1、n 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数n 离散型随机变量离散型随机变量n 连续型随机变量连续型随机变量n 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 n 随机变量随机变量n 分布函数分布函数第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数一一 随机变量随机变量随机试验结果随机试验结果随机变量随机变量数量化数量化e()Xf e实值函数实值函数随机变量随机变量随机变量随机变量（简记为（简记为(r,v)定义定义 设随机试验设随机试验E 下样本空间为下样本空间为=e，若对任，若对任意意e ，对应唯一个实数，对应唯一个实数X(e)，则称，则称X(e)为一个为一个特征特征(1)(1)随试验结
2、果而变随试验结果而变,事先只知其取值事先只知其取值范围范围,而不知取何值而不知取何值.(2)(2)取值和每个确定范围内的取值有一取值和每个确定范围内的取值有一定概率性定概率性.例例1（1）设试验）设试验E:掷一颗骰子，掷一颗骰子，X :骰子朝上之面骰子朝上之面的点数，则的点数，则 X 为随机变量，为随机变量，“出现大点数出现大点数”可表示为可表示为（2）设试验）设试验E:观察某网站某时间段内收到的信息，观察某网站某时间段内收到的信息，X:信息条数，则信息条数，则 X 为随机变量为随机变量.“收到的信息条数收到的信息条数在在1000-2000之间之间”可以表示为可以表示为 （3）设试验）设试验E
3、 :观察炮弹落点，观察炮弹落点，X :射程射程(公里公里),则则 X 为随机变量为随机变量.“射程在射程在10-15公里之间公里之间”可表示为可表示为;4 X;20001000 X.1510 X01112223XTTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHe（4）设试验）设试验E :用用2元钱任买一张彩票元钱任买一张彩票,X :奖金，则奖金，则X为随机变量为随机变量.“不赔钱不赔钱”可以表示为可以表示为例例2 在将一枚硬币抛掷三次在将一枚硬币抛掷三次,观察正面观察正面H 反面反面T 出出现情况的试验中现情况的试验中,其样本空间其样本空间记每次试验出现正面记每次试验出现正面H 的总次数为的总
4、次数为X,X为随机变量为随机变量,则则X作为样本空间作为样本空间 上的函数定义为上的函数定义为易见易见,使使 X 取值为取值为 2(X=2)的样本点构成的子集为的样本点构成的子集为.2 X.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH ,THHHTHHHTA 常见的两类随机变量常见的两类随机变量离散型离散型连续型连续型取值可数取值可数取值无穷多取值无穷多,不可一一不可一一列举列举,充满某一区间充满某一区间n收到的信息条数收到的信息条数n骰子出现的点数骰子出现的点数n电视机的寿命电视机的寿命n一地区男子的身高一地区男子的身高01112223XTTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH
5、e故故 类似有类似有,83)(2 APXP.84,1 TTTTTHTHTHTTPXP二二 分布函数分布函数x11xp22xpkkxpx例例3 袋中有袋中有6个球，标号为个球，标号为-1,1,1,2,2,2，任取一，任取一球，设随机变量球，设随机变量X 表示取到的球的标号表示取到的球的标号,求求X 的分布的分布函数函数.定义定义 称称 的分布函数的分布函数(简记为简记为 )，其中事件，其中事件XxxXPxF为为),(,)(fd )(xeXexX 从数值上看从数值上看 表示随机变量表示随机变量 落入区间落入区间 的的概率概率.)(xFX,(x )(xXPxF例例3解解 由分布函数由分布函数 的定义
6、及古典概率可计算得的定义及古典概率可计算得 袋中有袋中有6个球，个球，标号为标号为-1,1,1,2,2,2x时，时，2 x1 12xx，时时21 x1 12x时，时，1 x时，时，11 xxx1 12xx1,0 x,11,61 x,21,63 x.2,1 x)(xF )(xXPxF例例4 向向a,b 随机投点随机投点X :落点刻度，求落点刻度，求X 的分布函数的分布函数解解 由分布函数由分布函数 的定义及几何概率可计算得的定义及几何概率可计算得)x(Fxxxab时时ax 时时bx axx时时bx ab,0ax ,bxaabax .,1bx 分布函数的性质分布函数的性质 为单增右连续的函数，即若
7、为单增右连续的函数，即若 ;1)(0)1(xF)()2(xF则则,21xx );()(lim),()(00210 xFxFxFxFxx ;1)(,0)(,1)(lim,0)(lim)3(FFxFxFxx分别记为分别记为).(1),0()(),()(),0(),()4(aFaXPaFbFbXaPaFbFbXaPaFaXPaFaXP 例例5 若若 注注 随机变量不是高等数学中的普通变量，而分随机变量不是高等数学中的普通变量，而分布函数则是高等数学中的普通函数，因而可借用微布函数则是高等数学中的普通函数，因而可借用微积分的方法来研究概率论积分的方法来研究概率论.解解,6.0,6.02112xxxXP
8、xXP 且且.21xXxP 求求1221xXPxXPxXxP )1(12xXPxXP .2.06.016.0 n离散型随机变量及其性质离散型随机变量及其性质n常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布1 1 离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义 定义定义 如果随机变量如果随机变量X 的取值是有限多个或可数的取值是有限多个或可数多个，则称多个，则称X为为离散型随机变量离散型随机变量，下表称为，下表称为X 的的概概率分布率分布或或分布律分布律.一一 离散型随机变量及其性质离散型随机变量及其性质)1.2(,2,1,kxXPpkk即即为阶梯函数为阶梯函数,为跳跃间断为跳跃间断 2 2 分
9、布律的性质分布律的性质点，在点，在 处右连续而非左连续，其余点处处连续处右连续而非左连续，其余点处处连续.例例1 设随机变量设随机变量 分布律为分布律为,为常数，试确定为常数，试确定 .归归一一性性）。）非非负负性性）；（；.(12(,2,1,0)1(1 kkkpkp解解 由分布律的归一性由分布律的归一性得得.11 kkp)(,)()3(xFpxFxxkk从而从而 kxkx).()()4(1 kkkxFxFxXPX,2,1,0,!kkakXPk 0 a.,1,1!0 eaaekakk所以所以即即例例2 用随机变量描述将一枚硬币连抛三次的试验结用随机变量描述将一枚硬币连抛三次的试验结果，并写出这
10、个随机变量的分布律和分布函数果，并写出这个随机变量的分布律和分布函数.解解 设随机变量设随机变量X:将一枚硬币连抛将一枚硬币连抛3次出现正面次数次出现正面次数,则则X 可取值可取值0,1,2,3.因为每次正面出现的概率都是因为每次正面出现的概率都是1/2,所以所以 X的分布律为的分布律为01112223XTTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHe01112223XTTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHeX的分布函数为的分布函数为0,01,0184(),1287,2381,3xxF xP Xxxxx二二 常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布1 1（0-1 0-1
11、）分布）分布直观理解直观理解:样本空间中只有两个样本点样本空间中只有两个样本点,如如:产品是否合格产品是否合格(合格为合格为1,不合格为不合格为0).抛一枚硬币出现正面还是反面抛一枚硬币出现正面还是反面(正面为正面为1,反面为反面为0).客户是男士还是女士客户是男士还是女士(男士为男士为1,女士为女士为0).如随机变量如随机变量 X 的分布律为的分布律为 服从参数为服从参数为 的的（0-1）分布）分布，记为，记为XkppkXPkk则称则称或或),1,0()1(1 p),1(pBX2 2 二项分布二项分布直观理解直观理解:做做 次重复独立实验，次重复独立实验，:出现次数，则出现次数，则nX A(
12、,),XB n ppP A 证明证明 显然显然 若随机变量若随机变量 的分布律为的分布律为X则称则称 服从参数为服从参数为 的二项分布，记为的二项分布，记为pn,),(pnBX)2.2(.,2,1,0,)1(nkppCkXPknkkn X例例3 设设 ，求，求 的分布的分布.),(pnBXXnY 且且，nY,2,1,0,knkknkknknnpqCqpCknXPkYP .1),(pqqnBY 故故3 3 泊松分布泊松分布例例4 若随机变量若随机变量X 服从参数为服从参数为2,p 的二项分布，随机变量的二项分布，随机变量 服从参数为服从参数为3,p 的二项分布，若的二项分布，若,951 XP.1
13、 YP求求 解解 由由 Y,321,95)1(10112 ppXPXP得得.2719321)1(1133 pYP若随机变量若随机变量 的分布律为的分布律为则称则称 服从参数为服从参数为 的泊松分布，记为的泊松分布，记为X,2,1,0,0,!kekkXPk X).(PX现实背景现实背景:理论上已证明凡是属于理论上已证明凡是属于“流流”的问题均的问题均服从或近似服从泊松分布，如顾客流，汽车流，粒服从或近似服从泊松分布，如顾客流，汽车流，粒子流等子流等.例例5 证明证明:均匀放射性物质在某时间段内放射的粒子均匀放射性物质在某时间段内放射的粒子数数 服从泊松分布，即服从泊松分布，即 证明证明 对该物对
14、该物 质作分割质作分割 表示该表示该物体之体积，并设物体之体积，并设(1)对每个小块对每个小块 ，该物质放射出两个以上粒子的概，该物质放射出两个以上粒子的概率为率为 0，放射出一个粒子的概率为，放射出一个粒子的概率为 ,且且,2,1,0,0,!kekkXPk VnVVVn,1 nV np)(VnnVVpn (2)各小块放射出粒子是相互独立的各小块放射出粒子是相互独立的.由此由此X=k相当于在某时间段内相当于在某时间段内n个小块中有个小块中有k 个小块个小块放射出粒子，此为放射出粒子，此为n 重贝努利试验，所以重贝努利试验，所以 为比例系数，为比例系数，),(VnnVVpn .1,)(nnknn
15、knknnpqqpCkPkXP knknknnknknnnnkknnnqpCkXP 1!)1()1(limlim)(1)1()1(lim!knnnknknnknnnk ,!ekk).(PX即即(1)对每个小块对每个小块 ，该物质放射出两个以上粒子的概，该物质放射出两个以上粒子的概率为率为 0，放射出一个粒子的概率为，放射出一个粒子的概率为 ,且且np例例6 设每对夫妇的子女数设每对夫妇的子女数 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为个孩子的概率为 ，求任选，求任选得一对夫妇至少有得一对夫妇至少有3个孩子的概率个孩子的概率.X23e
16、解解 由题意由题意 ,由由所求概率为所求概率为)(PX得得101 XPXPXP,2,32 故故eee21013 XPXPXPXP.323.051!22!121222212 eeee解解 事件事件 的时间内没有发生故障的时间内没有发生故障例例7 一设备在任何长为一设备在任何长为t的时间内发生故障的次数的时间内发生故障的次数 服服从参数为从参数为 t 的泊松分布的泊松分布(0).T 表示相继两次故障之表示相继两次故障之间时间的间隔间时间的间隔,求求T 的分布函数的分布函数.()N t由此得由此得T 的分布函数为的分布函数为ttT在长度为在长度为 从而从而即即,0)(tN,!0)(0)(0tteet
17、tNPtTP .0,0,0,1)(ttetFt 记记 ,则分布律为则分布律为 解解 射击次数射击次数 X 服从参数为服从参数为p 的几何分布的几何分布,故分布故分布律为律为4 4 几何分布几何分布若随机变量若随机变量 X 为重复独立实验下事件为重复独立实验下事件 A 首次出现首次出现的实验次数，则称的实验次数，则称X 服从参数为服从参数为 P 的的几何分布几何分布.例例8 某人向目标射击某人向目标射击,直到击中目标为止直到击中目标为止,设各次击中设各次击中与否相互独立且每次击中目标的概率为与否相互独立且每次击中目标的概率为P(0P1),求求其射击次数其射击次数X 的分布律的分布律.)(APp
18、.,2,1,)1(1 kppkXPk.,2,1,)1(1 kppkXPk例例9 做一系列重复独立的试验，每次试验成功的概率做一系列重复独立的试验，每次试验成功的概率为为 p(0p0时时(x)的值可查附表的值可查附表3得，得，x3.2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则.32,3 bY 32132223C033332132 C3)(XPAP由由于于,32d3153 x.0244,)5,0(2有实根的概率有实根的概率求方程求方程上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设 kkxxk解解,12,有有实实根根时时或或即即 kk,0)
19、2(16162时时当当 kk则有实根的概率为则有实根的概率为.53d5102152 xkPkP补例补例2,0)2162时时即即（kk51n 离散型情形离散型情形n 连续型情形连续型情形52一一 离散型情形离散型情形()Yg X随机变量随机变量 的函数的函数,其中其中 为连续函数为连续函数)(xg其分布其分布?则则Y=X2+1的分布律为的分布律为例例1 设设X 的分布律为的分布律为12 XYXP11 0261311226131添一行添一行再把再把Y值相同的项的概率相加有值相同的项的概率相加有12 XY其中其中 ,其余类似其余类似.111111663P YP XP X 554则则 的分布律为的分布
20、律为()Yg X)X(gY 由上面可知由上面可知,若若X 的分布律为的分布律为但要注意将但要注意将Y 取值相同的概率相加，如例取值相同的概率相加，如例1111111663P YP XP X 55二二 连续型情形连续型情形设设 的概率密度函数为的概率密度函数为 ，求，求 之密度之密度，方法有以下两种方法有以下两种:()XfxX()Yg x1 1 分布函数法分布函数法求出求出 的值域的值域Y对对 ,由定义由定义 ,确定确定 的表达式的表达式Yy()()YFyP YyP g Xy()YFy对对 ,由定义由定义 ,从而从而Yy()()YYfyFy(),()0 ,YYYYFyyfyy562 2 公式法公
21、式法当当 非单调函数，设其分两段单调，其反非单调函数，设其分两段单调，其反函数为函数为 与与 ,则则)(xgy )(11ygx )(12ygx 当当 是可导的单调函数时，则是可导的单调函数时，则)(xgy .,0,)()()(,11YYXYyyygygfyf)2.4(.,0,)()()()()(,12121111 YYXXYyyygygfygygfyf (2)当当 单增时，其反函数单增时，其反函数 单增，单增，故有故有(1)(1)略略证明证明)(xgyyY，)(ygx1;0)(1 yg)()()()(11 ygygfyFyfXYY)1(从而从而)()(YyXgPyYPyF dxxfygXPyg
22、X )()()(11如图有如图有x时时0)(xgy)(xgy )(1ygx o)(xgy )(1ygx 单减时，其反函数单减时，其反函数 单减。单减。;0)(1 yg)(xgyyY，)(ygx1dxxfygX )(1)(1)(1)(11ygXPygXP )()(YyXgPyYPyF 如图有如图有)()()()(11 ygygfyFyfXYY)2(从而从而)(xgy )(1ygx xyo)(xgy )(1ygx 时时0)(xg .,0,)()()(11YYXYyyygygfyf归纳归纳)2(),1(有有)1()()()()(11 ygygfyFyfXYY，单单减减时时)(xgyyY ，单单增增时
23、时)(xgyyY )2()()()()(11 ygygfyFyfXYY;0)(1 yg;0)(1 yg故（故（4.1）式成立。类似可证（）式成立。类似可证（4.2）成立。）成立。例例2 设随机变量设随机变量 服从服从(0,1)上的均匀分布，分别求上的均匀分布，分别求随机变量随机变量(1),(2)的概率密度的概率密度 和和lnZXXXeY )(yfY).(zfZ(1)y=ex 有唯一反函数有唯一反函数x=lny,且且 1ye，故由，故由(4.1)得得(2)在区间在区间(0,1)上，函数上，函数 ，它有唯一，它有唯一反函数反函数 ,且且 ，从而由，从而由(4.1)得得lnlnzxx zxe0z 其
24、他。其他。,0,10,1)(xxf例例2 设随机变量设随机变量 服从服从(0,1)上的均匀分布，分别求上的均匀分布，分别求随机变量随机变量(1),(2)的概率密度的概率密度 和和lnZXXXeY )(yfY).(zfZ解法解法1:由题意由题意 的密度为的密度为X .,0,1,)(ln)(ln)(其他其他eyyyfyfXY .,0,1,1其他其他eyy .,0,0,)()()(其他其他zeefzfzzXZ .,0,0,其他其他zez解法解法2:由题意由题意 的密度为的密度为时，时，当当ey 1ln)(yXPyePyFXY ydxyln1ln0 时，时，当当1)1(y0ln)(yXPyePyFXY
25、时，时，当当ey 1)(yePyFXY 其他。其他。故故,0,1,1)()(eyyyFyfYYX 其他。其他。,0,10,1)(xxf例例2 设随机变量设随机变量 服从服从(0,1)上的均匀分布，分别求上的均匀分布，分别求随机变量随机变量(1),(2)的概率密度的概率密度 和和lnZXXXeY )(yfY).(zfZ时，时，当当0)2(z0ln)(zXPzFZ时，时，当当0 zlnln)(zXPzXPzFZ zezedxeXPz 111 其他。其他。故故,0,0,)()(zezFzfzZZ例例2 设随机变量设随机变量 服从服从(0,1)上的均匀分布，分别求上的均匀分布，分别求随机变量随机变量(
26、1),(2)的概率密度的概率密度 和和lnZXXXeY )(yfY).(zfZ解法解法2:由题意由题意 的密度为的密度为X 其他。其他。,0,10,1)(xxf63即正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量即正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量.),()0(),(222 kbkNkbkXYNX 证明证明例例3),(Y 方法一方法一（分布函数法）（分布函数法）证明证明 已知已知故故时时当当,)(,0)1(kbyFkbyXPyYPyFkXY;11)()(kbyfkkbyfkyFyfXXYY故故时时当当,1)(,0)2(kbyFkbyXPyYPyFkXY;11)()(kbyfkkbyfkyFyfXX
27、YY综合而得：综合而得：222)(21)(xXexf;1)(kbyfkyfXY);(211)(2222)(RyekkbyfkyfkbkyXY ).,(22 kbkNY 即即),()0(),(222 kbkNkbkXYNX 证明证明例例3即正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量即正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量.方法二方法二 公式法公式法今今 单调可导，其反函数为单调可导，其反函数为从而从而称为称为X的的标准化随机变量标准化随机变量可得可得2.3的关于正态分布性质的关于正态分布性质(5);1)()()(11 kbyfkygygfyfXXYbkxxg )(,)(1kbyygx 由此例得，由此
28、例得，),1,0(),1,0(NXNX 则则若若则则若若),(2 NX),1,0(11NXXX .aaXPaXP由由 解解 易知易知 Y 的值域为的值域为(0,1)xyyyarcsinyarcsin o1xysin).(sin),0(yfXYUXY的密度的密度求求 例例4 设设;0)(0 yFyY，时时当当;1)(1 yFyY，时时当当，时时当当10 ysin)(yXPyFY arcsinarcsin0 XyyXPdxdxyy arcsinarcsin011,arcsin2y 其他。其他。,0,10,112)()(2yyyFyfYY 方法一方法一 分布函数法分布函数法方法二方法二 公式法公式法
29、 其他。其他。,0,10,11211)arcsin(11)(arcsin)(222yyyyfyyfyfXXY 分别有反函数分别有反函数，从而由，从而由(4.2)，及及在在此时此时220sin xy,arcsinarcsinyxyx 及及xyyyarcsinyarcsin o1xysin)2.4(.,0,)()()()()(,12121111 YYXXYyyygygfygygfyf 思思 考考 题题1.随机变量引入的意义是什么？随机变量引入的意义是什么？2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？分布函数？3.除离散型随机变量和连续型随机
30、变量，还有第三种除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？随机变量吗？4.对概率密度函数的不连续点，如何由分布函数求出？对概率密度函数的不连续点，如何由分布函数求出？5.“连续型随机变量的分布函数是可导的，概率密度函连续型随机变量的分布函数是可导的，概率密度函数是连续的数是连续的”这个说法对吗？为什么？这个说法对吗？为什么？彩票：彩票：2元钱改元钱改变命运？变命运？（彩票问题）：（彩票问题）：现在发行的彩票主要有体彩，福彩，现在发行的彩票主要有体彩，福彩，摇奖规则各不相同，比如摇奖规则有：三十五选摇奖规则各不相同，比如摇奖规则有：三十五选7加加1；十一选五等等。十一选五等等。35
31、选选7加加11234567891011121314151617181920212223242526272928303132333435，35的球共的球共35个中摇出七个基本号码，一个特别号码。个中摇出七个基本号码，一个特别号码。三十五选三十五选7+1的摇奖规则的摇奖规则：编有号码：编有号码1，2，35的球共的球共35个，彩民每购买一张彩票可从个，彩民每购买一张彩票可从1，2，35中选定中选定7个个号码作为兑奖号码。买满一期，彩票中心从编号号码作为兑奖号码。买满一期，彩票中心从编号1，2，35选选7加加11234567891011121314151617181920212223242526272
32、928303132333435七个基本号码，一个特别号码七个基本号码，一个特别号码。三十五选三十五选7+1的摇奖规则：的摇奖规则：设有三个奖项：设有三个奖项：一等奖一等奖：选七个号码，中七个基本号码：选七个号码，中七个基本号码二等奖二等奖：选七个号码，中六个基本号码和一个特别号码；：选七个号码，中六个基本号码和一个特别号码；三等奖三等奖：选七个号码，中六个基本号码；另一号码未中：选七个号码，中六个基本号码；另一号码未中.35选选7+11234567891011121314151617181920212223242526272928303132333435)AB(P)A(P)BA(Pijiji
33、mNjimLMNjLiMimMNjimLMNjLmNimMNiMCCCCCCCCCC 不放回摸不放回摸m球，求摸出的球，求摸出的m个球中有个球中有i个黄球，个黄球，j个蓝球个蓝球则则求一个彩民任买一张彩票中一等奖，二等奖，或三等奖求一个彩民任买一张彩票中一等奖，二等奖，或三等奖的概率。的概率。Lj,1,0,1,0mi；的概率。；的概率。视七个基本号码为黄球，一个特选号码为蓝球，其余视七个基本号码为黄球，一个特选号码为蓝球，其余号码为白球，号码为白球，考虑摸球问题：袋中有考虑摸球问题：袋中有N球球,M个黄个黄,L个蓝个蓝,N-M-L白白.:iA:jB解：设解：设摸出的摸出的m个球中有个球中有i个黄球，个黄球，摸出的摸出的m个球中有个球中有j个蓝球。个蓝球。.CCCC)BA(PP7735027017707110487951 .10041.1)(67350271167162 CCCCBAPP.CCCC)BA(PP6735127016706310812 则：则：一等奖：一等奖：二等奖：二等奖：三等奖：三等奖：)AB(P)A(P)BA(Pijiji mNjimLMNjLiMCCCC :iA摸出的摸出的m个球中有个球中有i个黄，个黄，:jBm个个j个蓝球。个蓝球。
