1、第二篇第二篇机械振动和机械波机械振动和机械波 一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.二二 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法，描述简谐运动的旋转矢量法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析并会用于简谐运动规律的讨论和分析.三三 掌握掌握简谐运动的基本特征，能建立简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义解其物理意义.四四 理解理解同方向、同频率简谐运动的
2、合同方向、同频率简谐运动的合成规律，成规律，了解了解拍的特点拍的特点.五五 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振的阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律发生条件及规律.本章重点本章重点相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。同方向同频率简谐振动的合成。同方向同频率简谐振动的合成。本章难点本章难点相位概念的理解。相位概念的理解。任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动.机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.周期和非周
3、期振动周期和非周期振动 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等及晶体中原子的振动等.引引 言言 简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.谐振子谐振子 作简谐振动的物体作简谐振动的物体.简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解kl0 xmoAA1 弹簧振子弹簧振子00Fx4-1 简谐振动简谐振动一一 简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程平衡位置平衡位置makxF0dd222 xtxmk2令令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(
4、tAxxxFmo2 单摆单摆lmoA)cos(mtlg2令令Fmg转动转动正向正向sin,5时时tmamg sin mldtdmlml220sin lg02 oC*3 复摆复摆(物理摆物理摆)lmglM22ddtImgl 0dd222 tImgl 2令令)cos(mt)5(P（点为质心）点为质心）C转动正向转动正向动力学判据动力学判据运动学判据运动学判据tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa二二 谐振动的速度和加速度谐振动的速度和加速度简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征xa2
5、4 4）加速度与位移成正比而方向相反）加速度与位移成正比而方向相反0dd222 xtx2 2）简谐运动的动力学描述）简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx3 3）简谐运动的运动学描述）简谐运动的运动学描述mk弹簧振子弹簧振子lg单摆单摆kxF1 1）物体受线性回复力作用）物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 xImgl复摆复摆)cos(tAx1 1 振幅振幅maxxA 2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意
6、tx图图AAxT2Tto三三 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量(三要素三要素)1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;),(vxt3 相位相位(位相位相,周相周相)ttx曲线曲线AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 简谐运动中，简谐运动中，和和 之间不存在一一对应的之间不存在一一对应的关系关系.xvvvv1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;),(vxt3 相位相位(位相位相,周相周相)t物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态月相月相:新月新月,娥眉月娥眉月,上弦月上弦月,满月满月,下弦月下弦月,残月等残月等娥眉月娥眉
7、月上弦月上弦月下弦月下弦月满月满月)cos(tAx1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;),(vxt202）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态；3 相位相位(位相位相,周相周相)t3）初相位）初相位 描述质点描述质点初始时刻初始时刻的运动状态的运动状态.)0(t)(2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）（周期性）20(取取 或或 )物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.)cos(tAx22020vxA00tanxv四四 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xx
8、t初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0,0,0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto例例4-1 一轻弹簧一轻弹簧,下挂质量为下挂质量为10g 的重物时的重物时,伸伸长长4.9cm.用它和质量用它和质量80g小球构成弹簧振子小球构成弹簧振子.将小球由平衡位置向下拉将小球由平衡位置向下拉1.0cm 后后,给向上初给向上初速度速度v=5.0cm/s.求振动
9、周期及振动表达式求振动周期及振动表达式.解解:取向下为取向下为x轴正向轴正向.15 s振动方程为振动方程为 x=0.0141cos(5t+/4)(SI)例例4-2 如图所示，一边长为如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分的高度为水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压。今用手将木块压下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面高度变化，证明木块作谐振动。高度变化，证明木块作谐振动。bXmg证明：证明：浮F以水面为原点建立坐标以水面为
10、原点建立坐标OXx022xbgdtxd0222xdtxd解决简谐运动方程问题的一般步骤解决简谐运动方程问题的一般步骤:1)找到找到振动平衡位置振动平衡位置,此时合力为零此时合力为零,选平衡位选平衡位置为原点置为原点,建立坐标系建立坐标系2)设振子离开原点设振子离开原点x处处,分析受力情况分析受力情况.3)应用牛顿定律应用牛顿定律.4)根据初始条件确定根据初始条件确定A和和.5)写出振动表达式写出振动表达式.另外一个方法另外一个方法:能量法能量法)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机
11、械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）4-2 谐振动的能量谐振动的能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21能量守恒能量守恒简谐振动方程简谐振动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx 例例4-3 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速
12、度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10.0m100.122sm0.4（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解（1）s314.0T（2）（3）max,kEE J100.23（4）J100.23max,kEcm707.0 x 解：设棒长为解：设棒长为2R,质量为质量为m，在，在棒扭动时棒扭动时,其质心沿其质心沿 上下运动。上下运动。因扭动角度因扭动角度 很小，可近似认为很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度细棒在水平面内转动。扭动角度为为 时时,细棒在水平面内
13、转动角度细棒在水平面内转动角度为为，OORl OO 例例4-4 一匀质细杆一匀质细杆AB的两端的两端,用长度都为用长度都为l 且不计质且不计质量的细绳悬挂起来量的细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴当棒以微小角度绕中心轴 扭扭动时，求证其运动周期为：动时，求证其运动周期为：。glT3/2 O OABlcpmghE 2)(21dtdIEk 0322 lgdtd)cos1(lhc思考思考:如何利用转动定律求解如何利用转动定律求解?例例4-5 劲度系数为劲度系数为k、原长为、原长为l、质量为、质量为m的均的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，的物体，在光
14、滑水平面内作直线运动。求解其运动。在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。lxMXsdsO 解：平衡时解：平衡时O 点为点为坐标原点。物体运动坐标原点。物体运动到到x 处时，弹簧固定端处时，弹簧固定端位移为零，位于位移为零，位于M 一一端位移为端位移为x。当物体。当物体于于x 处时处时,弹簧元弹簧元 ds 的质量的质量 ,位移为位移为 速度为速度为 lmdsdm/lsx/dtdxls0322 xmMkdtxdxoAcos0Ax 当当 时时0t0 x4-3 谐振动的旋转矢量投影表示法谐振动的旋转矢量投影表示法xoAtt t)cos(tAx时时 以以 为为原点的旋转原点的旋转矢量矢量 在在 轴上的投
15、影轴上的投影点的运动为点的运动为简谐运动简谐运动.xAo)cos(tAx 以以 为为原点的旋转原点的旋转矢量矢量 在在 轴上的投影轴上的投影点的运动为点的运动为简谐运动简谐运动.xAoAmv)2 cos(tAv)cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图txAAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 .1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间
16、变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异.（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相3)关于旋转矢量法的理解关于旋转矢量法的理解:旋转矢量本身并不做简谐运动旋转矢量本身并不做简谐运动,只是用其投影只是用其投影点的运动来表示谐振动点的运动来表示谐振动,各物理量直观各物理量直观.在旋转矢
17、量法中在旋转矢量法中,相位表现为角度相位表现为角度,处理方便处理方便,但不是角度但不是角度.相位的物理含义在于可据以描述相位的物理含义在于可据以描述物体在任一时刻的运动状态物体在任一时刻的运动状态.例例4-6 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 .（1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0 xm05.0 x10sm30.0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于
18、零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/xo0.05 （1 1）时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xvx处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求 例例4-7 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4m04.0Ox （2 2）由起始位置运动到由起始位置运
19、动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间.m04.0 x 例例4-8 一质点在一质点在X轴上作简谐运动轴上作简谐运动,选取该质点选取该质点向右运动通过向右运动通过A点时作为计时起点点时作为计时起点,经经2s后质点后质点第一次经过第一次经过B点点,再经过再经过4s后第二次经过后第二次经过B点点,A和和B处的速率相同处的速率相同,且且AB=12cm,求振动方程求振动方程.法二法二:旋转矢量法旋转矢量法 法一法一:解析法解析法 11A1xx0一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221
20、AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动4-4 谐振动的合成谐振动的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k),2 1 0(，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差)12(12k),1 0(，ktAxcos11)cos(22tAx3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA
21、2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10(，k相互加强相互加强相互削弱相互削弱)12(12k)10(，k三三 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成 )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx两个同方向的谐振动两个同方向的谐振动,角频率分别为角频率分别为 和和 ,且且 略大于略大于 ,1212t时刻两分振动的旋转矢量之间的夹角为时刻两分振动的旋转矢量之间的夹角为:)()(1212 t与时间有关与时间有关 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫
22、合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍.单位时间内合振动振幅大小变化的次数单位时间内合振动振幅大小变化的次数,称为称为拍频拍频121221 T拍频等于两个分振动的频率之差拍频等于两个分振动的频率之差角频率角频率振幅振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx一一 阻尼振动阻尼振动)cos(tAext22022022TvCFr阻尼力阻尼力mk0mC 2固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数阻力系数阻力系数4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振otx三种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移阻尼振动位移-时间曲线时间曲线AAtOx)0(220)c
23、os(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b b）过阻尼）过阻尼220 a a）欠阻尼）欠阻尼220 c c）临界阻尼）临界阻尼tAeTabctAetcos驱动力驱动力tFkxtxCtxmp22cosdddd二二 受迫振动受迫振动(周期性外力持续作用周期性外力持续作用)mk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(p0tAteAxt2p22p204)(fA2p20p2tg驱动力的角频率驱动力的角频率瞬态解瞬态解稳态解稳态解PAo共振频率共振频率)cos(ptAx2p22p204)(fA0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼220r2共振共振频率频率220r2f
24、A共振共振振幅振幅0ddpA阻尼阻尼0三三 共振共振tfxtxtxp2022cosdd2dd共振演示实验共振演示实验236145220r2 共振频率共振频率220r2fA 共振振幅共振振幅 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆1作垂直于纸面作垂直于纸面的简谐运动时，单摆的简谐运动时，单摆5将将作相同周期的简谐运动，作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动其它单摆基本不动.共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌四四 减振原理减振原理1 消除或抑制振源强度消除或抑制振源强度2 避开共
25、振区避开共振区3 隔振措施隔振措施4 阻尼消振阻尼消振补充例题补充例题 如图所示，一直如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长角均质细杆，水平部分杆长为为 l，质量为，质量为 m，竖直部分，竖直部分杆长为杆长为 2l，质量为，质量为 2m，细，细杆可绕直角顶点处的固定轴杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的无摩擦地转动，水平杆的末端与劲度系数为末端与劲度系数为 k 的弹簧的弹簧相连，平衡时水平杆处于水相连，平衡时水平杆处于水平位置。平位置。求求杆作微小摆动时的周期。杆作微小摆动时的周期。解：解：2g0lmlkx cos)(sing2cos2g0lxxklmlmMlx;sin;1cos)g2(2kllmMkllmtJ)g2(dd22222232)2(3131mllmmlJ）（03g2dd22mlklmtmlklm3g2klmmlTg232)cos(0t能量的方法能量的方法(t 时刻系统的能量时刻系统的能量)sin21(g)(2121202lmxxkJEClm)cos1(g20sing2cos2g)(0lmlmxxxkJ 0)g2(2kllmJ（其它步骤同上其它步骤同上）
