1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山西省高考数学（文科）模拟试卷（年山西省高考数学（文科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 P（，1（4，+） ，Q1，2，3，4，则（RP）Q（ ） A1，4 B2，3 C2，3，4 Dx|1x4 2 （5 分）已知复数 z= 2+1（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）在等差数列an中，a5+a1010，则数列an的前 14 项和 S14为（ ） A55 B60
2、C65 D70 4 （5 分）已知向量 = (1，2)， = (1，1)， = (，2)，且( 2 ) ，则实数 m （ ） A1 B0 C1 D任意实数 5 （5 分）如图，在圆心角为直角半径为 2 的扇形 OAB 区域中，M，N 分别为 OA，OB 的 中点，在 M，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA，OB 为直径 的圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ） A1 2 B1 2 1 C2 4 D1 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 n3，则输出的 S（ ） 第 2 页（共 20 页） A1 B5 C14 D30 7 （
3、5 分）函数() = 42 3|的图象大致为（ ） A B C D 第 3 页（共 20 页） 8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 9 （5 分）与 30角的终边关于 x 轴对称的角的集合为（ ） Ax|xk360+30，kZ Bx|xk36030，kZ Cx|xk360+150，kZ Dx|xk360+210，kZ 10 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）上一点
4、 M（4，y0） （y00）到焦点 F 的距离为 5，直线 l 过点 N（1，0） ，且 lOM，则直线 l 与抛物线 C 的交点个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 12 （5 分）已知函数 f（x）= 31 +a2ax，若存在唯一的整数 x0，使 f（x0）0，则实 数 a 的取值范围是（ ） A （ln2，ln3） B （13 5 ，12 3 ） C13 5 ，12 2 ） D （12 2 ，13 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知双曲线 C：x2 2 3 =1 的左，右焦点分别
5、为 F1，F2，过 F1的直线 l 分别与 两条渐近线交于 A，B 两点，若1 2 =0，1 = ，则 14 （5 分）求值：315 1 2325 = 第 4 页（共 20 页） 15 （5 分）已知等边ABC 的边长为43，M，N 分别为 AB，AC 的中点，将AMN 沿 MN 折起得到四棱锥 AMNCB点 P 为四棱锥 AMNCB 的外接球球面上任意一点，当四棱 锥 AMNCB 的体积最大时，P 到平面 MNCB 距离的最大值为 16 （5 分）已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan2n，则 an 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12
6、 分）分） 17 （12 分）某工厂生产某型号产品，按产品的质量检测指标从 70 到 100 可将产品划分为 三个等级： 监测指标 70，80） 80，90） 90，100） 等级 不合格 乙等品 甲等品 该工厂为了提高产品质量，对全体工人进行技术培训，从培训前和培训后生产的产品中 分别随机抽取 100 件产品得到的产品质量指标的频数如表： 监测指标 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 90，95） 95，100） 培训前 5 10 35 35 10 5 培训后 2 5 28 40 15 10 在销售过程中，每件甲等品的利润为 500 元，每件乙等品的利润为 200 元，每
7、件不合格 品亏损 100 元，若以上抽样结果中落人，各组的频率作为相应的概率 （1）在答题卡上画出工人培训后生产的产品质量指标频率分布直方图； （2）分别求工人在培训前后生产的乙等品的概率； （3）工人进行技术培训后，若工厂计划全年生产一万件产品，请估算一下，工人培训后 利润比培训之前利润要提高多少万元？ 18 （12 分）已知函数 f（x）sinxcosx+3cos2x 3 2 （1）求 yf（x）的最小正周期，并求其单调递减区间； （2）ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若 f（A）= 3 2 且 A 为钝角，a 2，求ABC 面积的最大值 19 （12 分）如图，在
8、三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 CC1底面 ABC，ABAC，D，E，F 分别为棱 AA1，BB1，BC 的中点 （1）求证：BC1AF； （2）若 AB2，BCCC122，求三棱锥 DAEF 的体积； 第 5 页（共 20 页） （3）判断直线 CD 与平面 AEF 的位置关系，并说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）excosx2x （1）求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）在（ 2，+）上仅有 2 个零点 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 5 5 ，右焦点为抛物线 y24x 的焦点 F （1）求椭
9、圆 C 的标准方程； （2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之 积为 4 5 求证：MON 的面积为定值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中直线 l：yx，圆 C 的参数方程为 = 1 + 2 = 2 + 2（ 为 参数） （）求 C 的普通方程，写出 l 的极坐标方程； （）直线 l 与圆 C 交于 A，B，O 为坐标原点，求 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）4xa2x+1+a+1 （1）若 a2，求不等式
10、 f（x）0 的解集； （2）求函数 f（x）在区间1，2上的最小值 h（a） 第 6 页（共 20 页） 2020 年山西省高考数学（文科）模拟试卷（年山西省高考数学（文科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 P（，1（4，+） ，Q1，2，3，4，则（RP）Q（ ） A1，4 B2，3 C2，3，4 Dx|1x4 【解答】解：集合 P（，1（4，+） ，Q1，2，3，4， RPx|1x4， （RP）Q2，3，4 故选：C 2 （5 分）已知复数 z= 2
11、+1（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2+1 = (12) (1+2)(12) = 2 5 + 1 5， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（2 5 ， 1 5） ，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）在等差数列an中，a5+a1010，则数列an的前 14 项和 S14为（ ） A55 B60 C65 D70 【解答】解：由等差数列的性质可知，a5+a10a1+a1410， S147（a1+a14）70， 故选：D 4 （5 分）已知向量 = (1，2)， = (1，1)， = (，2)，且(
12、 2 ) ，则实数 m （ ） A1 B0 C1 D任意实数 【解答】解：向量 = (1，2)， = (1，1)， = (，2)，且( 2 ) ， （ 2 ） =（3，0） （m，2）3m+00， 则实数 m0， 故选：B 5 （5 分）如图，在圆心角为直角半径为 2 的扇形 OAB 区域中，M，N 分别为 OA，OB 的 第 7 页（共 20 页） 中点，在 M，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA，OB 为直径 的圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ） A1 2 B1 2 1 C2 4 D1 【解答】解：OA 的中点是 M，则CMO
13、90，半径 r2， 则扇形 OAB 的面积 S= 1 2 2 22=， 半圆 OAC 的面积 s1= 1 2 ，SOAC= 1 2 2 1 =1 S弓形OC= 1 2 (1 2 1)， 两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为1 21， 能够同时收到两个基站信号的概率 P= 1 21 = 1 2 1 故选：B 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 n3，则输出的 S（ ） 第 8 页（共 20 页） A1 B5 C14 D30 【解答】解：执行程序框图可得： i0，S0； i1，S2121； 满足 i3，执行循环体，i2，S1+225； 满足 i3，执行循环体，i3，S5+3214；
14、 不满足 i3，退出循环，输出 S 的值 14 故选：C 7 （5 分）函数() = 42 3|的图象大致为（ ） A B 第 9 页（共 20 页） C D 【解答】解：f（x）= 4()2 3| = 42 3| =f（x） ，则函数 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对 称，排除 B， 当 x+，f（x）0，排除 C， 当 x2 时，f（2）= 422 32 = 16 9 2，排除 D， 故选：A 8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 【解答】解：由题意作平面区域如下， z
15、xy 可化为 yxz， 结合图象可知， + 2 = 3 2 + = 3 = 1 = 1 过点 B（1，1）时，截距最小，z 有最大值 M110， 过点 C（0，3）时，截距最大，z 有最小值 m033， 第 10 页（共 20 页） 故 Mm3， 故选：D 9 （5 分）与 30角的终边关于 x 轴对称的角的集合为（ ） Ax|xk360+30，kZ Bx|xk36030，kZ Cx|xk360+150，kZ Dx|xk360+210，kZ 【解答】解：与 30角的终边关于 x 轴对称的角中绝对值最小的角为30，又角度旋 转一周即 360后与原角度重合， 故与 30角的终边关于 x 轴对称的角
16、的集合为x|xk36030，kZ， 故选：B 10 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 所以 V= 1 3 1 2 2 1 2 = 2 3 故选：C 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）上一点 M（4，y0） （y00）到焦点 F 的距离为 第 11 页（共 20 页） 5，直线 l 过点 N（1，0） ，且 lOM，则直线 l 与抛物线 C 的交点个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个
17、 【解答】解：由题意知，抛物线的准线为 x= 2，所以 4+ 2 =5，解得 p2，故抛物线 的方程为：y24x， 所以 y04，即 M（4，4） ， 所以 kOM1， 由题意 kl1，故直线 l 的方程：xy1，与抛物线联立得：y24y+40，（4） 2440，所以方程有唯一的实数解， 故直线与抛物线的交点只有一个， 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）= 31 +a2ax，若存在唯一的整数 x0，使 f（x0）0，则实 数 a 的取值范围是（ ） A （ln2，ln3） B （13 5 ，12 3 ） C13 5 ，12 2 ） D （12 2 ，13 3 【解答】解：由 f（x）
18、= 31 +a2ax0 可得，31 2a（x 1 2） ， 令 g（x）= 31 ，h（x）2a（x 1 2） ，则() = 3(1) 2 ， 当 xe 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，当 0xe 时，g（x）0，函数 g （x）单调递增， 当 x+时，g（x）0，当 x0 时，g（x），且 g（1）0， 而 h（x）2a（x 1 2）恒过定点（ 1 2 ，0） ， 若存在唯一的整数 x0，使 f（x0）0，即，g（x0）h（x0） ， 结合函数的图象可知，满足条件的整数 x02， 当 a0 时，显然不满足题意，故 a0， 则(2)(2) (3) (3)，即 32 2 3 3 5 0
19、， 解可得，3 5 2 2 第 12 页（共 20 页） 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知双曲线 C：x2 2 3 =1 的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 分别与 两条渐近线交于 A，B 两点，若1 2 =0，1 = ，则 1 【解答】解：双曲线 C：x2 2 3 =1 的左，右焦点分别为 F1，F2，BOcOF2， 双曲线 C：x2 2 3 =1 的渐近线 y= 3x，BOF260，BF2O 为等边三角形， 故BF2O60， 所以 F2BOA，A 为 F1B 的中点，即 1 故答案为
20、：1 14 （5 分）求值：315 1 2325 = 1 【解答】解：315 1 2 325 =log315log35log331 故答案为：1 15 （5 分）已知等边ABC 的边长为43，M，N 分别为 AB，AC 的中点，将AMN 沿 MN 折起得到四棱锥 AMNCB点 P 为四棱锥 AMNCB 的外接球球面上任意一点，当四棱 锥 AMNCB 的体积最大时，P 到平面 MNCB 距离的最大值为 13 +1 【解答】解：由题意得 = 3，取 BC 的中点 E， 则 E 是等腰梯形 MNCB 外接圆圆心F 是AMN 外心， 作 OE平面 MNCB，OF平面 AMN， 则 O 是四棱锥 AMN
21、CB 的外接球的球心，且 OFDE3，AF2 设四棱锥 AMNCB 的外接球半径 R，则 R2AF2+OF213， 第 13 页（共 20 页） OEDFADAF321， 当四棱锥 AMNCB 的体积最大时， P 到平面 MNCB 距离的最大值为： dmaxR+OE= 13 + 1 故答案为：13 + 1 16 （5 分）已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan2n，则 an 2， = 1 21 ， 2 【解答】解：当 n1 时，由已知，可得 a1212， a1+2a2+3a3+nan2n， 故 a1+2a2+3a3+（n1）an12n 1（n2） ， 由得 nan2n2n 12n1，
22、an= 21 显然当 n1 时不满足上式， an= 2， = 1 21 ， 2 ， 故答案为：an= 2， = 1 21 ， 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某工厂生产某型号产品，按产品的质量检测指标从 70 到 100 可将产品划分为 三个等级： 监测指标 70，80） 80，90） 90，100） 等级 不合格 乙等品 甲等品 该工厂为了提高产品质量，对全体工人进行技术培训，从培训前和培训后生产的产品中 第 14 页（共 20 页） 分别随机抽取 100 件产品得到的产品质量指标的频数如表： 监测指标 7
23、0，75） 75，80） 80，85） 85，90） 90，95） 95，100） 培训前 5 10 35 35 10 5 培训后 2 5 28 40 15 10 在销售过程中，每件甲等品的利润为 500 元，每件乙等品的利润为 200 元，每件不合格 品亏损 100 元，若以上抽样结果中落人，各组的频率作为相应的概率 （1）在答题卡上画出工人培训后生产的产品质量指标频率分布直方图； （2）分别求工人在培训前后生产的乙等品的概率； （3）工人进行技术培训后，若工厂计划全年生产一万件产品，请估算一下，工人培训后 利润比培训之前利润要提高多少万元？ 【解答】解： （1）工人培训后生产的产品质量指标
24、频率分布直方图为： （2）培训前乙等品的概率为 70 100 = 7 10， 培训后乙等品的概率为 68 100 = 17 25 （3）培训后利润为： 10000（0.010.07+0.020.68+0.050.25）254（万元） ， 培训前利润为： 10000（0.010.15+0.020.7+0.050.15）200（万元） ， 培训后比培训前提高了 54 万元 18 （12 分）已知函数 f（x）sinxcosx+3cos2x 3 2 第 15 页（共 20 页） （1）求 yf（x）的最小正周期，并求其单调递减区间； （2）ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若
25、f（A）= 3 2 且 A 为钝角，a 2，求ABC 面积的最大值 【解答】解： （1）函数 f（x）sinxcosx+3cos2x 3 2 = 1 2sin2x+ 3 2 cos2x+ 3 2 3 2 =sin （2x+ 3） ， 所以函数 yf（x）的最小正周期为 T= 2 2 =， 令 2 +2k2x+ 3 3 2 +2k，kZ； 12 +kx 7 12 +k，kZ， 所以函数 f（x）的单调递减区间为 12 +k，7 12 +k，kZ； （2）ABC 中，f（A）= 3 2 ， 所以 sin（2A+ 3）= 3 2 ， 又 A 为钝角，即 2 A， 所以4 3 2A+ 3 7 3 ，
26、则 2A+ 3 = 5 3 ， 解得 A= 2 3 ； 由 a2，则 a2b2+c22bccosAb2+c22bccos2 3 2bc+bc3bc， 即 3bca24，当且仅当 bc 时取“” ； 所以 bc 4 3， 所以ABC 面积的最大值为 Smax= 1 2bcsinA= 1 2 4 3 sin2 3 = 3 3 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 CC1底面 ABC，ABAC，D，E，F 分别为棱 AA1，BB1，BC 的中点 （1）求证：BC1AF； （2）若 AB2，BCCC122，求三棱锥 DAEF 的体积； （3）判断直线 CD 与平面 AEF 的位
27、置关系，并说明理由 第 16 页（共 20 页） 【解答】解： （1）证明：CC1平面 ABC，AF平面 ABC，CC1AF， ABAC，F 点为 BC 中点，AFBC， 又CC1BCC，CC1，BC面 BCC1B1， AF平面 BCC1B1， 又BC1平面 BCC1B1，AFBC1，即 BC1AF （2）解： = = 2， = 22，故 AB2+AC2BC2，ABAC， 三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 CC1底面 ABC， AA1平面 ABC，AC平面 ABC，AA1AC， 又AA1ABA，AC平面 ABB1A1， 即 AC 为三棱锥 CADE 的高， 三棱锥 DAEF 的体积为： =
28、= 1 2 = 1 2 1 3 = 1 2 1 3 (1 2 2 2) 2 = 2 3 （3）解：CD平面 AEF， 证明如下：连接 DE，DB，记 DB 与 AE 相交于点 G，连接 FG D、E 分别为 AA1和 BB1的中点， 故 DABE，DABE，四边形 ABED 为平行四边形， G 为 BD 中点，又F 为 BC 中点，CDFG， 又CD平面 AEF，FG平面 AEF，CD平面 AEF 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）excosx2x （1）求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）在（ 2，+）上仅有 2 个零点 【解
29、答】解： （1）f（0）0切点为（0，0） f（x）ex+sinx2 f（0）1， f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为：y0x，化为：x+y0 证明： （2）f（x）ex+sinx2 x0 时，f （x）ex+cosx0函数 f（x）在 x0，+）上单调递增 f（0）10，x2 时，f（2）0 存在唯一实数 x00，+） ，使得 f（x0）= 0+sinx020， 且函数 f（x）在 x0，x0）上单调递减，x（x0，+）上单调递增 又 f（0）0，f（x0）= 0cosx02x0sinx0cosx02x00，f（2）e2cos22 0 函数 f（x）在 x0，+）上存在两个零点，一
30、个零点为 0，另一个零点属于（0，2） 下面证明函数 f（x）在实数 x（ 2，0）无零点 x（ 2，0）时，f （x）ex+cosx0 函数 f（x）在 x（ 2，0）上单调递增， 而 f（0）10， 函数 f（x）在 x（ 2，0）上满足：f（x）f（0）0， 函数 f（x）在 x（ 2，0）上单调递减，f（x）f（0）0， 第 18 页（共 20 页） 函数 f（x）在 x（ 2，0）上无零点 综上可得：f（x）在（ 2，+）上仅有 2 个零点 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 5 5 ，右焦点为抛物线 y24x 的焦点 F （1）求椭圆 C
31、 的标准方程； （2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之 积为 4 5 求证：MON 的面积为定值 【解答】解： （1）由题意可知，F（1，0） ， c1，又e= = 5 5 ，a= 5，b2a2c24， 椭圆 C 的标准方程为： 2 5 + 2 4 = 1； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， kOMkON= 1 1 2 2 = 4 5， 4x1x2+5y1y20， 当直线 MN 的斜率不存在时，x1x2，y1y2， 412 512= 0，又412+ 512= 20， |1| = 10 2 ，|1| = 2， SMON= 1
32、 2 |1| 2|1| = 5； 当直线 MN 的斜率存在时，设 ykx+b， 联立方程 = + 2 5 + 2 4 = 1，消去 y 得： （4+5k 2）x2+10kbx+5b2200， 1+ 2= 10 4+52，12 = 5220 4+52 ， y1y2（kx1+b） （kx2+b）= 212+ (1+ 2) + 2= 202+42 4+52 ， 4x1x2+5y1y2= 20280 4+52 + 1002+202 4+52 = 402100280 4+52 =0， 4+5k22b2， 第 19 页（共 20 页） |MN|= 1 + 2 (1+ 2) 412=451 + 2 4+52
33、2 4+52 =451 + 2 | 22， 又原点（0，0）到直线 MN 的距离 d= | 1+2， SMON= 1 2 | = 1 2 451+ 2 | 22 | 1+2 =5， 综上所求，MON 的面积为定值5 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中直线 l：yx，圆 C 的参数方程为 = 1 + 2 = 2 + 2（ 为 参数） （）求 C 的普通方程，写出 l 的极坐标方程； （）直线 l 与圆 C 交于 A，B，O 为坐标原点，求 【解答】解（）C 的参数方程为 = 1 + 2 = 2
34、+ 2（ 为参数） ，消去参数 ，得 C 的普 通方程为（x1）2+（y+2）24 直线 l：yx 的极坐标方程为 = 7 4 ， （R） （）直线 l：yx 的极坐标方程为 = 7 4 ， （R） ， 由直线与圆的位置关系设 A，B 的极坐标为(1 7 4 )，(2 7 4 )，10，20， C 的极坐标方程为 22cos+4sin+10， 将 = 7 4 代入得2 32 + 1 = 0， 1，2为方程的两根， = | | | | = 12= 1 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）4xa2x+1+a+1 （1）若 a2，求不等式 f（x）0 的解集； （2）求
35、函数 f（x）在区间1，2上的最小值 h（a） 【解答】解： （1）设 t2x（0，+） ， 则 a1，f（x）t24t+30， 解得：1t3，即 12x3，0xlog23， 不等式 f（x）0 的解集为（0，log23） ； 第 20 页（共 20 页） （2）当 x1，2时，t2x2，4，f（x）t22at+a+1g（t）的对称轴为 ta， 当 a2 时，g（t）在2，4上单调递增，g（t）ming（2）53a 当 2a4 时， g （t） 在2， a上单调递减， g （t） 在 （a， +） 单调递增， ()= () = 2+ + 1 当 a4 时，g（t）在2，4上单调递减，g（t）ming（4）177a， 综上可得：h（a）= 5 3， 2 2+ + 1，24 17 7， 4
