所以 B 正确； 若 pq 为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是 pq 为假命题，所以 C 不正确； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以 D 正确； 故选：C 3 （5 分）已知 alg0.3，
10、b20.2，c0.80.6，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bcba Cbac Dabc 【解答】解：alg0.30，b20.21，c0.80.6（0，1） acb 故选：A 第 5 页（共 15 页） 4 （5 分）在等比数列an中，已知 a36，a3a5+a778，则 a5（ ） A12 B18 C24 D36 【解答】解：根据题意，等比数列an中，设其公比为 q， 已知 a36，a3a5+a778，则 66q2+6q478，解可得 q24 或 q23，舍； 故 a56q224， 故选：C 5 （5 分）已知抛物线 y242x 的准线与双曲线 2 2 y21（a0）相交于 A
11、、B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数 a（ ） A1 9 B2 9 C1 3 D 2 3 【解答】解：抛物线的方程为 y242x， 抛物线的准线为 x= 2，焦点为 F（2，0） 又直线 x= 2交双曲线 2 2 y21 于 A、B 两点，FAB 为直角三角形 FAB 是等腰直角三角形，AB 边上的高 FF22， 由此可得 A（2，22） 、B（2，22） ，如图所示 将点 A 或点 B 的坐标代入双曲线方程，得 2 2 8 = 1，解得 a= 2 3 （负值舍去） 故选：D 6 （5 分）将函数() = (3 + 6)的图象向右平移 m（m0）个单位长度，再将图象上
12、 各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）为 奇函数，则 m 的最小值为（ ） A 9 B2 9 C 18 D 24 【解答】解：将函数() = (3 + 6)的图象向右平移 m（m0）个单位长度，可得 y 第 6 页（共 15 页） sin（3x3m+ 6）的图象； 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）sin（1 2x 3m+ 6）的图象， 若 g（x）为奇函数，则当 m 的最小时，3m+ 6 =0，m= 18， 故选：C 7 （5 分）将 3 本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为
13、（ ） A1 9 B2 9 C1 3 D4 9 【解答】解：根据题意，将 3 本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，每本书有 3 种情况， 则一共有 33327 种分法， 若甲、乙都分到书，分 2 种情况讨论： 甲乙丙三人都分到书，有 A336 种情况， 只有甲乙分到书，有 C3226 种情况， 则甲、乙都分到书的的情况有 6+612 种， 故则甲、乙都分到书的概率 P= 12 27 = 4 9； 故选：D 8（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3
14、 D1 【解答】解：E、F 分别为 BC、AB 边上的中点，AE 与 CF 相交于点 G， G 为ABC 的重心，且 = ， = ， = 1 3( + ) = 1 3 ( + ) 第 7 页（共 15 页） = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 ， 又 = + ， + = 1 3 故选：A 9 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且 f（x）在（，0）上是减函数，f （2）0，则不等式 xf（x+2）0 的解集是（ ） A （，22，+） B4，20，+） C （，42，+） D （，40，+） 【解答】解：根据题意，设 g（x）f（x+2） ，g（x）的图象可以由
15、 f（x）的图象向左平 移 2 个单位得到的， 函数 f（x）是 R 上的奇函数，则函数 g（x）的图象关于点（2，0）对称， 则 g（0）f（2）0，g（4）f（2）0， 则 g（x）的草图如图： 故 xf（x+2）0xg（x）0 0 () 0或 0 () 0； 则有 x4 或 x2； 即 x 的取值范围为（，42，+） ； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 10 （5 分）若 a，bN，且 a+b6，复数 a+bi 共有 28 个 【解答】解：a，bN，且 a+b6， 当 a0 时，b0，1，2，3，4，5，6，此时复数
16、共 7 个； 第 8 页（共 15 页） 当 a1 时，b0，1，2，3，4，5，此时复数共 6 个； 当 a2 时，b0，1，2，3，4，此时复数共 5 个； 当 a3 时，b0，1，2，3，此时复数共 4 个； 当 a4 时，b0，1，2，此时复数共 3 个； 当 a5 时，b0，1，此时复数共 2 个； 当 a6 时，b0，此时复数共 1 个； 复数 a+bi 共 7+6+5+4+3+2+128 个 故答案为：28 11 （5 分）已知（1x） 6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a2 15 ，a0a1+a2a3+a4a5+a6 64 【解答】 解： 由 （1x） 6的通项为 :1=
17、 6 ()可得， 令r2， 即x2项的系数a2为62 = 15， 即 a215， 由（1x）6a0+a1x+a2x2+a6x6， 取 x1，得 a0a1+a2a3+a4a5+a61（1）664， 故答案为：15，64 12 （5 分）已知函数 f（x）e2x，则过原点且与曲线 yf（x）相切的直线方程为 2exy 0 【解答】解：设切点为（m，n） ， 函数 f（x）e2x的导数为 f（x）2e2x， 可得切线的斜率为 2e2m， 由切线过原点，可得 = 2 =2e2m， 解得 m= 1 2，ne， 则切线方程为 y2ex 故答案为：2exy0 13 （5 分）在底面是边长为23的正方形的四棱
18、锥 PABCD 中，顶点 P 在底面的射影 H 为正方形 ABCD 的中心，异面直线 PB 与 AD 所成角的正切值为 2，若四棱锥 PABCD 的内切球半径为 r，外接球的半径为 R，则 Rr 3 2 【解答】解：如图，E，F 为 AB，CD 的中点， 由题意，PABCD 为正四棱锥， 第 9 页（共 15 页） 底边长为 23， BCAD， PBC 即为 PB 与 AD 所成角，由 tanPBC2，可得斜高为 23， PEF 为正三角形，边长为23， 正四棱锥 PABCD 的内切球半径，即为PEF 的内切圆半径， 可得 r= 330 = 3 3 3 = 1， 设 O 为外接球球心， 在 R
19、tOHA 中， （PHR）2+AH2R2， 即(3 )2+ (6)2= 2，解得 R= 5 2， Rr= 3 2 故答案为：3 2 14 （5 分）要制作一个容积为 9m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总价是 300 元 【解答】解：设长方体容器的长为 xm，宽为 ym； 则 xy19， 即 xy9； 则该容器的造价为 20xy+10（x+x+y+y） 180+20（x+y） 180+202 180+120300； 第 10 页（共 15 页） （当且仅当 xy3 时，等号成立） 故该容器的最低总价是 3
20、00 元； 故答案为：300 15 （5 分）若 f（x）= 6 ( 0) 1 2(0) ，则 ff（3） 1 2 【解答】解：f（3）1235 ff（3）f（5）sin（;5 6 ）= 1 2 故答案为 1 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 16已知函数() = ( + 3) 1 4 ( ) （1）求( 3)的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且( 2) = 1 4，a2，求 b+c 的取值范围 【解答】解： （1）函数() = ( + 3) 1 4 ( ) 所以( 3) = 3 2 3 2 1 4 = 1 2 所
21、以 f（x）= (1 2 + 3 2 ) = 12 4 + 3 4 2 1 4 = 1 2(2 6)， 所以函数 f（x）的最小正周期为 ； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且( 2) = 1 4， 所以( 6) = 1 2，解得 A= 3 利用正弦定理 = = ， 解得 = 4 3 ， = 4 3 (2 3 )， 所以 b+c= 4 3 + (2 3 ) = 4( + 6)， 由于 0 2 0 = 2 3 2 ，解得 6 2，所以 + 6 ( 3 ， 2 3 )， 所以 + (23，4 第 11 页（共 15 页） 17如图，三棱柱 ABCA1BlC1中，
22、BCBB1，BC1B1CO，AO平面 BB1C1C （1）求证：ABB1C； （2）若B1BC60，直线 A1B1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，求二面角 ABlC1 B 的余弦值 【解答】解： （1）因为 AO平面 BBCC，所以 AOBC， 因为 BCBB，所以四边形 BBCC 为菱形， 所以 BCBC， 因为 AOBCO，所以 BC平面 ABC， AB平面 ABC， 所以 BCAB； （2）直线 A1B1与平面 BB1C1C 所成的角为 30， 根据题意，ABO30，设 BC2，B1BC60， 则 BC2，OB= 3，OAOBtan301， 以 O 为原点，OB，OB，OA 为
23、x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 O（0，0，0） ，B（3，0，0） ，B（0，1，0） ，A（0，0，1） ，C（3，0，0） ， 由 = 11 ，得 A1（3，1，1， ） ， 设平面 BCA的法向量我 = (，)， 由 11 = 3 + = 0 11 = 3 = 0 ，得 = (1， 3，3)， 第 12 页（共 15 页） 平面 BCB 的法向量为 = (0，0，1)， 由 cos ， = 3 7 = 21 7 ， 故所求二面角的余弦值为 21 7 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a10，Sn+nan+1，nN* （）求证：数列an+1是等比数列， （） 设数列bn的首
24、项b11， 其前n项和为Tn， 且点 （Tn+1， Tn） 在直线 :1 = 1 2上， 求 数列 :1的前 n 项和 Rn 【解答】证明： （）由 Sn+nan+1， 得 Sn1+n1an，n2， 得 an+12an+1， an+1+12（an+1） ， a10， a1+11， an+1是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 解： （）由（）可得 an+12n 1， an2n 11， 点（Tn+1，Tn）在直线 :1 = 1 2上， +1 :1 =2， 是以 1 1 = 1 1 =1 为首项，公差为1 2的等差数列， =1+ 1 2（n）= 1 2（n+1） Tn= (+1) 2 ，
25、当 n2 时，bnTnTn1= (+1) 2 (1) 2 =n， 又 b11 满足上式， bnn， :1 =n （1 2） n1 第 13 页（共 15 页） Rn1（1 2） 0+2 （1 2） 1+3 （1 2） 2+n （1 2） n1 1 2Rn1（ 1 2） 1+2 （1 2） 2+3 （1 2） 3+n （1 2） n， 由可得， 1 2Rn1+（ 1 2） 1+（1 2） 2+（1 2） 3+ （1 2） nn （1 2） ， = 1 1 2 11 2 n （1 2） n2（n+2） 1 2， Rn4 +2 21 19如图，已知圆 G：x2+y22x2y0，经过椭圆 2 2 +
26、2 2 =1（ab0）的右焦点 F 及 上顶点 B，过圆外一点 M（m，0） （ma）倾斜角为5 6 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点， （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）2+ 2 2 2 = 0过点 F、B， F（2，0） ，(0，2)， 故椭圆的方程为 2 6 + 2 2 = 1 （2）直线 l： = 3 3 ( )(6) 2 6 + 2 2 = 1 = 3 3 ( ) 消 y 得 2x22mx+（m26）0 由02323， 又6623 设 C （x1， y1） 、 D （x2， y2） ， 则 x1
27、+x2m， 12= 26 2 ， 12= 1 312 3 (1+ 2) + 2 3 ， = (1 2，1)， = (2 2，2) 第 14 页（共 15 页） = (1 2)(2 2) + 12= 2(3) 3 F 在圆 E 的内部， 0 03， 又62363 20已知函数 f（x）exxlnx+ax，f（x）为 f（x）的导数，函数 f（x）在 xx0处取得最 小值 （1）求证：lnx0+x00； （2）若 xx0时，f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围 【解答】 解：（1） 证明： 函数的定义域为 （0， +） ， f （x） ex （lnx+1） +a， () = 1 ， 易知函数 f
28、（x）在（0，+）上为增函数，又(1 2) = 20， (1) = 10， 故函数 f（x）存在唯一零点 (1 2，1)，使得 () = 1 = 0， 且当 x（0，m）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（m，+）时，f（x）0， f（x）单调递增， 故函数 f（x）在 xm 处取得最小值，依题意，mx0， 0 1 0 = 0，即0= 1 0，两边同时取对数得0 = 1 0 = 0， lnx0+x00； （2） 由 （1） 知， 当 xx0时， f （x） ex （lnx+1） +a 的最小值为0 (0+ 1) + = 1 0 + 0+ 1， 当 1 0 + 0+ 1 0， 即 1 (
29、1 0 + 0)时， 此时 f （x） 为x0， +） 上的增函数， ()= (0) = 0 00+ 0= 1 0 + 02+ 0 1 0 + 02+ 01 ( 1 0 + 0) = 1 0 + 0 1， 由（1）知， 1 2 01，故 1 0 + 0 11，即 f（x）1，故 1 ( 1 0 + 0)满足题意； 当 1 0 + 0+ 10，即1 ( 1 0 + 0)时，f（x）有两个不同的零点 x1，x2， 且 x1x0x2， 则(2) = 2 (2+ 1) + = 0，即 = 2 2+ 1， 当 x（x0，x2）时，f（x）0，f（x）为减函数，当 x（x2，+）时，f（x）0， f（x）
30、为增函数， 第 15 页（共 15 页） f（x）minf（x2） ， 注意到 f（1）e+a1 时，a1e，且此时 f（1）e+a10， （i）当 a1e 时，f（1）e+a10f（x2） ， 0x21，即 1x20， 又(2) = 2 22+ 2= 2 22+ (2 2+ 1)2= (1 2)2+ 2= (1 2)(2 1) + 1， 而2 10，故(1 2)(2 1) + 11，即 f（x2）1， 由于在1 2 01下，恒有 1 0 + 0，故1 1 ( 1 0 + 0)； （ii）当 a1e 时，f（1）e+a10f（x2） ， x21x0， 当 x（1，x2）时，f（x）为减函数， f（x）f（1）e+a1，与题设不符，故舍去 综上，实数 a 的取值范围为1e，+）
