1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（年福建省高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 50 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x3n+2，nN，B2，4，6，8，10，则 AB（ ） A B2 C8 D2，8 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 3 （5 分）从某企业生产的某种产品中随机抽取 10 件，测量这些产品的一项质量指标，其
2、频率分布表如下： 质量指标分组 10，30） 30，50） 50，70） 频率 0.1 0.6 0.3 则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（ ） A30，43 1 3 B40，43 C40，43 1 3 D30，43 4（5 分） 在等差数列an中， a80， a4+a100， 则数列an的前 n 项和 Sn中最小的是 （ ） AS4 BS5 CS6 DS7 5 （5 分） （x+3） （x2）5的展开式中，x4的系数为（ ） A10 B38 C70 D240 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb C
3、bca Dcba 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图， 其中 a 为松长、b 为竹长，则输出的 n（ ） 第 2 页（共 19 页） A5 B3 C4 D2 8（5 分） 设函数 f （x） x21， 对任意 3 2 ，+ )， ( ) 4 2() ( 1) + 4()恒 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A(， 1 2 1 2， + ) B （， 2 2 2 2 ，+） C （， 3 2 3 2 ，+） D （，11，+） 9 （5 分）已知(+ 2 ) = 1 2
4、，( 2 + 4) = 1 3，则( 2 4) =（ ） A1 B2 C4 7 D5 7 10 （5 分）我们把= 22 + 1( = 1，2，3)叫“费马数” （费马是十七世纪法国数学 家） 设 anlog2（Fn1） ，n1，2，3，Sn表示数列an的前 n 项之和，则使不等式 22 12 + 23 23 + 24 34 + + 2+1 +1 63 127成立的最大正整数 n 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 二多选题（共二多选题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）下列判断正确的是（ ） A命题 p： “x0，使得 x2+x+10“
5、，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” BABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B= 3 C线性回归直线 = + 必经过点（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn）的中心点（，） D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 4 2 12 = 1，则（ ） A实轴长为 2 B渐近线方程为 = 3 C离心率为 2 D一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分
6、，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，1） ， =（1，k） ， ，则| + | 14 （5 分）在数列an中，a11，a23，anan+21，则 a2019+a2020 15 （5 分）已知抛物线 y2ax 的准线方程为 x1，则 a ，若过点 P（4，0）的 直线与抛物线相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则|y1|+4|y2|的最小值为 16（5 分） 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，1= 23 点 M 是侧面 BCC1B1内的动点（不含边界） ，AMMC，则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正 切值的
7、取值范围为 四解答题（共四解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC= 2 ， = 2， = 3 （1）若ACB= 6 ， = 3，求 BD； （2）若 DC= 3AB，求 cosACB 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为梯形，且 ABDC，ABAD， 平面 PAD平面 ABCD （）证明：平面 PDC平面 PAD； （）若 PAPDAB= 1 2DC，PAD60，求二面角 APBC 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1，斜率
8、为1 2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点， 点 P(1， 3 2)在直线 l 的左上方 第 4 页（共 19 页） （1）若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F2，求此时直线 l 的方程； （2）求证：PAB 的内切圆的圆心在定直线 x1 上 20 （12 分）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的 医务工作者行动会更方便石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯 发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上 再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在 A 材料、B 材料上再结晶 各做了 50
9、 次试验，得到如图等高条形图 （1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有 99%的把握认为试验成功与 材料有关？ A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 （2） 研究人员得到石墨烯后， 再生产石墨烯发热膜有三个环节： 透明基底及 UV 胶层； 石墨烯层；表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为1 2第三个环节生产合 格的概率为2 3，且各生产环节相互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万 元，若生产不合格还需进行修复第三个环节的修复费用为 3000 元，其余环节修复费用均 为 1000 元如何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获利可达 1 万元以上的目标？
10、 第 5 页（共 19 页） 附：k2= ()2 (+)(+)+(+)(+)， （na+b+c+d） P（K2 K0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）设函数 f（x）x2ax+lnx （1）若当 x1 时，f（x）取得极值，求 a 的值，并求 f（x）的单调区间 （2） 若 f （x） 存在两个极值点 x1， x2， 求 a 的取值范围， 并证明： (2);(1) 2;1 4 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题，满分小题，满分
11、10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 六解答题（共六解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|+|ax1| （）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （）当 x1 时，不等
12、式 f（x）3x+b 成立，证明：a+b0 第 6 页（共 19 页） 2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（年福建省高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 50 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x3n+2，nN，B2，4，6，8，10，则 AB（ ） A B2 C8 D2，8 【解答】解：集合 Ax|x3n+2，nN2，5，8，11，14， B2，4，6，8，10， AB2，8 故选：D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z
13、的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 【解答】解：由 z（1+i）1i， 得 = 1 1+ = (1)2 (1+)(1) = ， = 复数 z 的共轭复数在复平面上对应的点为 （0， 1） ， 故选：D 3 （5 分）从某企业生产的某种产品中随机抽取 10 件，测量这些产品的一项质量指标，其 频率分布表如下： 质量指标分组 10，30） 30，50） 50，70） 频率 0.1 0.6 0.3 则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（ ） A30，43 1 3 B40，43 C40，43 1 3 D30，43 【解答】解：根
14、据频率分布表知，30，50）的频率为 0.6，所以众数为1 2 （30+50） 40， 中位数在30，50）内，可设为 x，则 0.1+（x30）0.6 1 20 =0.5，解得 x431 3 故选：C 4（5 分） 在等差数列an中， a80， a4+a100， 则数列an的前 n 项和 Sn中最小的是 （ ） AS4 BS5 CS6 DS7 【解答】解：等差数列an中，a80，a4+a102a70， 第 7 页（共 19 页） 故 a70， 所以数列an的前 n 项和 Sn中最小的是 s7 故选：D 5 （5 分） （x+3） （x2）5的展开式中，x4的系数为（ ） A10 B38 C7
15、0 D240 【解答】解： （x2） 5 的展开式中的通项公式 Tr+1= 5 x5r （2）r（2）r5x5r， x4的系数： （2）25 2 +3（2）15 1=10 故选：A 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 【解答】解：c= 2 3 42，a= 3 1839 = 2， = 4 244162， 又 a= 3 18 = 1 + 3 6， = 424 = 1 + 4 6， 46 = 1 64，36 = 1 63且 log64log630， 1 64 1 63， log424log31
16、8， cba 故选：D 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图， 其中 a 为松长、b 为竹长，则输出的 n（ ） 第 8 页（共 19 页） A5 B3 C4 D2 【解答】解：模拟程序的运行过程，可得 a6，b2，n1； a9，b4，不满足条件 ab，执行循环体； n2，a13.5，b8，不满足条件 ab，执行循环体； n3，a20.25，b16，不满足条件 ab，执行循环体； n4，a30.375，b32，满足条件 ab，退出循环，输出 n4 故选：C 8（5 分） 设
17、函数 f （x） x21， 对任意 3 2 ，+ )， ( ) 4 2() ( 1) + 4()恒 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A(， 1 2 1 2， + ) B （， 2 2 2 2 ，+） C （， 3 2 3 2 ，+） D （，11，+） 【解答】解：依据题意得 2 2 14m2（x1）（x1）21+4（m21）在 x3 2，+ ）上恒成立， 即 1 2 4m2 3 2 2 +1 在 x3 2，+）上恒成立 令 g（x）= 3 2 2 +1，g（x）= 6 3 + 2 2， x3 2，+） ， g（x）0，g（x）递增， 第 9 页（共 19 页） 当 x= 3 2时，函数
18、 g（x）= 3 2 2 +1 取得最小值 5 3， 所以 1 2 4m2 5 3， 即（3m2+1） （4m23）0， 解得 m 3 2 或 m 3 2 ， 故选：C 9 （5 分）已知(+ 2 ) = 1 2，( 2 + 4) = 1 3，则( 2 4) =（ ） A1 B2 C4 7 D5 7 【解答】解：已知(+ 2 ) = 1 2，( 2 + 4) = 1 3， 所以：( 2 4) =tan（ : 2 ）（ 2 + 4）= (+ 2 )( 2+ 4) 1(+ 2 )( 2+ 4) = 1 2+ 1 3 11 6 = 1 故选：A 10 （5 分）我们把= 22 + 1( = 1，2，
19、3)叫“费马数” （费马是十七世纪法国数学 家） 设 anlog2（Fn1） ，n1，2，3，Sn表示数列an的前 n 项之和，则使不等式 22 12 + 23 23 + 24 34 + + 2+1 +1 63 127成立的最大正整数 n 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 【解答】解：由于= 22 + 1，所以 anlog2（Fn1）2n，则， 所以 2+1 +1 = 2+1 (2+1;2)(2+2;2) = 1 2+1;2 1 2+2;2， 所以 22 12 + 23 23 + 24 34 + + 2+1 +1 = 1 22;2 1 23;2 + 1 23;2 1 24;2 + + 1
20、2+1;2 1 2+2;2 = 1 2 1 2+2;2， 则1 2 1 2+2;2 63 126，整理得 1 2+2;2 1 254，即 2 n+2256，即 n6，故 n5 故选：A 二多选题（共二多选题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）下列判断正确的是（ ） A命题 p： “x0，使得 x2+x+10“，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” BABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B= 3 第 10 页（共 19 页） C线性回归直线 = + 必经过点（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn）的中心
21、点（，） D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 【解答】解：对于 A；命故错； 对于 B，ABC 中，B60A+C2B，ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，故正 确； 对于 C，在研究变量 x 和 y 的线性相关性时，线性回归直线方程必经过散点图中心（， ） ，故正确； 对于 D，已知随机变量 服从正态分布 N （1，2） ，图象关于 x1 对称，根据 P （4） 0.79， 可得 P（2）0.79，得 P（2）10，790.21，故正确； 故选：BCD 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 4 2 12 = 1，则（
22、 ） A实轴长为 2 B渐近线方程为 = 3 C离心率为 2 D一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3 【解答】 解： 由双曲线 的方程可得， a24， b212， c2a2+b216， 所以a2， b23， c4， 所以 A 不正确， 所以实轴长 2a4，离心率 =2，渐近线方程为 y x= 3x，所以 B，C 正确， 因为准线方程为 x= 2 =1，设渐近线 y= 3与渐近线的交点为 A，两个方程联立可得 A （1， 3） ， 另一条渐近线的方程为： 3 +y0， 所以A到它的距离为d= |31+3| 2 = 3， 所以 D 不正确 故选：BC 三填空题（共三填空题（共 4 小题
23、，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，1） ， =（1，k） ， ，则| + | 2 【解答】解：向量 =（1，1） ， =（1，k） ， 第 11 页（共 19 页） 由 ，得 = 1+k0，k1， 所以 + =（0，2） ， 所以| + |2 故答案为：2 14 （5 分）在数列an中，a11，a23，anan+21，则 a2019+a2020 4 3 【解答】解：因为在数列an中，a11，a23，anan+21， 相邻奇数项的乘积为 1，相邻偶数项的乘积为 1； 所有的奇数项都为 1， 偶数项为：a23，a4= 1 3，a63，a8
24、= 1 3，a103，a1213； a20191；a2020= 1 3； a2019+a20201+ 1 3 = 4 3； 故答案为：4 3 15 （5 分）已知抛物线 y2ax 的准线方程为 x1，则 a 4 ，若过点 P（4，0）的直 线与抛物线相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则|y1|+4|y2|的最小值为 16 【解答】解析： 2 = 1，所 y24x 即 a4； 设直线 AB 方程为 xmy+4，代入抛物线方程 y24x 可得，y24my160，所以 y1y2 16， 即|2| = 16 |1|，所以|1| + 4|2| = |1| + 64 |2| 16， 故当|
25、y1|8，即 y18 时取到最小值，最小值为 16 故答案分别为：4，16 16（5 分） 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，1= 23 点 M 是侧面 BCC1B1内的动点（不含边界） ，AMMC，则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正 切值的取值范围为 (2 7 7 ，2 【解答】解：AMMC，且点 M 在侧面 BCC1B1内， 点 M 在侧面 BCC1B1内的轨迹为以 BC 中点 O 为圆心， 2 为半径的圆弧 （不包括 B， C） ， 如图所示， 第 12 页（共 19 页） 又四棱柱 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，易知 A1M
26、与平面 BCC1B1所成角为A1MB1， 则11= 11 1 = 4 1， 显然当M位于点C时， B1M最大， tanA1MB1最小， 且1 = 1 =(23)2+ 42= 27， 此时11= 4 27 = 27 7 ， 当 M 位于 B1O 与圆弧的交点时， B1M 最小， tanA1MB1最大， 且1 =(23)2+ 22 2 = 2，此时11= 4 2 = 2， 又点 M 不包括点 C 这个边界点，故11 (2 7 7 ，2 故答案为：(2 7 7 ，2 四解答题（共四解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在平面四边形 ABC
27、D 中，ABC= 2 ， = 2， = 3 （1）若ACB= 6 ， = 3，求 BD； （2）若 DC= 3AB，求 cosACB 【解答】 解：（1） 如右图， ABC= 2 ， = 2， = 3， ACB= 6 ， = 3， 可得DAC= 3， 在直角三角形 ABC 中，ABBCtan 6 =1，AC= 6 =2， 可得DAC 为边长为 2 的等边三角形， 在ABD中，DAB= 2 3 ，可得 BD= 2+ 2 2 =1 + 4 2 1 2 ( 1 2) = 7； （2）如右图，设 ABx，则 DC= 3x，ACB，则DAC2， 第 13 页（共 19 页） 在直角三角形 ABC 中，A
28、C= = ， 在ACD 中，由正弦定理可得 = 2， 即 3 2 = 3 2 = 3 2， 化简可得 cos= 3 4， 即 cosACB= 3 4 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为梯形，且 ABDC，ABAD， 平面 PAD平面 ABCD （）证明：平面 PDC平面 PAD； （）若 PAPDAB= 1 2DC，PAD60，求二面角 APBC 的余弦值 【解答】解： （）证明：平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB AD，AB 在平面 ABCD 内， 第 14 页（共 19 页） AB平面 PAD， 又ABCD， CD平面 PA
29、D， 而 CD 在平面 PAD 内， 平面 PDC平面 PAD； （）作 POAD 于 O，则 PO平面 ABCD，过 O 作 OEAB 交 BC 于 E， 如图，以 O 为坐标原点，DA，OE，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 设 AB2， 则(0，0，3)，(1，0，0)，(1，2，0)，(1，4，0)， 故 = (1， 2，3)， = (0，2，0)， = (2，2，0)， 设平面 PAB 的一个法向量为 = (，)，则 = 2 + 3 = 0 = = 0 ，则可取 = (3，0，1)， 设平面 PBC 的一个法向量为 = (，)，则 = 2
30、+ 3 = 0 = 2 + 2 = 0 ，则可取 = (1，1，3)， ， = | |= 15 5 ， 由图可知，二面角 APBC 的平面角为锐角，故二面角 APBC 的平面角的余弦值 为 15 5 19 （12 分）已知椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1，斜率为1 2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点， 第 15 页（共 19 页） 点 P(1， 3 2)在直线 l 的左上方 （1）若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F2，求此时直线 l 的方程； （2）求证：PAB 的内切圆的圆心在定直线 x1 上 【解答】解（1）设 l 的方程为 y= 1 2x+m，A（x1
31、，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程 = 1 2 + 32+ 42 12 = 0 ， 整理可得 x2+mx+m230， 则 x1+x2m， x1x2m23， m24（m23）0，解得2m2， 又因为点 P（1，3 2）在直线的左上方，所以2m1， 若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F2，则2 2 =0，即（1x1，y1） （1 x2，y2）0， 化简可得 7m2+4m110，解得 m= 11 7 ，或 m1（舍） ， 所以直线 l 的方程为：y= 1 2 11 7 ； （ 2 ） 证 明 ： 因 为 kPA kPB= 3 21 11 + 3 22 12 = 3
32、 2 1 21 11 + 3 2 1 22 12 = 1+ （ 1 m ） （ 1 1;1 + 1 1;2） 1+（1m） 2;(1:2) 1;(1:2):12 =1+（1m） 2: 1:2;3 =0， 所以直线 x1 平分APB， 即证明了PAB 的内切圆的圆心在定直线 x1 上 20 （12 分）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的 医务工作者行动会更方便石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯 发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上 再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在 A 材料、B 材料
33、上再结晶 各做了 50 次试验，得到如图等高条形图 第 16 页（共 19 页） （1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有 99%的把握认为试验成功与 材料有关？ A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 （2） 研究人员得到石墨烯后， 再生产石墨烯发热膜有三个环节： 透明基底及 UV 胶层； 石墨烯层；表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为1 2第三个环节生产合 格的概率为2 3，且各生产环节相互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万 元，若生产不合格还需进行修复第三个环节的修复费用为 3000 元，其余环节修复费用均 为 1000 元如何定价才能实现每生
34、产 1 吨石墨烯发热膜获利可达 1 万元以上的目标？ 附：k2= ()2 (+)(+)+(+)(+)， （na+b+c+d） P（K2 K0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由条形图中数据得 22 列联表为： A 材料 B 材料 合计 第 17 页（共 19 页） 成功 45 30 75 不成功 5 20 25 合计 50 50 100 计算 K2= 100(4520530)2 50507525 =126.635， 所以有 99.
35、5%的把握认为试验成功与材料有关； （2）设 Ai表示检测到第 i 个环节有问题， （i1，2，3） ， X 表示成为一个合格的产品需消耗的费用，则 X 的可能取值为：0，1000，2000，3000， 4000，5000； X0，表明三个环节均正常，则 P（X0）P（A1A2A3）（1 2） 22 3 = 1 6； X1000，表明前两环节有一环节出问题，则 P（X1000）= 2 1(1 2) 22 3 = 1 3； X2000，表明前两环节都有问题，则 P（X2000）= 2 2(1 2) 22 3 = 1 6； X3000，表明第三环节有问题，则 P（X3000）= (1 2) 21
36、3 = 1 12； X4000，表明前两环节中一环节有问题且第三环节有问题，则 P（X4000）= 2 11 2 1 2 1 3 = 1 6； X5000，表明三环节都有问题，则 P（X5000）= (1 2) 21 3 = 1 12； 所以费用 X 的分布列为： X 0 1000 2000 3000 4000 5000 P 1 6 1 3 1 6 1 12 1 6 1 12 所以 E（X）0 1 6 +1000 1 3 +2000 1 6 +3000 1 12 +4000 1 6 +5000 1 12 =2000 所以生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要修复费用为 2000 元 又 1+
37、0.2+12.2（万元） ， 所以每吨定价不低于 2.2 万元， 才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获利可达 1 万元以上的 目标 21 （12 分）设函数 f（x）x2ax+lnx （1）若当 x1 时，f（x）取得极值，求 a 的值，并求 f（x）的单调区间 第 18 页（共 19 页） （2） 若 f （x） 存在两个极值点 x1， x2， 求 a 的取值范围， 并证明： (2);(1) 2;1 4 2 【解答】解： （1）() = 2 + 1 = 22+1 ，(0)， x1 时，f（x）取得极值f（1）0，a3 () = 223+1 = (21)(1) ， 解 f（x）0 得，0 1
38、2或 x1；解 f（x）0，得 1 2 1， f（x）的单调增区间为(0， 1 2)，(1， + )，单调减区间为(1 2 ，1) （2）() = 22+1 ，(0)， f（x）存在两个极值点，方程 f（x）0 即 2x2ax+10 在（0，+）上有两个不 等实根 = 2 80，12= 1 2 0，1+ 2= 2 0，22 (2);(1) 2;1 = 22;2:2;12:1;1 2;1 = 2+ 1 + 21 21 = 2 + 21 21 所证不等式(2);(1) 2;1 4 2等价于 2;1 2;1 4 ，即 2;1 2;1 2 2:1 不妨设 x2x10，即证 2 1 2 2 11 2 1
39、+1 ， 令 = 2 1 1，() = 2(1) +1 ，则() = 1 4 (+1)2 = (1)2 (+1)2 0， h（t）在（1，+）上递增，h（t）h（1）0， 2 1 2 2 11 2 1+1 成立，(2);(1) 2;1 4 2成立 五解答题（共五解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数）
40、 （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 第 19 页（共 19 页） 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| =
