1、2023-2-131 P95 习题习题4.2 7(4)(5)(6)(10)(11)(12).8(2)(4)(5)(8)(11)(12).9(错错).作业作业 预习预习:P961112023-2-132第九讲第九讲 洛必达法则洛必达法则一、未定型极限一、未定型极限二、二、型未定式的型未定式的 洛必达法则洛必达法则”“00三、三、型未定式的型未定式的 洛必达法则洛必达法则”“四、其它未定型极限四、其它未定型极限2023-2-133回忆极限的四则运算法则回忆极限的四则运算法则:0 )(lim,)(lim BBxgAxf且且如如果果BAxgxf)()(lim则则不存在不存在则则如果如果)()(lim,
2、0,0 xgxfAB 0 AB如如果果四则运算法则不能用！四则运算法则不能用！一、未定型极限一、未定型极限2023-2-134称称为为未未定定型型极极限限)()(limxgxfx型型”“000)(lim,0)(lim)1(xgxf如如果果 )(lim,)(lim)2(xgxf如如果果称称为为未未定定型型极极限限)()(limxgxfx型型”“”未未定定型型“)()(limxgxfx”未未定定型型“0)()(limxgxfx”未未定定型型“”“”“00)(01)(lim xgxxf2023-2-135且且满满足足条条件件：内内有有定定义义邻邻域域的的某某空空心心在在点点和和设设函函数数,),()
3、()(0 aUaxgxf则则有有或或),()()(lim)3(Axgxfax)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存在在和和内内在在;0)(lim,0)(lim)1(xgxfaxax定理定理1：二、二、型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则”“002023-2-136Axgxfax )()(lim首首先先证证明明：时时当当时时当当axaxxfxF0)()(时时当当时时当当axaxxgxG0)()(.,),xaxaa闭闭区区间间考考虑虑内内任任取取一一点点在在区区间间 证证利用柯西定理证明利用柯西定理证明.引入
4、辅助函数引入辅助函数2023-2-137使使得得内内至至少少存存在在一一点点于于是是在在件件上上满满足足柯柯西西定定理理条条在在和和,),(,)()(xaxaxGxFa ax)()()()()()()(xaGFaGxGaFxF 于于是是有有时时又又当当因因为为),()(),()(,0)(,0)(xgxGxfxFaxaGaF )()()()()()()()()(xagfGFxGxFxgxf 2023-2-138得得取取极极限限在在上上式式两两边边则则令令,aax Agfxgxfaax )()(lim)()(lim Axgxfax )()(lim同同理理可可证证Axgxfxgxfaxax )()(
5、lim)()(lim于于是是证证明明了了2023-2-139的证明的证明 )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax只需证只需证Gxgxf)()(就有就有,0,0,0GGaxG 只只要要Gxgxf )()(就有就有 )()(limxgxfax,|0,0,0GGaxG 只要只要2023-2-1310)()()()()()()()()()(gfaGxGaFxFxGxFxgxf 利用柯西定理，有利用柯西定理，有之之间间与与介介于于ax Ggf )()(于于是是有有时时又又当当因因为为),()(),()(,0)(,0)(xgxGxfxFaxaGaF Gxgxf)()(就有就有,0,0,0,G
6、GaxG 只只要要于于是是证毕证毕2023-2-1311且且满满足足条条件件：不不妨妨设设定定义义内内有有在在和和设设函函数数),0(),()()(ccxgxf;0)(lim,0)(lim)1(xgxfxx则有则有或或),()()(lim)3(Axgxfx)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfxx;0)(,)()(,),()2(xgxgxfc且且存存在在和和内内在在定理定理2：2023-2-1312且且满满足足条条件件：内内有有定定义义邻邻域域的的某某空空心心在在点点和和设设函函数数,),()()(0 aUaxgxf则则有有或或),()()(lim)3(Axgxfax)()(
7、)(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存在在和和内内在在;)(lim,)(lim)1(xgxfaxax定理定理3：三、三、型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则”“2023-2-1313”“”“0)1(”“”“”“0001)2(”型型”或或“化化为为“00”型型”或或“化化为为“取取对对数数 00,四、其他未定型极限四、其他未定型极限2023-2-1314xeexxxcos12lim 10 求求极极限限例例xeexeexxxxxxsinlimcos12lim00 ”型型“00 xeexxxcoslim0 2 解解20
8、23-2-1315xxx12arctanlim2 求求极极限限例例”型型这这是是“00 xxx12arctanlim 11lim22 xxx22111limxxx 解解2023-2-1316)(lim3Nnexxnx 求求极极限限例例”“xnxexlimxnxenx1lim xnxexnn2)1(lim 0lim xxen！.,无无穷穷小小量量更更高高阶阶的的是是比比的的无无穷穷大大量量更更高高阶阶是是比比时时：当当小小结结nxnxxexex 解解2023-2-1317)0(lnlim4 xxx求求极极限限例例 xxxlnlim11lim xxx01lim xx.ln)0(,更更高高阶阶的的无
9、无穷穷大大量量是是比比时时：当当小小结结xxx 解解2023-2-1318依依次次升升高高下下列列无无穷穷大大量量的的阶阶时时：当当小小结结,x,lnx),0(x)1(aax2023-2-1319)1(lim5220 xctgxx 求求极极限限例例xxxxxxctgxxx222220220sincossinlim)1(lim xxxxxxxxxxxsincossinlimsincossinlim200 解解等价代换等价代换30cossinlim2xxxxx 20203sinlim23sincoscoslim2xxxxxxxxxx 323lim2220 xxx2023-2-1320 xxxln1
10、20)(sinlim6 求求极极限限例例”型型“00得得取取对对数数令令,)(sinln12xxy )ln(sinln12limlnlim00 xxyxx 解解2coslimsinlim200 xxxxxxxxx1sincos0lim2 2ln120)(sinlim exxxxxxln1)ln(sinlim20 ”“2023-2-1321)11ln(lim72xxxx 求求极极限限例例”“xxxxxxxx112)1ln(1lim)11ln(lim tx 1令令20)1ln(limtttt ttt21lim110 21)1(21lim0 tt解解2023-2-1322xxnxxxnnaaaaaa
11、121021)(lim,8 求求极极限限为为正正常常数数设设例例xnaaanaaaxnxxxxxnxxxln)ln(lim)ln(lim2101210 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa 2122110lnlnlnlim解解2023-2-1323nnnxaaanaaa121210)ln(lnlnlnlim nnxxnxxxaaanaaa211210)(lim 故故2023-2-1324然然后后再再用用洛洛必必达达法法则则。类类型型之之一一两两种种其其他他未未定定型型要要先先化化成成这这法法则则型型才才可可直直接接使使用用洛洛必必达达或或：注注意意,001 AxgxfAxgxf )()(li
12、m,)()(lim2时时当当：洛洛必必达达法法则则只只说说明明注注意意2023-2-1325.)()(lim,)()(lim使使用用洛洛必必达达法法则则只只能能说说明明这这时时不不能能不不存存在在并并不不能能断断定定不不存存在在时时当当xgxfxgxf 不不存存在在！而而)cos1(limsinlimxxxxxx 1)sin1(limsinlim xxxxxxx例例如如2023-2-132611coslim0 xxx显然有显然有例例01sinlim)1()(coslim1coslim000 xxxxxxxx这显然是一个错误的结果这显然是一个错误的结果!注意注意3：只有未定式极限才能使用罗必达：
13、只有未定式极限才能使用罗必达 法则；非未定式极限使用极限运算法则法则；非未定式极限使用极限运算法则 处理处理.有些未定式极限有些未定式极限,使用多次罗必达使用多次罗必达 法则之后法则之后,已经成为非未定式极限已经成为非未定式极限,就不就不 能再使用罗必达法则了能再使用罗必达法则了.2023-2-1327?)1sin1(lim9220 xxx例例解解)1sin1(lim220 xxx xxxxx22220sinsinlim 通分通分004220sinlimxxxx xxxxxxxsinsinlim30 等价代换等价代换30sinlim2xxxx 极限等于极限等于2 2203cos1lim2xxx 31 2023-2-1328思考题：下列极限是否存在？思考题：下列极限是否存在？是否可用洛必达法则？是否可用洛必达法则？为什麽？若有极限，为什麽？若有极限，求出其极限值。求出其极限值。xxxxsinsinlim120
