1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （4 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （4 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D1
2、6 5 4 （4 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 5 （4 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 6 （4 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 AD 的中点，Q 为线段 B1C1的 动点，则下列说法中错误的是（ ） A线段 PQ 与平面 CDD1C1可能平行 第 2 页（共 16 页） B当 Q 为线段 B1C1的中点时，线段 PQ 与 DD1所成角为 4 C 2 DCD1与 PQ 不可能垂直 7 （4 分）已知0 2 3，随
3、机变量 的分布列如图：则当 a 增大时， 的期望 E（）变化 情况是（ ） 1 0 1 P 1 3 a b AE（）增大 BE（）减小 CE（）先增后减 DE（）先减后增 8 （4 分） 已知函数() = 2 + 4 + 2， 0 2，0 ， 且方程 f （x） a 有三个不同的实数根 x1， x2，x3，则 x1+x2+x3的取值范围为（ ） A( 15 4 ，0- B( 15 4 ，2- C4，+） D4，2） 9 （4 分）如图，在三棱台 ABCA1B1C1中，M 是棱 A1C1上的点，记直线 AM 与直线 BC 所成的角为 ， 直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ， 二面角 MAC
4、B 的平面角为 则 （ ） A， B， C， D， 10 （4 分）设数列an满足 an+1an2+2an2（nN*） ，若存在常数 ，使得 an 恒成立， 则 的最小值是（ ） A3 B2 C1 D1 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）过点 P（1，1）作直线 l 与双曲线2 2 2 = 交于 A，B 两点，若点 P 恰为线段 AB 的中点，则实数 的取值范围是 12 （6 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 第 3 页（共 16 页） 13 （6 分） 已知 （1x） 6a0+a1x+a2x2+a6x6， 则 a2 ， a0
5、a1+a2a3+a4a5+a6 14 （6 分）在ABC 中，a1，cosC= 3 4，ABC 的面积为 7 4 ，则 c 15 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的上、下顶点分 别为 B2，B1，若一个半径为2b，过点 B1，B2的圆 M 与椭圆的一个交点为 P（异于顶点 B1，B2） ，且|k 1k2|= 8 9，则椭圆的离心率为 16 （4 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BCD60，CBCD 23若点 M 为边 BC 上的动点，则 的最小值为 17 （4 分）设 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，且满足
6、f（x）+xf（x）0，则不 等式 f（x+1）（x1）f（x21）的解集为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 bc1，cosA= 1 3， ABC 的面积为 22 （）求 a 及 sinC 的值； （）求 cos（2A 6）的值 19 （15 分）如图，三棱锥 DABC 中，ADCD，ABBC42，ABBC （1）求证：ACBD； 第 4 页（共 16 页） （2）若二面角 DACB 的大小为 150且 BD47时，求直线 BM 与面 ABC 所成角 的正弦值 20 （15 分）
7、在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且 b1，a2，b2成等差 数列，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令= ， （1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为 Tn 21 （15 分）已知抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0） ，过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、 Q 两点，交直线 xt 于 A、B 两点 （1）若点 M 纵坐标为2，求 M 与焦点的距离； （2）若 t1，P（1，1） ，Q（1，1） ，求证：yAyB为常数； （3）是否存在 t，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数？若存在，求出 t 的所有可能值，
8、若不 存在，请说明理由 22 （15 分）设函数 f（x）excosx，g（x）e2x2ax （1）当 ,0， 3-时，求 f（x）的值域； （2）当 x0，+）时，不等式() () 2 恒成立（f（x）是 f（x）的导函数） ，求实 数 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （
9、3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （4 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2， = 3 + 2 故选：B 3 （4 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 的可行域， 可发现
10、z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 第 6 页（共 16 页） 故选：D 4 （4 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】 解： 若 cos2= 1 3， 则 cos212sin 2， sin= 3 3 ， 则 cos2= 1 3” 是 “sin= 3 3 ” 的 不充分条件； 若 sin= 3 3 ，则 cos212sin2，cos2= 1 3，则 cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要
11、条 件； 综上所述： “cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要不充分条件 故选：B 5 （4 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 6 （4 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 AD 的中点，Q 为线段 B1C1的 动点，则下列说法中错误的是（ ） 第 7 页（共 16 页） A线段 PQ 与平面 CDD1C1可能平行 B当 Q 为线段 B1C1的中点时，线段 PQ 与 DD1所成角为
12、 4 C 2 DCD1与 PQ 不可能垂直 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 AD 的中点，Q 为线段 B1C1的动 点， 在 A 中，当 Q 为线段 B1C1中点时，线段 PQ 与平面 CDD1C1平行，故 A 正确； 在 C 中，当 Q 为线段 B1C1的中点时，PQDC1， 线段 PQ 与 DD1所成角为C1DD1= 4，故 B 正确； 在 C 中，PQ 2AB，当且仅当 Q 为线段 B1C1的中点时取等号，故 C 正确； 在 D 中，当 Q 为线段 B1C1的中点时，PQDC1，CD1与 PQ 垂直，故 D 错误 故选：D 7 （4 分）已知0 2 3，随机
13、变量 的分布列如图：则当 a 增大时， 的期望 E（）变化 情况是（ ） 1 0 1 P 1 3 a b AE（）增大 BE（）减小 CE（）先增后减 DE（）先减后增 【解答】解：依题可知 () = 1 3 + + = 2 3 ， () = 1 3 + 2 3 ， 当 a 增大时， 的期望 E（）减小 故选：B 8 （4 分） 已知函数() = 2 + 4 + 2， 0 2，0 ， 且方程 f （x） a 有三个不同的实数根 x1， x2，x3，则 x1+x2+x3的取值范围为（ ） A( 15 4 ，0- B( 15 4 ，2- C4，+） D4，2） 第 8 页（共 16 页） 【解答】
14、解：作出函数 f（x）的图象，方程 f（x）a 有三个不同的实数根 即等价于函数 yf（x）的图象与直线 ya 有三个交点 A，B，C，故有2a2， 不妨设 x1x2x3，因为点 A，B 关于直线 x2 对称，所以 x1+x24， 2log2x32，即1 4 x34，故 15 4 x1+x2+x30 故选：A 9 （4 分）如图，在三棱台 ABCA1B1C1中，M 是棱 A1C1上的点，记直线 AM 与直线 BC 所成的角为 ， 直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ， 二面角 MACB 的平面角为 则 （ ） A， B， C， D， 【解答】解：在三棱台 ABCA1B1C1中，M 是棱 A
15、1C1上的点， 记直线 AM 与直线 BC 所成的角为 ，直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ， 二面角 MACB 的平面角为 根据最小角定理得 ， 根据最大角定理得 故选：A 第 9 页（共 16 页） 10 （4 分）设数列an满足 an+1an2+2an2（nN*） ，若存在常数 ，使得 an 恒成立， 则 的最小值是（ ） A3 B2 C1 D1 【解答】解：:1 = 2 + 2 = (+ 2)( 1)， 若 an2，则 an+1an，则该数列单调递增，所以无限趋于2 若 an2，则 an+1an，则该数列为常数列，即 an2 所以，综上所述，2 的最小值是2 故选：B 二填空题（
16、共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）过点 P（1，1）作直线 l 与双曲线2 2 2 = 交于 A，B 两点，若点 P 恰为线段 AB 的中点，则实数 的取值范围是 （，0）（0，1 2） 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入双曲线可得： 12 12 2 = 22 22 2 = ，两式相减 可得：1;2 1;2 = 2(1:2) 1:2 ，而由题意可得，x1+x2212，y1+y2212， 所以直线 AB 的斜率 k= 12 12 = 22 2 =2，所以直线 AB 的方程为：y12（x1） ，即 y2x1，代入双曲线的方程可得：2
17、x24x+1+20， 因为直线与双曲线由两个交点，所以0，且 0，即1642（1+2）0， 解得： 1 2， 所以实数 的取值范围是（，0）（0，1 2） ， 故答案为： （，0）（0，1 2） 12 （6 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为 3 的四棱锥体， 如图所示： 所以：V= 1 3 1 2 (2 + 4) 3 3 = 9， 故答案为：9 13 （6 分）已知（1x） 6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a2 15 ，a0a1+a2a3+a4a5+a6 64 【
18、解答】 解： 由 （1x） 6的通项为 :1= 6 ()可得， 令r2， 即x2项的系数a2为62 = 15， 即 a215， 由（1x）6a0+a1x+a2x2+a6x6， 取 x1，得 a0a1+a2a3+a4a5+a61（1）664， 故答案为：15，64 14 （6 分）在ABC 中，a1，cosC= 3 4，ABC 的面积为 7 4 ，则 c 2 第 11 页（共 16 页） 【解答】解：a1，cosC= 3 4，ABC 的面积为 7 4 ， sinC= 1 2 = 7 4 ，可得 7 4 = 1 2absinC= 7 8 ab，解得 ab2， b2， 由余弦定理可得 c= 2+ 2
19、 2 =12+ 22 2 1 2 3 4 = 2 故答案为：2 15 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的上、下顶点分 别为 B2，B1，若一个半径为2b，过点 B1，B2的圆 M 与椭圆的一个交点为 P（异于顶点 B1，B2） ，且|k 1k2|= 8 9，则椭圆的离心率为 22 3 【解答】 解： 设P （x0， y0） ， B1（0， b） ， B2（0， +b） ， 由|k 1k2|= 8 9， | 0; 0 0: 0 |= 8 9， |x0|= 9 4b， 由题意得圆 M 的圆心在 x 轴上，设圆心（t，0） ， 由题意知：t2+b2
20、2b2t2b2， MP22b2（x0t）2+y02， y02= 7 16 2， P 在椭圆上， 所以81 2 162 + 7 16 =1， a29b29（a2c2） ，e2= 8 9，所以离心率为 22 3 ， 故答案为：22 3 16 （4 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BCD60，CBCD 23若点 M 为边 BC 上的动点，则 的最小值为 21 4 【解答】解：如图所示： 第 12 页（共 16 页） 以 B 为原点，以 BA 所在的直线为 x 轴， 以 BC 所在的直线为 y 轴， 过点 D 做 DPx 轴，过点 D 做 DQy 轴， ABBC，ADCD，B
21、AD120， = = 23， B（0，0） ，A（2，0） ，C（0，23） ，D（3，3） ， 设 M（0，a） ， 则 =（2，a） ， =（3，a3） ， 故 =6+a（a3）= ( 3 2 )2+ 21 4 21 4 ， 故答案为：21 4 17 （4 分）设 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，且满足 f（x）+xf（x）0，则不 等式 f（x+1）（x1）f（x21）的解集为 （1，2） 【解答】解：令 g（x）xf（x） ，x（0，+） g（x）f（x）+xf（x）0， 函数 g（x）在 x（0，+）上单调递增 不等式 f（x+1）（x1）f（x21）即不等式（x+1）f（x
22、+1）（x21）f（x21） ， x+10 x+1x210， 解得：1x2 不等式 f（x+1）（x1）f（x21）的解集为（1，2） 故答案为： （1，2） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 bc1，cosA= 1 3， 第 13 页（共 16 页） ABC 的面积为 22 （）求 a 及 sinC 的值； （）求 cos（2A 6）的值 【解答】解： （）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 bc1，cosA= 1 3， sinA= 1 2 = 22 3
23、 ， ABC 的面积为1 2bcsinA= 2 22 3 = 2 3 bc22，bc6，b3，c2， a= 2+2 2 =9 + 4 2 3 2 1 3 =3 再根据正弦定理可得 = ，即 3 22 3 = 2 ，sinC= 42 9 （）sin2A2sinAcosA= 42 9 ，cos2A2cos2A1= 7 9， 故 cos（2A 6）cos2Acos 6 +sin2Asin 6 = 7 9 3 2 + 42 9 1 2 = 42;73 18 19 （15 分）如图，三棱锥 DABC 中，ADCD，ABBC42，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角 DACB 的大小为 150
24、且 BD47时，求直线 BM 与面 ABC 所成角 的正弦值 【解答】解： （1）证明：取 AC 中点 O，连结 BO，DO， ADCD，ABBC，ACBO，ACDO， BODOO，AC平面 BOD， 又 BD平面 BOD，ACBD 第 14 页（共 16 页） （2）解：由（1）知BOD 是二面角 DACB 的平面角，BOD150， AC平面 BOD，平面 BOD平面 ABC， 在平面 BOD 内作 OzOB，则 Oz平面 ABC， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得 OB4，在BOD 中由余弦定理得 OD43， A （0，
25、4， 0） ， B （4， 0， 0） ， C （0， 4， 0） ， D （6， 0， 23） ， M （3， 2， 3） ， = （7， 2， 3） ， 平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ， 设直线 BM 与面 ABC 所成角为 ， 则直线 BM 与面 ABC 所成角的正弦值为：sin= | | | | | = 3 56 = 42 28 20 （15 分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且 b1，a2，b2成等差 数列，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令= ， （1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为
26、Tn 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，正项等比数列bn的公比设为 q，q0， a11，b12，且 b1，a2，b2成等差数列， 可得 2a2b1+b2，即 2（1+d）2+2q，即 dq， 数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314，可得 2+2q+2q214，解得 q2，d2， 则 an2n1，bn2n； （2）= =2n+11， （1）ndnncn+nn2n+1， 第 15 页（共 16 页） 则 dn2n （2）n， 前项和为 Tn2 （2）+44+6 （8）+2n （2）n， 2Tn24+4 （8）+616+2n （2）n+1， 相减可得 3Tn4+2（4+（8）+（
27、2）n）2n （2）n+1 4+24(1;(;2) 1) 1;(;2) 2n （2）n+1， 化简可得 Tn= 4 9 6+2 9 （2）n+1 21 （15 分）已知抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0） ，过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、 Q 两点，交直线 xt 于 A、B 两点 （1）若点 M 纵坐标为2，求 M 与焦点的距离； （2）若 t1，P（1，1） ，Q（1，1） ，求证：yAyB为常数； （3）是否存在 t，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数？若存在，求出 t 的所有可能值，若不 存在，请说明理由 【解答】解： （1）解：抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0）
28、 ， 过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、Q 两点，交直线 xt 于 A、B 两点 点 M 纵坐标为2， 点 M 的横坐标 xM（2）22， y2x，p= 1 2， M 与焦点的距离为 MF= + 2 =2+ 1 4 = 9 4 （2）证明：设 M（02，0） ，直线 PM：y1= 01 021（x1） ， 当 x1 时，= 01 0+1， 直线 QM：y+1= 0+1 021（x1） ，x1 时，yB= 01 01 ，yAyB1， yAyB为常数1 （3）解：设 M（02，0） ，A（t，yA） ，直线 MA：yy0= 0 02（xy0 2） ， 联立 y2x，得2 02 0 + 02 0
29、 0 02=0， y0+yp= 02 0，即 yP= 0 0 ， 同理得 yQ= 01 0 ， 第 16 页（共 16 页） yAyB1， yPyQ= 020(+)+2 020(+)+1 ， 要使 yPyQ为常数，即 t1，此时 yPyQ为常数 1， 存在 t1，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数 1 22 （15 分）设函数 f（x）excosx，g（x）e2x2ax （1）当 ,0， 3-时，求 f（x）的值域； （2）当 x0，+）时，不等式() () 2 恒成立（f（x）是 f（x）的导函数） ，求实 数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题可得 f（x）excosxexsinx
30、ex（cosxsinx） 令 f（x）ex（cosxsinx）0，得 = 4 ,0， 3- 当 (0， 4)时，f（x）0，当 ( 4 ， 3)时，f（x）0， 所以()= ( 4) = 2 2 4，()= *(0)，( 3)+ 因为( 3) = 3 2 3 3 2 = 2 1 = (0)，所以 f（x）min1， 所以 f（x）的值域为,1， 2 2 4- （2）由() () 2 得2 2 ， 即; + 2 2 0 设() = + 2 2，则() = 2 + 22 2 设 （x）h（x） ，则() = 4322(+ 4) 当 x0，+）时，4e3x4，22( + 4 22)，所以 （x）0 所以 （x）即 h（x）在0，+）上单调递增，则 h（x）h（0）42a 若 a2，则 h（x）h（0）42a0，所以 h（x）在0，+）上单调递增 所以 h（xa2）h（0）0 恒成立，符合题意 若，则 h（0）42a0，必存在正实数 x0，满足：当 x（0，x0）时，h（x）0，h （x）单调递减，此时 h（x）h（0）0，不符合题意 综上所述，a 的取值范围是（，2
