1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年福建省高考数学（文科）模拟试卷（年福建省高考数学（文科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|2x10，则 AB（ ） A （1，+） B(1 2，1) C(1 2，2) D(1 2， + ) 2 （5 分）已知复数 = 1 3+4，则下列说法正确的是（ ） A复数 z 的实部为 3 B复数 z 的虚部为 4 25 C复数 z 的共轭复数为 3 25 + 4 25 D复数的模为 1 3（5 分） 已知非零向量 ， 满足| + 2 |
2、 = |2 |， 且| | = | |， 则 与 的夹角为 （ ） A 6 B 4 C 3 D 2 4 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3= 3 4，3 = 21 4 ，则an的公比为（ ） A 1 3或 1 2 B1 3或 1 2 C3 或 2 D3 或2 5 （5 分）若点 P（4，3）在角 的终边上，则 cos（ ） A4 5 B3 5 C3 4 D4 3 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 n3，则输出的 S（ ） 第 2 页（共 15 页） A1 B5 C14 D30 7 （5 分）已知ABC 的面积为22，AB1， 2 = 3 3 ，则 BC（ ）
3、A37 B39 C41 D43 8 （5 分）已知 f（x）g（x）4，函数 g（x）是定义在 R 上的奇函数，若 f（2017） 2017，则 f（2017）（ ） A2017 B2021 C2025 D2025 9 （5 分） 已知集合 A1， 1， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点集 K （x， y） |xA， yA， 在 K 中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2） 210 的内部的概率为（ ） A1 4 B1 2 C3 4 D1 3 10 （5 分）sin77cos47sin13sin47的值等于（ ） A 3 3 B1 2 C 2 2 D 3
4、 2 11 （5 分）已知圆 M 的圆心为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）虚轴的一个端点，半 径为 a+b， 若圆 M 截直线 l： ykx 所得的弦长的最小值为 23b， 则 C 的离心率为 （ ） A 10 3 B10 9 C2 D2 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x）2x，当 x0 时，f（x）1， 若 f（2x1）f（x）x1，则 x 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 15 页） A1，+） B （，1 C(， 1 3- ,1， + ) D,1 3，1- 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题
5、5 分）分） 13 （5 分）若 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 S918，则 a5 14 （5 分）已知函数() = 2，1 ( + 3)， 1，则 f（2） 15 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 ，焦距为23，则椭圆的方程 为 16 （5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1中， = 4，1= 32，D 为 AB 的中点，则异面 直线 B1D 与 A1C1所成角的余弦值为 ；三棱锥 DA1B1C1的外接球的表面积 为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数
6、f（x）2（sin 8x+cos 8x）sin 8x1 （1）求 f（x）的最小正周期； （2） 将函数 f （x） 的所有正的零点按从小到大依次排成一列， 得到数列xn， 令 an= 1 +1， Sn为数列an的前 n 项和，求证： 1 4 18 （12 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，DD1平面 ABCD，ADDC，ADABDC 2AD2AB2，AA14，点 M 为 C1D1中点， （1）求证：平面 AB1D1平面 BDM； （2）求点 C 到平面 AB1D1的距离 19 （12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线 第 4 页（共 15 页
7、） 上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示 （1） 求 m 的值， 并估计高一年级所有学生数学成绩在70， 100分的学生所占的百分比； （2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数 （同一组中的数据以该组区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1） 20 （12 分）已知 F（1，0） ，点 P 在第一象限，以 PF 为直径的圆与 y 轴相切，动点 P 的轨 迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）若曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 k1，直线 PF 的斜率为 k2，
8、求满足 k1+k23 的 点 P 的个数 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1） exax，g（x）（x+1） lnx+a （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值； （2）若函数 yf（x）与 yg（x）仅有一个交点，证明：2 5 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 4 + 2 = 3 1 （t 为参数） ，圆 C 的 参数方程为 = 1 + | = 22+ （ 为参数） （1）求 l 和 C 的普通方程； （2） 将 l 向左平移 m （m0）
9、后， 得到直线 l， 若圆 C 上只有一个点到 l的距离为 1， 求 m 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|2x2|的最大值为 m （1）求 m； （2）已知正实数 a，b 满足 4a2+b22，是否存在 a，b，使得2 + 4 =m 第 5 页（共 15 页） 2020 年福建省高考数学（文科）模拟试卷（年福建省高考数学（文科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|2x10，则 AB（ ） A
10、 （1，+） B(1 2，1) C(1 2，2) D(1 2， + ) 【解答】解： = *| 12+， = *| 1 2+， AB（1，+） 故选：A 2 （5 分）已知复数 = 1 3+4，则下列说法正确的是（ ） A复数 z 的实部为 3 B复数 z 的虚部为 4 25 C复数 z 的共轭复数为 3 25 + 4 25 D复数的模为 1 【解答】解： = 1 3+4 = 34 25 = 3 25 4 25 ， z 的实部为 3 25，虚部为 4 25， z 的共轭复数为 3 25 + 4 25 ，模为( 3 25) 2+ (4 25) 2 = 1 5， 故选：C 3（5 分） 已知非零向
11、量 ， 满足| + 2 | = |2 |， 且| | = | |， 则 与 的夹角为 （ ） A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】 解： 非零向量 ， 满足| + 2 | = |2 |， 且| | = | |， 设 与 的夹角为 ， 则 2 +4 +4 2 =4 2 4 + 2 ，且 2 = 2 ， 求得 =0，= 2， 故选：D 4 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3= 3 4，3 = 21 4 ，则an的公比为（ ） 第 6 页（共 15 页） A 1 3或 1 2 B1 3或 1 2 C3 或 2 D3 或2 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，则 a3a1q
12、2= 3 4，S3a1（1+q+q 2）=21 4 ， 两式相除可得 2 1:2 = 1 7， 即 6q2q10， 解得 q= 1 2或 q= 1 3， 故选：A 5 （5 分）若点 P（4，3）在角 的终边上，则 cos（ ） A4 5 B3 5 C3 4 D4 3 【解答】解：点 P（4，3）在角 的终边上，则 cos= 4 42+32 = 4 5， 故选：A 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 n3，则输出的 S（ ） A1 B5 C14 D30 【解答】解：执行程序框图可得： i0，S0； i1，S2121； 满足 i3，执行循环体，i2，S1+225； 满足 i3，执行循
13、环体，i3，S5+3214； 第 7 页（共 15 页） 不满足 i3，退出循环，输出 S 的值 14 故选：C 7 （5 分）已知ABC 的面积为22，AB1， 2 = 3 3 ，则 BC（ ） A37 B39 C41 D43 【解答】解： 2 = 3 3 ， cosA2cos2 2 1= 1 3，sinA= 1 2 = 22 3 ， AB1，ABC 的面积为22 = 1 2ABACsinA= 1 2 1 22 3 ，解得 AC6， 由余弦定理 BC2AB2+AC22ABACcosA1+36216（ 1 3）41，解得 BC= 41 故选：C 8 （5 分）已知 f（x）g（x）4，函数 g
14、（x）是定义在 R 上的奇函数，若 f（2017） 2017，则 f（2017）（ ） A2017 B2021 C2025 D2025 【解答】解：函数 g（x）是定义在 R 上的奇函数， f（2017）g（2017）4g（2017）4， f（2017）g（2017）42017， g（2017）2021， f（2017）g（2017）4g（2017）4202142025 故选：C 9 （5 分） 已知集合 A1， 1， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点集 K （x， y） |xA， yA， 在 K 中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2） 210 的内部
15、的概率为（ ） A1 4 B1 2 C3 4 D1 3 【解答】解：由题意可得 K（1，1） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，1），其中在 圆（x2）2+（y+2）210 内的点有（1，1） ， 记 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1，1） ，从 ABCD4 个点中取出 2 个的 所有取法有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种情况， 其中两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2）210 的内部的有 AD，BD，CD 共 第 8 页（共 15 页） 3 种情况 概率 p= 3 6 = 1 2 故选：B 10 （5 分）sin77cos47sin13
16、sin47的值等于（ ） A 3 3 B1 2 C 2 2 D 3 2 【解答】解：sin77cos47sin13sin47 sin77cos47cos77sin47 sin（7747） sin30 = 1 2 故选：B 11 （5 分）已知圆 M 的圆心为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）虚轴的一个端点，半 径为 a+b， 若圆 M 截直线 l： ykx 所得的弦长的最小值为 23b， 则 C 的离心率为 （ ） A 10 3 B10 9 C2 D2 【解答】解：由题意知，当 ly 轴时，圆 M 截直线 ykx 所得弦 AB 的长最小， 此时|OA|= 3，|OM|b，|MA|
17、= |2+ |2= 2， 又圆 M 的半径|MA|a+b，2ba+b，即 ab， c= 2+ 2= 2， 则双曲线的离心率 e= = 2 故选：C 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x）2x，当 x0 时，f（x）1， 若 f（2x1）f（x）x1，则 x 的取值范围是（ ） 第 9 页（共 15 页） A1，+） B （，1 C(， 1 3- ,1， + ) D,1 3，1- 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x）2xx（x） ， f（x）xf（x）（x） ， 令 g（x）f（x）x， 则 g（x）g（x） ， g（x）f（x）x 为偶
18、函数， 又 x0 时，g（x）f（x）10， 所以 g（x）在（0，+）单调递增， f（2x1）f（x）x1f（2x1）（2x1）f（x）x， g（2x1）g（x） ， |2x1|x|， 两边平方得，3x24x+10，解得，x1 或 x 1 3， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 S918，则 a5 2 【解答】解：Sn是等差数列an的前 n 项和，且 S9= 9(1+9) 2 =9a518，则 a52， 故答案为：2 14 （5 分）已知函数() = 2，1 ( +
19、 3)， 1，则 f（2） 2 【解答】解：由题意可得，f（2）f（1）f（4）log242 故答案为：2 15 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 ，焦距为23，则椭圆的方程 为 2 4 + 2= 1 【解答】解：由题意可知 = 3 2 2 = 23 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 1 = 3 ， 椭圆方程为： 2 4 + 2= 1， 第 10 页（共 15 页） 故答案为： 2 4 + 2= 1 16 （5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1中， = 4，1= 32，D 为 AB 的中点，则异面 直线 B1D 与 A1C1所成角的余弦值为 22
20、 22 ；三棱锥 DA1B1C1的外接球的表面积为 290 9 【解答】解：如图，取 A1B1的中点 E，连接 AE，EC 因为 AEB1D，ACA1C1， 所以EAC 即异面直线 B1D 与 A1C 所成角或其补角 因为 AB4，1= 32， 所以 =22+ (32)2= 22， =42 22+ (32)2= 30， 所以 = 16+2230 2422 = 22 22 记A1B1C1， A1B1D 的外心分别为 O1， O2， 过 O1， O2分别作平面 A1B1C1、 平面 A1B1D 的垂线， 则两条垂线的交点 O 即三棱锥 DA1B1C1的外接球的球心 因为1 = 32 22 = 31
21、1 11 ，所以A1B1D 的外接圆半径2 = 1 2 22 311 11 = 112 6 ， A1B1C1的外接圆半径11= 1 2 4 3 2 = 43 3 ， 所以三棱锥 DA1B1C1的外接球的半径2= 11 2 + (32 2)2= 16 3 + 49 18 = 145 18 ， 三棱锥 DA1B1C1的外接球的表面积为42= 290 9 故答案为： 22 22 ；290 9 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数 f（x）2（sin 8x+cos 8x）sin 8x1 （1）求 f（x）的最小正周期
22、； 第 11 页（共 15 页） （2） 将函数 f （x） 的所有正的零点按从小到大依次排成一列， 得到数列xn， 令 an= 1 +1， Sn为数列an的前 n 项和，求证： 1 4 【解答】 解：（1） 因为 f （x） 2 （sin 8x+cos 8x） sin 8x1= () = 2 2 8 + 2 8 8 1 = 4 4 = 2( 4 4)， 所以()的最小正周期 = 2 4 = 8 （2）证明：() = 2( 4 4) = 0，得( 4 4) = 0 解得 4 4 = ，即 = 4 + 1， 所以= 4 3， 所以 an= 1 +1 = 1 (43)(4+1) = 1 4 ( 1
23、 43 1 4+1) 所以= 1 4 ,(1 1 5) + ( 1 5 1 9) + ( 1 9 1 13) + + ( 1 43 1 4+1)- = 1 4 (1 1 4+1) 1 4= 1 4(1 1 4+1) 1 4 18 （12 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，DD1平面 ABCD，ADDC，ADABDC 2AD2AB2，AA14，点 M 为 C1D1中点， （1）求证：平面 AB1D1平面 BDM； （2）求点 C 到平面 AB1D1的距离 【解答】 （）证明：由题意得，DD1BB1，DD1BB1， 故四边形 DD1B1B 为平行四边形，所以 D1B1DB， 由 D1B1
24、平面 AD1B1，DB平面 AD1B1，故 DB平面 AD1B1， （2 分） 由题意可知 ABDC，M 为 D1C1中点，D1MAB1， 第 12 页（共 15 页） 所以四边形 ABMD1为平行四边形，所以 BMAD1，所以 BM平面 AD1B1， （4 分） 又由于 BM，BD 相交，所以平面 DBM平面 AD1B1（6 分） （）解：由（）可知，点 C 到平面 AB1D1距离为 B 到平面 AB1D1距离的 3 倍 在AB1D1中，1= 1= 17，11= 2， 则11= 17+172 21717 = 16 17.11 = 33 17 ， 则11= 1 2 17 17 33 17 =
25、33 2 （8 分） ;11= 1 3 ;111= 1 3 1 2 1 1 4 = 2 3 ;11= 1 3 11 = 1 3 33 2 = 2 3 （10 分） = 4 33，即点 C 到平面 AB1D1 的距离为433 11 （12 分） 19 （12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线 上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示 （1） 求 m 的值， 并估计高一年级所有学生数学成绩在70， 100分的学生所占的百分比； （2）分别估计这 50 名学
26、生数学成绩的平均数和中位数 （同一组中的数据以该组区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1） 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，m= 1 10 1（0.004+0.006+0.02+0.03+0.024） 100.016， 50 名学生中数学成绩在70，100的概率为： （0.03+0.024+0.016）100.7， 故高一年级所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比估计为 70%； （2）这 50 名学生数学成绩的平均数为：0.0445+0.0655+0.265+0.375+0.24 85+0.169576.2， 设这 50 名学生数学成绩的中位数为 x， 0.04+0.
27、06+0.20.5，0.04+0.06+0.2+0.30.5， 第 13 页（共 15 页） 中位数落在70，80这组， 0.04+0.06+0.2+（x70）0.030.5， 解得 x76.7， 故这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数估计值分别为 76.2，76.7 20 （12 分）已知 F（1，0） ，点 P 在第一象限，以 PF 为直径的圆与 y 轴相切，动点 P 的轨 迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）若曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 k1，直线 PF 的斜率为 k2，求满足 k1+k23 的 点 P 的个数 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，x0，y0
28、， 又 F（1，0） ，则 PF 中点坐标为（:1 2 ， 2） ， 因为以 PF 为直径的圆与 y 轴相切，所以:1 2 = 1 2 |，即:1 2 = 1 2 ( 1)2+ 2， 整理得 C 的方程为：y24x（y0） ， （2）由 y24x（y0） ，得 = 2，y= 1 ， 设 P（0 2 4 ，y0） （y00） ， 则 k1= 1 02 4 = 2 0，k2= 00 02 4 1 = 40 024， 由 k1+k23，即 2 0 + 40 02;4 =3，得：303 602 120+ 8 = 0， 令 f（x）3x36x212x+8， 由 f（x）9x212x120 得，x= 2
29、3，或 x2， 因为当 x（0，2）时，f（x）0，当 x（2，+）时，f（x）0， 所以 f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增， 又 f（0）80，f（2）160，f（4）560，f（x）的图象连续不断， 所以 f（x）在（0，+）内有且只有两个零点， 所以方程有且只有两个不同的正根， 所以满足 k1+k23 的点 P 的个数为 2 个 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1） exax，g（x）（x+1） lnx+a （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值； 第 14 页（共 15 页） （2）若函数 yf（x）与 yg（x）仅有一个交点，证明：2 5 2 【解
30、答】解： （1）当 a0 时，f（x）（x+1）ex，则 f（x）ex+（x+1）ex（x+2）ex 0， 解得 x2，f（x）在（，2）上递减，在（2，+）上递增 所以 f（x）极小值为 f（2）e 2，无极大值 （2）证明：函数 yf（x）与 yg（x）仅有一个交点，所以 f（x）g（x）0 只有一 解 即方程（x+1）ex（x+1）lnxa（x+1）aexlnx 在区间（0，+）有一解， 令 h（x）exlnx，则 ah（x）min， 而() = 1 = 1 ，令 m（x）xex1，则 m（x）ex+xex（1+x）ex0 恒 成立 所以 m（x）在（0，+）上单调递增 (1 2) =
31、1 2 1 2 10，m（1）e10，m（x）在(1 2，1)上存在一个零点 x0， 且在 x（0，x0）时 m（x）0，x（x0，+）时 m（x）0，即 h（x）在（0，x0）上 递减，在（x0，+）上递增 所以()= (0) = 0 0 因为00 1 = 0，0= 1 0 ，0= 1 0 代入 h （x0） 得： (0) = 0+ 1 0 ，0 (1 2，1) 由双勾函数性质可知(0) (2， 5 2)，即 (2， 5 2)，得证 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程
32、为 = 4 + 2 = 3 1 （t 为参数） ，圆 C 的 参数方程为 = 1 + | = 22+ （ 为参数） （1）求 l 和 C 的普通方程； （2） 将 l 向左平移 m （m0） 后， 得到直线 l， 若圆 C 上只有一个点到 l的距离为 1， 求 m 【解答】解： （1）由题意可得|a|1， 故 l 的参数方程为 = 4 + 2 = 3 1 （t 为参数） ，转换为为 = 4 + 1 = 3 1 （t 为参数） ，圆 C 第 15 页（共 15 页） 的参数方程为 = 1 + = 2 + （ 为参数） ， 消去参数 t，得 l 的普通方程为 3x4y70， 消去参数 ，得 C 的
33、普通方程为（x1）2+（y+2）21 （2）将 l 向左平移 m（m0）后，得到直线 l， 即 y= 3 4( + ) 7 4，即 3x4y+3m70 因为圆 C 上只有一个点到 l的距离为 1，圆 C 的半径为 1，所以 C（1，2）到 l的 距离为 2， 即|3:8:3;7| 5 = 2，解得 m2（m= 14 3 0 舍去） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|2x2|的最大值为 m （1）求 m； （2）已知正实数 a，b 满足 4a2+b22，是否存在 a，b，使得2 + 4 =m 【解答】解： （1）f（x）= 4， 2 3， 21 + 4， 1 f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 当 x1 时，f（x）取最大值 3， 故 m3 （2）由已知有 2 =4a2+b24ab， a0，b0，ab0，即 1 2， 2 + 4 2 8 = 42 823 故不存在实数 a，b，使得2 + 4 =3
