1、图形中的规律鹤壁市山城区第五小学 王玲翠教材内容:北师大版五年级上册第97、98页。教学目标: 1. 发现正三角形的个数与所用小棒根数之间的关系，用含有字母的式子表示找出的规律，并运用规律解决实际问题。2. 发展学生动手操作，抽象概括的能力，渗透数形结合，类比等数学思想。3. 体验探究成功的快乐。教学重点：发现正三角形的个数与所用小棒之间的关系。数学难点:用字母公式表示出图形中的规律。教学过程：一、操作导入，提出问题师：同学们，你们会用小棒摆图形吗？能摆出那些平面图形呢？生:正方形，长方形，三角形。生：还有平行四边形，梯形。师:看来同学们对用小棒摆图形都挺有经验的。今天这节课我们就在摆小棒的过
2、程中研究“图形中的规律”。（板书：图形中的规律）现在就请大家在自己的课桌上用手中的小棒摆出一个三角形。（学生摆小棒）师：你们摆这个三角形用了几根小棒？生：（齐）三根！师:这个三角形有什么特点？三条边都相等的三角形我们称为生:（齐）等边三角形。师：没错。等边三角形还有一个名字叫做“正三角形”（板书：正三角形）,所以我们也可以说摆这个正三角形用了三根小棒。师:想一想：你能用最少的小棒请摆两个正三角形吗？现在一共用了几根小棒?谁来黑板上试一试？师:同学们看看，他摆2个正三角形 一共用了几根小棒？请给大家说一说你的想法。为什么只用5根小棒就能摆出2个正三角形呢？生：他在摆第二个正三角形时共用了前面这个
3、正三角形的1根小棒，所以只要5根小棒。师：还有谁来说说?生：本来摆2个正三角形要6根小棒，中间有一根小棒师左边这个正三角形的，也是右边这个正三角形的。师：你们的意思我明白了，是这样吗？请看动画演示：这条边即使第一个正三角形的一个边，也是右面这个正三角形的，两个正三角形公用了同一条边，所以就节约了一根，少一根其实就是增加了2根小棒。师：同学们真厉害，只用了5根小棒就摆出了2个正三角形！大家想一想：照这样摆下去，摆三个正三角形一共需要多少根小棒呢？谁上来摆一摆？师：同学们看，他一共用了几根小棒？（7根）师；为什么只用7根就可以摆出三个正三角形呢？生：他摆的第二个正三角形共用了第一个正三角形的一条边
4、，第三个正三角形又共用了第二个正三角形的一条边，一共共用了2条边，所以就少了2根小棒。师：他说的对吗?请看课件演示。师:照这样摆下去，摆100个正三角形一共需要多少根小棒？下面请同学们小组合作。二、合作探究，发现规律师：注意：1人摆，1人记录，其余2人观察思考，比一比，看哪个小组最先发现规律，并派代表把你们的成果展示到黑板上。首先请看活动要求： 1、摆一摆：照样子摆。 2、算一算：所需的小棒的根叔。 3、看一看：算式有什么特点？ 4、想一想，说一说摆出的正三角形个数与所需小棒根数之间存在什么样的规律？ 根据要求完成记录单。 活动记录单正三角形个数小棒根数（算式） 1 2 3 4 100(学生合
5、作用小棒白正三角形，师巡视)师:哪个组的同学愿意将你们的研究结果展示出来？并介绍你们的方法。生：我们摆了几个之后，发现每多摆 1个正三角形，就要增加 2根小棒，所以后面的图形就不用摆了，可以直接加 2、加 2 师：他刚才说每多摆 1个正三角形就增加 2根小棒，是这样的吗?我们来看看。(课件呈现：你们用连续加2的方法直接填表，最后得出摆 100个正三角形要用201根小棒。师：大家觉得这组的方法怎么样?生 他们的方法比前面的那个要好，发现规律之后就不要一个一个地摆了。师：是啊，他们的方法巧妙之处在于利用了我们以前学过的从数列中找规律。其实只要发现了这个规律，中间的数可以全部省略，直接算出摆100个
6、正三角形的小棒根数就可以了。师：哦？居然还可以用算的方法！你们组是怎么算的呢？生:3992201（根）师:这个算式是怎么来的?生:先摆第一个正三角形，要用3根小棒，后面的99个正三角形每个都是用2根小棒，所以就有99个2根，一共是3992等于201根。师：他们的方法完全正确，用算的方法巧妙的求出像这样摆100个正三角形需要的小棒根数，简洁明了，成功总是属于爱动脑筋和会思考的孩子，我们用热烈的掌声表示祝贺。师:请你解释一下你们组的想法好吗?310099201（根）生：每个正三角形本来要用3根小棒，那100个正三角形就要300根小棒，但是里面有99根小棒重复算的，所以减去99根。师：明明是100个
7、正三角形，为什么是减去99，而不是减去100呢?生：第一个正三角形需要3根小棒才能围成。后面的99个正三角形每一个都共用了前面这个正三角形的一条边，所以只要减去节省的99根小棒。师:我明白你的意思了，一起来看看。(课件动态显示;3根小棒围成的正三角形一个一个出现，当每个正三角形与前一个正三角部分重叠时，重叠的边一次变色闪动)2个正三角形公用了1条边，3个正三角形共用了2条边，4个正三角形用用了3条边照这样摆下去，公用边的条数总是比正三角形的个数生：(齐)少1师：100个正三角形就共用了多少条边呢？生；(齐)99条边师；所以就要从300根小棒里减去公用的这99根小棒，也就是减去重复算过的99根，
8、这样的算法也是正确的。真不错，谁来介绍这一种算法？生；还有21001201（根）师；请说说算理。生；我们先把每个正三角形都看成是用2根小棒围成的，这样100个正三角形就需要2100跟小棒。这时候第一个正三角形还只有两条边，还不是三角形，所以最后在第一个正三角形那里摆上1根小棒，就摆成了100个正三角形了。师：有些同学可能没听懂，没关系，我们一起来看看吧！（课件动态演示）大家看明白了吗？ 师：确实，这位同学的想法非常独特！因为每个正三角形都与前面那个三角形共用了一条边，他干脆把每个三角形都看成只用2条边围成的，最后加上最前面的那根小棒，这样就避免了重复算小棒的根数，真是了不起的创举！（向生竖起大
9、拇指）三、举一反三，总结规律师：我们通过操作、观察、计算，用几种不同的方法得出像这样摆100个正三角形一共需要201根小棒。现在，我们不操作，你能很快地知道像这样摆1000个三角形一共需要多少根小棒吗？生：2001根。师：这么快？你是怎么想的？生：每个正三角形都摆2根，就是21000，再加上最前面摆的1根，一共是2001根。师：说得对！还有不同的方法吗？生：31000999=2001（根），1000个3根减去后面节省的999根。师：同意吗？生：同意！师：还有不同的想法吗？生：还可以是32999=2001（根）。前面1个3根再加上后面999个2根，一共是2001根。师：我们很快算出了像这样摆10
10、00个正三角形一共需要小棒2001根。如果摆n个正三角形呢？生：2n1，n个2根再加上前面的1根。 生：32（n1），前面的1个3根再加上后面（n1）个2根。生：3n（n1），n个3根减去节省的（n1）根。师：求n个正三角形一共需要多少根小棒我们列出了3个不同的算式进行化简，看看会得到什么结果。 32（n1） 3n（n1）=32n2 =3nn1=2n1 =2n1 师（小）：发现什么啦？生：化简之后这三种不同的方法居然是同一种！太不可思议了！师：这就是所谓条条大陆通罗马，水流千里归大海，看起来纷繁复杂的解决问题的方式，其实质是万变不离其宗的。我们学习数学，就是要善于抓住问题的本质，寻找最简捷的解
11、决方案。现在我们可以将这三种表面上看起来不同的算法归结为：像这样摆n个正三角形，所需小棒的根数是“2n1”。四、运用规律，解决问题连续摆正三角形用了37根小棒，你知道几个正三角形吗？全班交流。五、拓展延伸，发展思维师：我在想，如果是摆正方形，小棒的根数与正方形的个数有什么规律呢？开始吧！（生自主研究，师巡视）师：你们找到规律了吗？你是怎么找的？生：我根本没摆，我是边画边记录的。摆1个正方形是4根小棒，摆2个正方形是7根小棒，摆3个正方形是10根小棒，摆三个后我就发现了规律，每多摆一个小正方形就要增加3根小棒。师：他发现的规律是每多摆1个正方形就增加3根小棒。还有那些同学也发现了这些规律？（很多
12、孩子举起了手）生：老师，根本不需要画，想象一下就可以了因为摆正三角形时是每多摆一个图形就要增加2根小棒，正方形比正三角形多一条边，所以每多摆1个小正方形就要增加3根小棒。生：我知道了，既然摆正三角形需要的小棒根数是2n1，那摆n个正方形需要的小棒根数就是3n1啦！师：哦？为什么？生：因为正方形比正三角形多一条边，n个正方形就要n个3根，再加上最前面的1根，就是3n1.师（赞许的）：你真是一个善于观察的孩子，现在谁能说出照这样摆，摆正五边形的个数于小棒根数之间的规律之间的规律吗？生：4n1。（板书：正五边形，4n1）师:正六边形呢？生：5n1.（板书：正六边形，5n1）师：正十边形呢？生：9n1
13、.（板书：9n1）师：正a边形呢？生：an+1.师：为什么？生：我看上面都是乘n再加1，正a边形就是an+1了！生：不对！上面乘n的那个数都是比图形的边数少1，所以应该师（a-1）n+1.师：到底是an+1还是（a-1）n+1？生：我认为应该是（a-1）n+1，乘n的那个数总是比图形的边数少1，因为每多摆1个图形就需要增加（a-1）根小棒，n个图形就需要增加n个（a-1）。师：你解释的非常清楚，大家的意见呢？生（齐）：同意他的意见！师：那好，像这样摆n个正a边形就需要小棒的根数是多少？生（齐）：（a-1）n+1！2、欣赏生活中的规律现象。六、回顾总结师：这节课我们研究的图形中的规律，是把图形摆成一排进行研究的，图形中还有很多更有趣的内容，以后再探讨。下课！板书设计： 图形中的规律 3992201（根） 3+2（n-1） 2100+1=201(根 ) 2n+1 3100-（100-1）=201（根） 3n-(n-1)
