1、文科数学文科数学 第第 1 页页(共共 4 页页) 绝密启用前绝密启用前 20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题卷文科数学试题卷 ( (银川一中第一次模拟考试银川一中第一次模拟考试) ) 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：
2、一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合已知集合623|,04| 2 xxBxxA，则，则BA = A)2 , 2 3 ( B)2 , 2( C)3 , 2 3 ( D)3 , 2( 2复数复数 1 2zi，若复数，若复数 1 z， ， 2 z在复平面内的对应点关于虚轴对称，则在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 1 2 z z A5 B-5 C 3 4i D3 4i 3下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在下列函数中
3、，在其定义域内既是偶函数又在 0，上是单调增函数的是上是单调增函数的是 A( ) sinf xx B 2 ( )f xx C( )2 x f x D2 1 ( )logf x x 4已知向量已知向量a,b,其中其中2| ,2| ba ，且，且aba )(，则，则a与与b的夹角是的夹角是 A 6 B 4 C 2 D 3 5为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的 2000 名居民进行模 名居民进行模 排，各年龄段男、女生人排，各年龄段男、女生人数如数如下下表已知在小区的表已知在小区的 居民中随机抽取居民中随机抽取 1 名，抽
4、到名，抽到 20 岁岁- 50 岁女居民的概率是岁女居民的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全小区抽取现用分层抽样的方法在全小区抽取 64 名居民，则应在名居民，则应在 50 岁以上抽取的女居民人数为岁以上抽取的女居民人数为 1 岁岁20 岁岁 20 岁岁50 岁岁 50 岁以上岁以上 女生女生 373 X Y 男生男生 377 370 250 A24 B16 C8 D12 6我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童 如图是一个刍童 的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，的三视图，其中正视图及侧视图均
5、为等腰梯形，两底的两底的 长分别为长分别为 2 和和 6，高为，高为 2，则该刍童的体积为，则该刍童的体积为 A 100 3 B104 3 C27 D18 文科数学文科数学 第第 2 页页(共共 4 页页) 7已知已知2sin 3 4 ，则，则sin2 A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 8已知数列已知数列 n a为等差数列，前为等差数列，前 n 项和为项和为 n S,且且 5 5a 则则 9 S A25 B90 C50 D45 9函数函数 44 3 )( | 3 x x xf的大致图象为的大致图象为 A B C D 10在三角形在三角形 ABC 中，中，a,b,c 分别是分别是
6、角角 A,B,C 的 的 对边，若对边，若 2 1,3, 3 bcC 则则 ABC S A3 B 3 4 C 3 2 D 3 4 11已知椭圆已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点分别是的两个焦点分别是 12 ,F F，过，过 1 F的的 直线交椭圆于直线交椭圆于 P,Q两两点，若点，若 212 ,PFFF且且 11 23,PFQF则椭圆的离心率则椭圆的离心率为为 A 3 4 B 4 5 C 3 5 D 3 2 5 12已知定义在已知定义在 R 上的函数满足上的函数满足 (2)( ),(0,2f xf x x 时，时，( )sinf xxx， 则则 2020 1 ( )
7、i f i A6 B4 C2 D0 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13设设x，y满足约束条件满足约束条件 210 270 2350 xy xy xy ，则，则z 2x3y=- 的最小值为的最小值为_. 14如图，如图，y=f(x)是可导函数，直线是可导函数，直线 l:y=kx+2 是曲线是曲线 y=f(x)在在 x=3 处的处的 切线，令切线，令 g(x)=xf(x),其中其中 ( ) g x是是 g(x)的的 导数，则导数，则 (3) g_. 文科数学文科数学 第第 3 页页(共共 4 页页) 15已知双
8、曲线的方程为已知双曲线的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ,双曲线的双曲线的 一个焦点到一条渐近线的一个焦点到一条渐近线的 距距 离为离为 5 3 c(c 为双曲线的半焦距的为双曲线的半焦距的 长）则该双曲线的长）则该双曲线的 离心率为离心率为_. 16如图所示，某住宅小区内有一个如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地正方形草地 ABCD,现欲在其中修现欲在其中修 建一个正方形花坛建一个正方形花坛 EFGH,若已知花坛面积为若已知花坛面积为 正方形草地面积的正方形草地面积的 2 3 。 则则=_ 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
9、骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17172121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第考题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 ( (一一) )必考题：共必考题：共 6060 分分) ) 17.（12 分）分） 记记 n S为等比数列为等比数列 n a的前的前n项和，项和， 1 8a ， 32 2(3)Sa. （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）已知）已知 12nn Ta aa，求，求 n T的最大 的最大值值. 18(12 分分) 在直三棱柱在直三棱柱 111 ABCABC中
10、，中， 1 3,2,ABACAABCD 是是BC的中点，的中点，F是是 1 CC上一点上一点. （1）当）当2CF 时，证明：时，证明： 1 B F 平面平面ADF； （2）若）若 1 FDB D，求三棱锥，求三棱锥 1 BADF的体积的体积. 19.（12 分）分） 某种植物感染某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗了一种抗病毒的制病毒的制 剂，现对剂，现对 20 株感染了株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分测试结果分“植株死亡植株死亡” 和和“植株存活植株存活”两个结果进行统计
11、；并对植株吸收制剂的量两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：单位：mg)进行统计进行统计.规定：植规定：植 株吸收在株吸收在 6mg（包括（包括 6mg）以上为）以上为“足量足量”，否则为，否则为“不足量不足量”.现对该现对该 20 株植株样本进行统株植株样本进行统 计，其中计，其中 “植株存活植株存活”的的 13 株，对制剂吸收量统计得下表株，对制剂吸收量统计得下表.已知已知“植株存活植株存活”但但“制剂吸收不制剂吸收不 足量足量”的植株共的植株共 1 株株. 编号编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12、20 吸收吸收 量量 (mg) 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 （1）完成以）完成以22下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过 1%的前提下，认为的前提下，认为 “植株的存活植株的存活”与与“制剂吸收足量制剂吸收足量”有关？有关？ 吸收足量吸收足量 吸收不足量吸收不足量 合计合计 植株存活植株存活 1 植株死亡植株死亡 合计合计 20 文科数学文科数学 第第 4 页页(共共 4 页页) （2）若在该样本）若在该样本“制剂吸收不足量制剂吸收不足量”的植株中随机抽取的植株中随机抽取 3 株，求这株，求这
13、 3 株中恰有株中恰有 1 株株“植株植株 存活存活”的概率的概率. 参考数据：参考数据： 2 ()0.150.100.050.0250.0100.0050.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 P Kk k 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中，其中nabcd 20.（12 分）分） 已知动点已知动点M到定点到定点1,0F的距离比的距离比M到定直线到定直线2x的距离小的距离小 1. （1）求点）求点M的轨迹的轨迹C的方程；的方程； （2）过点）过点F任意作互相垂直的两条直线任意作互相垂直的两条直线 12
14、,l l，分别交曲线，分别交曲线C于点于点,A B和和,M N.设设 线段线段AB， MN的中点分别为的中点分别为,P Q，求证：直线，求证：直线PQ恒过一个定点；恒过一个定点； （3）在（）在（2）的条件下，求）的条件下，求FPQ面积的最小值面积的最小值. 21.（12 分）分） 已知函数已知函数( ) ln x f xax x （1）若函数）若函数 f x在在1,上是减函数，求实数上是减函数，求实数a的最小值；的最小值； （2）若存在）若存在 2 12 , ,x xe e，使，使 12 f xfxa成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围 ( (二二) )选考题：共选考题：共 101
15、0 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 两题中任选一题做答，如果多做则按所做两题中任选一题做答，如果多做则按所做 的第一题记分。的第一题记分。 22选修选修 44：坐：坐标系与参数方程标系与参数方程(10 分分) 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 1 1 cos :( sin x C y 为参数） ，曲线为参数） ，曲线 2 2 2: 1 2 x Cy （1）在以）在以O为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 12 ,C C的极坐标方程；的极坐标方程； （2）若射线）若射线(0) 6 与与
16、1 C的异于极点的交点为的异于极点的交点为 A，与 ，与 2 C的交点为的交点为 B ，求，求 AB 23选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知关于已知关于x的不等式的不等式231xxm有解，记实数有解，记实数m的最大值为的最大值为M. （1）求）求M的值；的值； （2）正数）正数, ,a b c满足满足2abcM ，求证，求证 11 1 abbc . 银川一中银川一中 20202020 届高三第一次模拟数学届高三第一次模拟数学( (文科文科) )试题参考答案试题参考答案 文科数学文科数学 第第 5 页页(共共 4 页页) 一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
17、1 12 答案 A B D B C B A D A B C D 二填空题：13.-5 ；14.0；15. 3 2 ； 16. 12 或 5 12 三解答题： 17.解： （1）设 n a的公比为q，由题意得： 132 6aaa 所以 2 8886qq，即 2 4410qq 则 1 2 q -6 分 所以 1 4 1 82 2 n n n a . （2） 7 3 2 14 2 12 22 n n n nn Ta aa -9 分 当3n或 4 时， n T取得最大值，且max64 n T.-12 分 18.（1）证明：因为 ,ABAC D 是BC的中点，所以ADBC， 在直三棱柱 111 ABCA
18、BC中，因为 1 BB 底面ABC，AD 底面ABC，所以 1 ADB B, 因为 1 BCB BB，所以AD 平面 11 B BCC，因为 1 B F 平面 11 B BCC，所以 1 ADB F.-3 分 在矩形 11 B BCC中，因为 111 1,2C FCDBCCF， 所以 11 Rt DCFFC B ，所以 11 CFDC BF，所以 0 1 90B FD, （或通过计算 11 5,10FDBFBD，得到 1 B FD为直角三角形） 所以 1 B FFD，因为AD FDD，所以 1 B F 平面ADF-6 分 （2）解：因为AD 平面 1 B DF， 2 2AD , 因为D是BC的
19、中点，所以1CD，在 1 Rt B BD中， 1 1,3BDCDBB, 所以 22 11 10BDBDBB， 因为 1 FDB D，所以 1 Rt CDFBBD， 所以 11 DFCD B DBB ，所以 110 10 33 DF ， 文科数学文科数学 第第 6 页页(共共 4 页页) 所以 1 1111010 2 102 2 33239 BADFADF VSAD .-12 分 19. 解析：(1) 由题意可得“植株存活”的 13 株，“植株死亡”的 7 株；“吸收足量”的 15 株， “吸收不足量”的 5株，填写列联表如下： 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3
20、 4 7 合计 15 5 20 4 分 635. 6934. 5 515713 ) 13412(20 2 2 K 所以不能在犯错误概率不超过 1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有 关.8 分 (2)样本中“制剂吸收不足量”有 5株，其中“植株死亡”的有 4 株， 存活的 1株. 设事件A:抽取的 3株中恰有 1 株存活 记存活的植株为a,死亡的植株分别为 1234 ,b b b b 则选取的 3 株有以下情况： 12 , ,a b b， 13 , ,a b b， 14 , ,a b b， 23 ,a b b， 24 ,a b b， 34 ,a b b， 123 , b b b，
21、 124 ,b b b， 134 ,b b b， 234 ,b b b 共 10 种，其中恰有一株植株存活的情况有 6种 所以 63 ( ) 105 P A （其他方法酌情给分.）12 分 20解： （）由题意可知：动点M到定点1,0F的距离等于M到定直线1x的距 离.根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线. 2p ，抛物线方程为： 2 4yx -3 分 （）设,A B两点坐标分别为 1122 ,x yx y，则点P的坐标为 1212 , 22 xxyy . 由题意可设直线 1 l的方程为10yk xk. 由 2 4 1 yx yk x ，得 2222 240k xkxk. 242 244
22、16160kkk . 因为直线 1 l与曲线C于,A B两点，所以 121212 2 44 2,2xxyyk xx kk . 文科数学文科数学 第第 7 页页(共共 4 页页) 所以点P的坐标为 2 22 1, kk .由题知,直线 2 l的斜率为 1 k ，同理可得点Q的坐标为 2 1 2, 2kk. -5 分 当1k 时，有 2 2 2 112k k ，此时直线PQ的斜率 2 2 2 2 2 2 1 11 2 PQ k k k k k k k . 所以，直线PQ的方程为 2 2 21 2 1 k ykxk k ，整理得 2 30ykxky. 于是，直线PQ恒过定点3,0E； 当1k 时，直
23、线PQ的方程为3x ，也过点3,0E. 综上所述，直线PQ恒过定点3,0E.-8 分 （）可求得2EF .所以FPQ面积 121 224 2 SFEkk kk . 当且仅当1k 时，“ ”成立，所以FPQ面积的最小值为 4.-12 分 21解：已知函数 ( )f x 的定义域为 0,11, （）因为 f x在1,上为减函数，故 2 ln1 0 ln x fxa x 在1,上恒成 立，即当1,x时， max0fx 又 22 2 ln111111 ()() lnlnln24 ln x fxaaa xxx x ， 故当 11 ln2x ，即 2 xe时， max 1 4 fxa 所以 1 0 4 a
24、，于是 1 4 a ，故a的最小值为 1 4 5分 （）命题“若存在 2 12 , ,x xe e使 12 f xfxa成立”等价于“当 2 ,xe e时，有 minmax ( )( )f xfxa” 由（）知，当 2 ,xe e时， max 1 ( ) 4 fxa，所以 max 1 ( ) 4 fxa 故问题等价于：“当 2 ,xe e时，有 min 1 4 f x” 文科数学文科数学 第第 8 页页(共共 4 页页) 当 1 4 a 时，由（）知， f x在 2 , e e 上为减函数， 则 2 22 min 1 24 e f xf eae，故 2 11 24 a e 8分 当 1 4 a
25、 ， 2 ,xe e时， 1 lnln4 xx fxaxx xx ，由（）知，函数 1 ( ) ln4 x xx x 在 2 ,e e上是减函数， 222 2 min( ) () 244 eee xe，所以 2 min 1 44 e fx ，与 1 4 a 矛盾，不合题意 综上，得实数a的取值范围 2 11 ,) 24e 12分 22、解析： （）曲线 1 1 cos :( sin x C y 为参数）可化为普通方程: 22 (1)1xy，2 分 由 cos sin x y 可得曲线 1 C的极坐标方程为2cos，3分 曲线 2 C的极坐标方程为 22 (1 sin)25 分 （）射线(0)
26、6 与曲线 1 C的交点A的极径为 1 2cos3 6 ，6 分 射 线(0 ) 6 与 曲 线 2 C的 交 点B的 极 径 满 足 22 2 (1 sin)2 6 ， 解 得 2 2 10 5 ，8 分 所以 12 2 10 3 5 AB10 分 23、解析：23(2)(3)5xxxx， 2分 若不等式231xxm有解，则满足15m，3分 解得64m .4M . 5分 （2）由（1）知正数, ,a b c满足24abc ， 11111 ()() 4 abbc abbcabbc 7 分 文科数学文科数学 第第 9 页页(共共 4 页页) 1)22( 4 1 )2( 4 1 cb ba ba cb cb ba ba cb 9分 （当且仅当,2ac ab时，取等号.）10 分
